Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
Drgania układów dyskretnych
o skończonej liczbie stopni
swobody
materiały do wykładu nr 5
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
2
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
Dyskretyzacja układów
Stan przemieszczenia punktów materialnych należących do rozpatrywanej konstrukcji
można opisać zbiorem wielkości, które nazywamy
współrzędnymi uogólnionymi
.
Liczba dynamicznych stopni swobody (DSS) –
liczba niezależnych współrzędnych
uogólnionych niezbędnych do określenia położenia wszystkich punktów materialnych
w każdej chwili, względem stanu równowagi statycznej.
Z uwagi na DSS, modele obliczeniowe dzielimy na:
• Układy o jednym stopniu swobody
• Układy o skończonej liczbie stopni swobody (układy dyskretne)
• Układy o nieskończonej liczbie stopni swobody (układy ciągłe)
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
3
Równanie ruchu
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
( )
( )
( )
( )
t
t
t
t
Mu
Cu
Ku
p
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
( )
0
( )
m
u
c
c
c
u
k
k
k
u
p t
m
u
c
c
u
k
k
u
p t
1
1 1
2
1
2
2
2
1
2
(
)
(
)
s
s
f
k u
k u
u
f
k u
u
1
1 1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
d
d
f
c u
c u
u
f
c u
u
c u
u
1
1 1
2
2 2
i
i
f
m u
f
m u
1
1
1
1
2
2
2
2
( )
( )
i
d
s
i
d
s
f
f
f
p t
f
f
f
p t
( )
ij
dj
sj
j
f
f
f
p t
( )
j j
j j
j j
j
m u
c u
k u
p t
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
4
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
Drgania swobodne nietłumione
Mu Ku 0
0
0
(0)
(0)
u
u
u
u
( )
( )
n
n
t
q t
u
( )
cos
sin
n
n
n
n
n
q t
A
t B
t
2
2
(
cos
sin
)
(
cos
sin
)
n n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
A
t B
t
A
t B
t
M
K
0
2
n
n
K
M
0
2
det
0
n
K
M
a) częstości i postacie drgań własnych
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
5
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
2
n
n
K
M
0
11
12
1
21
22
2
1
2
1
2
N
N
jn
N
N
NN
N
Φ
2
1
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
N
Ω
2
n
n
n
K
M
2
KΦ MΦΩ
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
6
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
1
F K
FMu u 0
2
n
n
I
FM
0
2
det
0
n
I
FM
Mu Ku 0
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
7
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
b) ortogonalność i normalizacja postaci drgań
0
T
n
r
K
0
T
n
r
M
T
K Φ KΦ
T
M = Φ MΦ
max
n
n
n
n
n
T
n
n
M
2
T
Φ KΦ Ω
T
Φ MΦ I
Jeżeli wszystkie wartości własne
n
są rzeczywiste, to wektory własne odpowiadające
różnym częstościom drgań własnych
n
≠
n
są ortogonalne z wagą macierzy
sztywności i z wagą macierzy bezwładności
Ortogonalność postaci drgań zapewnia, że następujące macierze są diagonalne
Normalizacja wektorów własnych
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
8
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
[mode,vale] = eig(K,M)
mode =
-0.7071 -0.7071
-1.0000 1.0000
2
n
n
K
M
0
vale =
1301.7 0
0 7587.1
Przykład 1
val=diag(vale);
w=sqrt(val);
f=w/2/pi;
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
9
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
3
3
2
3
3
2
2
2
2
2
192
96
24
0
96
96
24
24
24
16
4
0
24
24
4
8
EI
EI
EI
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
EI
EI
EI
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
K
Przykład 2
Macierz sztywności:
a) metoda jednostkowych stanów przemieszczeń
u
1
u
2
3
4
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
10
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
Przykład 2
Macierz sztywności:
b) metoda agregacji elementowych macierzy sztywności
3
2
3
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
3
2
3
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
12
6
12
6
6
4
6
2
12
6
12
6
6
2
6
4
e
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
k
3
3
2
3
3
2
2
2
2
2
192
96
24
0
96
96
24
24
24
16
4
0
24
24
4
8
EI
EI
EI
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
EI
EI
EI
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
K
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
6
12
6
6
4
6
2
12
6
12
6
6
2
6
4
e
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
k
0 0 1 3
1 3 2 4
0
0
1
3
1
3
2
4
1 2 3 4
1
2
3
4
1
L
2
L
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
11
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
Przykład 2
Macierz mas:
a) metoda mas skupionych
0
2
0
4
mL
mL
M
3
3
2
3
3
2
2
2
2
2
192
96
24
0
96
96
24
24
24
16
4
0
24
24
4
8
EI
EI
EI
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
EI
EI
EI
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
K
1
11
12
22
21
'
K
K
K K K
11
K
22
K
21
K
12
K
3
768
240
7
7
'
240
96
7
7
EI
L
K
u
1
u
2
3
4
