1

1

Materiały do wykładów 1 i 2 z przedmiotu

„Mechanika techniczna

i wytrzymałość materiałów”

Wydruk elektroniczny 29-ciu slajdów przeznaczony do celów

dydaktycznych dla studentów I roku studiów stacjonarnych

na Wydz. Metali Nieżelaznych AGH, kierunek Metalurgia

w roku akademickim 2013/2014

Autor slajdów: Marek Płachno, prof. ndzw. AGH

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

e-mail: [e-mail]

Zastrzeżenia autorskie

Zastrzeżenia autorskie

Zastrzeżenia autorskie

Zastrzeżenia autorskie

1. Slajdy stanowią przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie

autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami).

2. Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie niniejszych slajdów niż podane

w ich przeznaczeniu

.

2

Praktyczny cel inżynierskich

zastosowań statyki

Obliczanie sił reakcji i momentów reakcji

zadawanych na obiekt mechaniczny

przez jego więzy, tj. przez takie elementy obiektu,

które przeciwdziałają jego siłom czynnym i momentom czynnym

,

aby zapewnić obiektowi stan równowagi

2

3

Istota inżynierskich zastosowań

statyki

Analiza statyczna obiektu mechanicznego

wyznaczenia zależności algebraicznych

pomiędzy obciążeniami czynnymi tego obiektu

a obciążeniami od reakcji jego więzów

tj. postępowanie obliczeniowe podejmowane w celu

4

Cel dydaktyczny zajęć

ze

statyki

Nabycie przez studentów

umiejętności

do samodzielnego wykonywania

analizy statycznej

prostych obiektów mechanicznych

3

5

Główne etapy analizy statycznej obiektu

mechanicznego

Analiza więzów ZEWNĘRZNYCH obiektu oraz zastąpienie
tych więzów przez właściwe im siły i momenty reakcji.

Analiza więzów

WEWNĘTRZNYCH

obiektu oraz zastąpienie

tych więzów przez właściwe im siły i momenty reakcji.

Podział obiektu na elementy mechaniczne oraz przyporząd-
kowanie każdemu elementowi układu obciążeń zawierającego
wszystkie siły i momenty zewnętrzne oraz wszystkie siły i mo-
menty reakcji tego elementu.

Schemat fizyczny obiektu przedstawiający rozmieszczenie i pa-
rametry obciążeń czynnych działających na ten obiekt oraz usytu-
owanie i rodzaj więzów obiektu

.

Sformułowanie równań równowagi dla każdego z elementów me-
chanicznych, na które podzielono obiekt.

1.

2.

3.

4.

5.

6

Więzy ZEWNĘTRZNE obiektów mechanicznych

Różne formy konstrukcyjne ustalające położenie

całości obiektu w przestrzeni

to:

1. Podpory: przesuwne bez tarcia, przesuwne z tarciem,

nieprzesuwne z przegubem, nieprzesuwne z krążkiem.

2. Uchwyty: z przegubem płaskim, z przegubem przestrzennym,

z cięgnem, z utwierdzeniem.

3. Powierzchnie toczenia: bez oporu, z oporem.

Rodzaje:

4

7

Więzy

WEWNĘTRZNE

obiektów mechanicznych

różne formy konstrukcyjne ustalające

położenie poszczególnych elementów obiektu względem siebie

to:

1. Połączenia przesuwne: bez tarcia, z tarciem ślizgowym,

z oporem toczenia, cięgnowe,

2. Połączenia nieprzesuwne: przegubowe, nieprzegubowe,

cięgnowe.

Rodzaje:

8

Podstawowe przypadki

zastępowania więzów

ZEWNĘTRZNYCH

przez właściwe im siły i momenty reakcji

5

9

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

ZEWNĘTRZNE

1. P

odpora przesuwna bez tarcia

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji

R

jest różna od zera.

