Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

 

Pojęcia wstępne 
Modelowanie konstrukcji inżynierskich 
Siły działające na konstrukcje 
Wyprowadzanie równań ruchu 

 

materiały do wykładu nr 1 

 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

2 

    

Dynamika 

– dział mechaniki zajmujący się ruchem ciał makroskopowych 

                       z uwzględnieniem przyczyn powodujących ruch.  

Dynamika budowli 

– nauka o drganiach konstrukcji budowlanych  

                                       lub ich elementów składowych. 

Cel dynamiki budowli 

– określenie reakcji (odpowiedzi) konstrukcji,  

                                           tzn. dynamicznych przemieszczeń,  
                                           sił wewnętrznych, naprężeń 
                                           na działanie dowolnego obciążenia  
                                           dynamicznego. 

Pojęcia wstępne 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

3 

 obciążenia i odpowiedź konstrukcji są funkcjami czasu 

 w zagadnieniach dynamicznych powstają siły bezwładności 

Zasada d’Alemberta: 

 

Siły działające na punkt materialny będący w ruchu równoważą się  
w każdej chwili czasowej z siłami bezwładności. 

Pojęcia wstępne 

Zasadnicze cechy zagadnień dynamicznych 

[wg. Chmielewski & Zembaty, 1998] 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

4 

Drgania

 – ruch, w którym badana wielkość q(t),  

                   opisująca położenie punktu budowli,  
                   na przemian zbliża się i oddala  
                   od pewnej przeciętnej wartości. 

Pojęcia wstępne 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

5 

Drgania konstrukcji budowlanych 

mają zwykle charakter oscylacyjny  

wokół położenia równowagi statycznej, którą w dynamice budowli 
uważa się za stan odniesienia 

Pojęcia wstępne 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

6 

Cechy dynamiczne konstrukcji: 

x

 

 

w

n

 

f

n

 

x

n 

Pojęcia wstępne 

 współczynniki tłumienia 

 częstości kołowe drgań własnych 

 postacie drgań własnych 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

7 

    

Modelowanie fizyczne               →  

model fizyczny 

obiektu rzeczywistego 

Modelowanie obliczeniowe     →  

model obliczeniowy 

modelu fizycznego 

Modelowanie matematyczne  →  

model matematyczny 

modelu obliczeniowego 

Modelowanie konstrukcji inżynierskich 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

8 

Powstaje w wyniku uproszczeń układu rzeczywistego przy zachowaniu jego istotnych 
cech dynamicznych. 

a) model fizyczny 

Modelowanie konstrukcji inżynierskich 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

9 

b) model obliczeniowy 

Modelowanie konstrukcji inżynierskich 

Stan przemieszczenia punktów materialnych należących do rozpatrywanej konstrukcji 
można opisać zbiorem wielkości, które nazywamy 

współrzędnymi uogólnionymi

.

  

Liczba dynamicznych stopni swobody (DSS) – 

liczba niezależnych współrzędnych 

uogólnionych niezbędnych do określenia położenia wszystkich punktów materialnych 
w każdej chwili, względem stanu równowagi statycznej. 

Z uwagi na DSS, modele obliczeniowe dzielimy na: 

 

•

modele dyskretne 

 modele o jednym stopniu swobody 
 modele o skończonej liczbie stopni swobody  

•

modele ciągłe 

(modele o nieskończonej liczbie stopni swobody ) 

 
 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

10 

2

3.516

a

n

EI

L

w





n

k

m

w



2

3

3.516

3

EI

EI

L

mL





2

3.516

EI

k

L

m





0.25

m

L





Modelowanie konstrukcji inżynierskich 



 [kg/m]

 

m [kg]

 

k

 

u(t)

 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

11 

c) model matematyczny 

równanie lub zbiór równań opisujących ruch modelu obliczeniowego 

d) weryfikacja modeli, dynamiczne badania konstrukcji 

Równanie ruchu (statyka): 
 
Kq = R 
 
q = K

-1

 R 

• ocena poprawności wyników rozwiązania teoretycznego 
• pomiar rzeczywistej odpowiedzi konstrukcji: 

Modelowanie konstrukcji inżynierskich 

 badania modeli w skali zredukowanej 
 badania rzeczywistych konstrukcji 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

12 

3. Siły działające na konstrukcje 

( )

s

f t

( )

d

f t

( )

i

f t

( )

p t

–  siła sprężystości  

–  siła tłumienia 

–  siła bezwładności 

–  obciążenie zewnętrzne 

Siły działające na konstrukcje 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

13 

3. Siły działające na konstrukcje 

a) siły (obciążenie) zewnętrzne 

Obciążenie dynamiczne  -  obciążenie, którego wartość, kierunek, zwrot lub miejsce 
                                                 przyłożenia są zmienne w czasie.  

 od sił przyrody 

 od przemysłowej lub technicznej 

działalności człowieka 

Siły działające na konstrukcje 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

14 

Siły działające na konstrukcje 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

15 

c) siły sprężystego oddziaływania 



p

k

u

p

u

k





1



s

f

ku



Siły działające na konstrukcje 

b) siły bezwładności 

i

f

mu



Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

16 

Połączenie szeregowe więzi sprężystych 

1

1

2

1

1

1

1

1

n

i

n

i

k

k

k

k

k







 





Połączenie równoległe więzi sprężystych 

1

2

1

n

n

i

i

k

k

k

k

k



 

 





Siły działające na konstrukcje 

Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

17 

Siły działające na konstrukcje 

d) siły tłumienia 

( )

d

f

cu t



Dynamika Budowli 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Magdalena Rucka 

Krzysztof Wilde 

18 

    

a) zasada Hamiltona 

c) zasada d’Alemberta 

Siły działające na punkt materialny 
będący w ruchu równoważą się  
w każdej chwili czasu z siłami 
bezwładności. 

( )

( )

( )

( )

i

d

s

f t

f t

f t

p t







0

mu

cu

ku







b) równania Lagrange’a 

4. Wyprowadzanie równań ruchu 

Wyprowadzanie równań ruchu 

s

f

ku



i

f

mu



( )

d

f

cu t