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
12
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
Przykład 2
Macierz mas:
b) metoda mas rozłożonych
(metoda agregacji elementowych macierzy bezwładności)
3
3
2
3
3
2
2
2
2
2
192
96
24
0
96
96
24
24
24
16
4
0
24
24
4
8
EI
EI
EI
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
EI
EI
EI
L
L
L
EI
EI
EI
EI
L
L
L
L
K
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
156
22
54
13
22
4
13
3
54
13
156
22
420
13
3
22
4
el
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
156
22
54
13
22
4
13
3
54
13
156
22
420
13
3
22
4
el
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
m
0 0 1 3
1 3 2 4
0
0
1
3
1
3
2
4
2
2
2
2
312
54
0
6.5
54
156
6.5
11
0
6.5
2
0.75
840
6.5
11
0.75
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
M
1 2 3 4
1
2
3
4
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
13
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
Przykład 2
0
2
0
4
mL
mL
M
3
768
240
7
7
240
96
7
7
EI
L
K
[mode,vale] = eig(K,M)
val = diag(vale)
omega = sqrt(val)
f=omega/2/pi
mode =
-0.3274 -1.0000
-1.0000 0.6547
f =
6.3178
32.5434
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
14
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
Drgania swobodne tłumione
Mu Cu Ku 0
1
N
r r
r
q
u
Φq
0
1
a
a
C
M
K
T
C = Φ CΦ
Mq Cq Kq 0
0
n n
n n
n n
M q
C q
K q
2
n
n
n n
C
M
Wektor przemieszczenia wyrażony we współrzędnych modalnych
Macierz tłumienia proporcjonalnego
Równanie ruchu we współrzędnych modalnych
T
K Φ KΦ
T
M = Φ MΦ
N równań różniczkowych
Liczba tłumienia każdej postaci
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
15
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
0
a
C
M
1
a
C
K
0
n
n
C
a M
0
0
2
2
2
n
n
n
n n
n n
n
C
a M
a
M
M
2
1
1
n
n
n
n
C
a K
a
M
2
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n n
n n
C
a
M
a
M
M
0
1
1
2
2
n
n
n
a
a
0
1
0
1
1
2
2
1
2
2
i
i
i
j
j
j
a
a
a
a
0
1
1
1
1
2
i
i
i
j
j
j
a
a
Wyznaczanie macierzy tłumienia proporcjonalnego
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
16
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
Drgania wymuszone siłą harmoniczną
sin
o
t
Mu Ku p
( )
sin
o
t
t
u
u
2
d
o
o
K
K
M u
p
2
z
o
o
o
p
Ku
p
Mu
1
o
d
o
u
K p
p
z
– zastępcza siła statyczna
K
d
– dynamiczna macierz sztywności
u
o
– amplituda drgań wymuszonych harmonicznie
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
17
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
Drgania wywołane dowolnym obciążeniem
wymuszającym
( )
t
Mu Cu Ku p
Całkowanie numeryczne równań ruchu:
• metoda różnic centralnych
• metoda Newmarka
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
18
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
i
i
i
i
Mu
Cu
Ku
p
1
1
1
1
2
2
,
2
i
i
i
i
i
i
i
t
t
u
u
u
u
u
u
u
1
1
1
1
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
t
t
u
u
u
u
u
M
C
Ku
p
1
1
2
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ
i
i
i
i
i
t
t
t
t
t
M
C
M
C
M
u
p
u
K
u
p
K
Metoda różnic centralnych
1
1
ˆ
ˆ
i
i
u
K p
max
2
kr
t
t
Warunek stabilności
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
19
Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
[u,v,a]=mrc(M,C,K,P,t,u0,v0)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% funkcja calkowania rownan ruchu metoda roznic centralnych
% [u,v,a]=mrc(M,C,K,P,t,u0,v0)
%---------------------------------------------------------
% WEJSCIE:
% M - macierz mas (n x n)
% C - macierz tlumienia
(n x n)
% K - macierz sztywnosci
(n x n)
% P - wektor obciazen zewnetrznych
(n x nt)
% t - wektor czasu (1 x nt)
% u0 - wektor przemieszczen poczatkowych (1 x n)
% v0 - wektor predkosci poczatkowych
(1 x n)
%----------------------------------------------------------
% WYJSCIE:
% u - wektor przemieszczen
(n x nt)
% v - wektor predkosci
(n x nt)
% a - wektor przyspieszen
(n x nt)
%----------------------------------------------------------
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MATERIALY DO WYKLADU CZ V id 2 Nieznany
Materialy do wykladu (cz 1) id Nieznany
Materialy do wykladu (cz 2) id Nieznany
Materialy do wykladu (cz 3) id Nieznany
MATERIALY DO WYKLADU CZ V id 2 Nieznany
Materiały do wykładu nr 1
OP wyklad nr 3 id 335762 Nieznany
Materialy do Wykladu 22 11 13 i Nieznany
OP wyklad nr 8 id 335765 Nieznany
Materiały do wykładu nr 4
materialy na wyklad 6a id 28522 Nieznany
materialy na wyklad 6b id 28523 Nieznany
OP wyklad nr 1 id 335760 Nieznany
notatki do zajec nr 1 id 322323 Nieznany
Materialy do wykladu nr 3 uwaga poprawiony wzor na slajdz
MATERIALY DO WYKLADU CZ IV id Nieznany
MATERIALY DO WYKLADU CZ III id Nieznany
materialy do wykladow 1 i 2 id Nieznany
materialy do wykladu 1 i 2 id 2 Nieznany
więcej podobnych podstron