Siła

R

jest przyłożona w środku podparcia oraz działa wzdłuż prostej,

która jest prostopadła do powierzchni podparcia

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny po

zastąpieniu więzów

przez siłę reakcji

10

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

ZEWNĘTRZNE

2. P

odpora przesuwna z tarciem

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera i ma
dwie składowe przyłożone w środku podparcia:

• składową

R

prostopadłą do powierzchni podparcia,

• składową

T

równoległą do powierzchni podparcia, która jest siłą tar-

cia powodowanego przez tę powierzchnię.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny po zastąpieniu

więzów przez siły reakcji

6

11

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

ZEWNĘTRZNE

3. Podpora nieprzesuwna z przegubem

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera

oraz ma dwie składowe

R

x

,

R

y

, przyłożone w środku przegubu.

Składową

R

y

przyjmuje się zwykle jako siłę prostopadłą do powierzchni

podparcia, a składową

R

x

- jako siłę równoległą do tej powierzchni.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny po zastąpieniu

więzów przez siłę reakcji

12

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

ZEWNĘTRZNE

4. Podpora nieprzesuwna z krążkiem

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera

oraz ma dwie składowe

R

x

,

R

y

, przyjmowane zwykle jako siły wza-

jemnie prostopadłe. Obie składowe działają w płaszczyźnie obrotu
krążka oraz są przyłożone w środku tego obrotu.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny

po zastąpieniu więzów

przez siłę reakcji

7

13

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

ZEWNĘTRZNE

5. Uchwyt z przegubem płaskim

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera

i ma dwie składowe

R

x

,

R

y

, przyjmowane zwykle jako siły wzajem-

nie prostopadłe. Obie składowe działają w płaszczyźnie obrotu prze-

gubu oraz są przyłożone w jego środku.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny

po zastąpieniu więzów

przez siłę reakcji

14

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

ZEWNĘTRZNE

6. Uchwyt z przegubem przestrzennym

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera oraz

ma trzy składowe

R

x

,

R

y

,

R

z

, przyjmowane zwykle jako siły wzajemnie

prostopadłe. Wszystkie trzy składowe siły reakcji są przyłożone w środku
przegubu.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny

po zastąpieniu więzów

przez siłę reakcji

8

15

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

ZEWNĘTRZNE

7. Uchwyt z utwierdzeniem

Moment reakcji oraz siła reakcji są różne od zera. Moment reakcji

M

u

,

który jest nazywany momentem utwierdzenia, działa w płaszczyźnie sił
zewnętrznych, w punkcie A przecięcia się krawędzi uchwytu z osią uchwytu.

Siła reakcji ma dwie składowe

R

x

,

R

y

, które są przyjmowane zwykle jako siły

wzajemnie prostopadłe oraz są przyłożone w punkcie A uchwytu.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny

po zastąpieniu więzów

przez siłę i moment reakcji

16

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

ZEWNĘTRZNE

8. Uchwyt z utwierdzeniem

Moment reakcji jest równy zero, siła reakcji

R

działa wzdłuż cięgna

.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny

po zastąpieniu więzów

przez siłę reakcji

9

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

ZEWNĘTRZNE

9. Powierzchnia toczenia bez oporu

Te więzy traktuje się jak podporę przesuwną bez tarcia.

Obiekt mechaniczny z więzami

Obiekt mechaniczny po zastąpieniu

więzów przez siłę reakcji

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera oraz ma dwie składowe:

• składową

R

prostopadłą do kierunku toczenia i przechodzącą przez środek koła,

• składową

k·R

równoległą do kierunku toczenia, i jest nią siła oporu toczenia.

Składowe

R

,

k·R

są przyłożone punkcie styku obwodu koła z powierzchnią toczenia, przynależ-

nym do osi koła prostopadłej względem kierunku toczenia.

10. Powierzchnia toczenia z oporem

Uwaga:

Koło toczy się bez poślizgu, gdy współczynnik

k

oporu toczenia jest mniej-

szy niż współczynnik statycznego tarcia tego koła po powierzchni toczenia.

16

18

Wartości współczynników oporu toczenia dla

niektórych przypadków kół i powierzchni toczenia

0, 15÷0,30

Piasek

0,08÷0,15

Droga gruntowa ubita

po deszczu

0,05÷0,14

Droga gruntowa ubita

sucha

0,020

Kostka kamienna

0,025

Szosa żwirowa

0,015

Szosa betonowa

0,012

Szosa asfaltowa

Cztery koła
samochodu
osobowego

φ

φ

φ

φ

– średnica koła w mm

(30÷60)/

φφφφ

Bieżnia stalowa

Pojedyncze koło

ogumione

12/

φφφφ

Droga asfaltowa

3/

φφφφ

Droga kamienna

0,1/

φφφφ

Szyna stalowa

Pojedyncze koło

stalowe

Współczynnik oporu

toczenia

Rodzaj powierzchni

toczenia

Rodzaj kół

10

19

Niektóre przypadki

zastępowania więzów

WEWNĘTRZNYCH

przez właściwe im siły i momenty reakcji

20

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

WEWNĘTRZNE

1. Połączenie przesuwne bez tarcia

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji

R

jest różna od zera oraz działa

wzdłuż prostej normalnej tego połączenia

.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny po

zastąpieniu więzów

przez siły reakcji

W celu zastąpienia więzów siłą reakcji, do obu stron rozdzielonego połączenia

należy przyłożyć siłę

R

przeciwnie skierowaną

Uwaga

11

21

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

WEWNĘTRZNE

2. Połączenie przesuwne z tarciem ślizgowym

Moment reakcji wynosi zero, a siła reakcji jest różna od zera oraz ma dwie
składowe:

•składową normalną

R

działającą wzdłuż prostej normalnej tego połączenia,

•składową styczną

µµµµ

·R

, którą jest siła tarcia działająca w połączeniu

.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny po

zastąpieniu więzów przez

siły reakcji

Uwaga

W celu zastąpienia więzów siłą reakcji, do obu stron rozdzielonego połączenia

należy przyłożyć składowe

R

,

µµµµ

·R

tej siły, przeciwnie skierowane

22

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

WEWNĘTRZNE

2. Połączenie przesuwne z oporem toczenia

Moment reakcji wynosi zero, a siła reakcji jest różna od zera oraz ma dwie
składowe:

•składową normalną

R

działającą wzdłuż prostej normalnej tego połączenia,

•składową styczną

k·R

, którą jest siła oporu toczenia działająca w połączeniu

.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny po

zastąpieniu więzów

przez siły reakcji

Uwaga

W celu zastąpienia więzów siłą reakcji, do obu stron rozdzielonego połączenia

należy przyłożyć składowe

R

,

k·R

tej siły, przeciwnie skierowane

12

23

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

WEWNĘTRZNE

5. Połączenie przesuwne cięgnowe

Moment reakcji jest równy zero, siła reakcji

R

jest różna od zera i działa

wzdłuż linii cięgna

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny po

zastąpieniu więzów

przez siły reakcji

W celu zastąpienia więzów siłą reakcji, należy do obu stron rozdzielonego

połączenia przyłożyć siłę

R

przeciwnie skierowaną

Uwaga

24

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

WEWNĘTRZNE

3. Połączenie nieprzesuwne przegubowe

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera. Siła reakcji

ma dwie składowe

R

x

,

R

y

, przyjmowane zwykle jako wzajemnie prostopadłe.

Obie składowe leżą na płaszczyźnie obrotu przegubu i przecinają jego środek

.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny po

zastąpieniu więzów

przez siły reakcji

Uwaga

W celu zastąpienia więzów siłą reakcji, należy:

•

do obu stron rozdzielonego połączenia przyłożyć składowe

R

x

,

R

y

przeciwnie skierowane

,

•

do jednej strony rozdzielonego połączenia przyłożyć siłę zewnętrzną P bez zmiany
znaku i kierunku.

13

25

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy

WEWNĘTRZNE

4. Połączenie nieprzesuwne nieprzegubowe

Moment reakcji oraz siła reakcji są różne od zera. Moment reakcji

M

R

oraz

składowe

R

x

,

R

y

siły reakcji, działają w płaszczyźnie obciążeń zewnętrznych P,

M oraz są zaczepione w środku uchwytu.

Obiekt mechaniczny

z więzami

Obiekt mechaniczny po

zastąpieniu więzów

przez siły reakcji

Uwaga

W celu zastąpienia więzów momentem i siłą reakcji, należy do obu stron rozdzielonego

połączenia przyłożyć moment

M

R

oraz składowe

R

x

,

R

y

przeciwnie skierowane

26

Przykład analizy statycznej obiektu mechanicznego (1)

1. Schemat fizyczny obiektu

1.1. Siły czynne obiektu:

A –

podpora przesuwna bez tarcia,

D –

podpora nieprzesuwna z przegubem

.

Określić siłę P potrzebną do przetoczenia przez po-
most AD wozu, którego całkowity ciężar z ładun-
kiem jest równy Q. W analizie statycznej uwz-
ględnić współczynnik oporu toczenia, który dla dwu
kół przednich i dwu kół tylnych toczenia wozu po
pomoście jest taki sam i wynosi k oraz pominąć
opory w łożyskach kół wozu.

B –

połączenie przesuwne z oporem toczenia,

C -

połączenie przesuwne z oporem toczenia.

Q –

obciążenie wozu

,

P –

siła potrzebna do pokonania oporu

toczenia

.

1.2. Więzy zewnętrzne:

1.3. Więzy wewnętrzne:

14

27

Przykład analizy statycznej obiektu mechanicznego (2)

2. Analiza więzów zewnętrznych oraz

zastąpienie tych więzów przez właściwe
im siły reakcji

podpora przesuwna bez tarcia - siła reak-

cji

R

A

jest prostopadła do powierzchni

podparcia oraz przechodzi przez środek
tego podparcia.

podpora nieprzesuwna z przegubem – siła

reakcji ma dwie składowe

R

DX

,

R

DY

przy-

łożone w środku przegubu, z których

R

DX

działa równolegle do powierzchni pod-

parcia, a

R

DY

prostopadle do tej powierz-

chni.

Obiekt po zastąpieniu więzów

zewnętrznych przez siły reakcji

Obiekt z więzami

D -

A -

28

Przykład analizy statycznej

obiektu mechanicznego (3)

3. Analiza więzów wewnętrznych oraz

zastąpienie tych więzów przez właści-
we im siły reakcji

.

połączenie przesuwne z oporem to-
czenia – siła reakcji ma składową nor-
malną

R

B

działającą wzdłuż prostej nor-

malnej tego połączenia oraz składową

k·R

B

styczną do obwodu koła, którą jest

siła oporu toczenia dla tylnych kół wozu.

Obiekt bez więzów

zewnętrznych i wewnętrznych

Obiekt bez więzów

zewnętrznych

B

-

połączenie przesuwne z oporem tocze-
nia – siła reakcji ma składową normal-
malną

R

C

działającą wzdłuż prostej nor-

malnej tego połączenia oraz składową

k·R

C

styczną do obwodu koła, którą jest

siła oporu toczenia dla tylnych kół wozu.

C-

15

29

Przykład analizy statycznej obiektu mechanicznego (4)

4. Podział obiektu na elementy mechaniczne oraz przyporządkowanie każdemu

elementowi układu obciążeń zawierającego wszystkie siły i momenty zew-
nętrzne oraz wszystkie siły i momenty reakcji tego elementu.

Schemat układu

obciążeń dla wozu

Schemat układu obciążeń dla

pomostu

Obiekt należy podzielić na dwa elementy: wóz i pomost