1

1

Materiały do wykładów 1 i 2 z przedmiotu 

„Mechanika techniczna

i wytrzymałość materiałów”

Wydruk elektroniczny 29-ciu slajdów przeznaczony do celów 

dydaktycznych dla studentów I roku studiów stacjonarnych 

na Wydz. Metali Nieżelaznych AGH, kierunek Metalurgia 

w roku akademickim 2013/2014

Autor slajdów: Marek Płachno, prof. ndzw. AGH

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

e-mail: plachno@agh.edu.pl

Zastrzeżenia autorskie

Zastrzeżenia autorskie

Zastrzeżenia autorskie

Zastrzeżenia autorskie

1. Slajdy  stanowią  przedmiot  prawa  autorskiego  określonego  w  Ustawie  o  prawie 

autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami).

2. Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie niniejszych slajdów niż podane 

w ich przeznaczeniu

.

2

Praktyczny cel inżynierskich 

zastosowań statyki

Obliczanie sił reakcji i momentów reakcji

zadawanych na obiekt mechaniczny

przez jego więzy, tj. przez takie elementy obiektu,

które przeciwdziałają jego siłom czynnym i momentom czynnym

, 

aby zapewnić obiektowi  stan równowagi 

2

3

Istota inżynierskich zastosowań

statyki

Analiza statyczna obiektu mechanicznego

wyznaczenia zależności algebraicznych

pomiędzy obciążeniami czynnymi tego obiektu

a obciążeniami od reakcji jego więzów

tj. postępowanie obliczeniowe podejmowane w celu

4

Cel dydaktyczny zajęć 

ze

statyki

Nabycie przez studentów  

umiejętności 

do  samodzielnego wykonywania 

analizy statycznej

prostych obiektów mechanicznych

3

5

Główne etapy analizy statycznej obiektu 

mechanicznego

Analiza więzów ZEWNĘRZNYCH obiektu oraz zastąpienie 
tych więzów przez właściwe im siły i momenty reakcji.

Analiza więzów

WEWNĘTRZNYCH

obiektu oraz zastąpienie 

tych więzów przez właściwe im siły i momenty reakcji.

Podział  obiektu  na  elementy  mechaniczne oraz  przyporząd-
kowanie każdemu  elementowi  układu obciążeń  zawierającego 
wszystkie siły i momenty zewnętrzne  oraz wszystkie  siły i mo-
menty reakcji tego elementu.

Schemat fizyczny obiektu przedstawiający rozmieszczenie i pa-
rametry obciążeń czynnych działających na ten obiekt oraz usytu-
owanie i rodzaj więzów obiektu

.

Sformułowanie równań równowagi dla każdego z elementów me-
chanicznych, na które podzielono obiekt. 

1.

2.

3.

4.

5.

6

Więzy ZEWNĘTRZNE obiektów mechanicznych

Różne formy konstrukcyjne ustalające położenie 

całości obiektu w przestrzeni

to:

1. Podpory:  przesuwne bez tarcia, przesuwne z tarciem, 

nieprzesuwne z przegubem, nieprzesuwne z krążkiem.

2. Uchwyty: z przegubem płaskim, z przegubem przestrzennym,

z cięgnem, z utwierdzeniem.

3. Powierzchnie toczenia: bez oporu, z oporem.

Rodzaje:

4

7

Więzy 

WEWNĘTRZNE

obiektów mechanicznych

różne formy konstrukcyjne ustalające 

położenie poszczególnych elementów obiektu względem siebie

to:

1. Połączenia przesuwne: bez tarcia, z tarciem ślizgowym,

z oporem toczenia, cięgnowe,

2. Połączenia nieprzesuwne: przegubowe, nieprzegubowe, 

cięgnowe.

Rodzaje:

8

Podstawowe przypadki

zastępowania więzów 

ZEWNĘTRZNYCH  

przez właściwe im siły i momenty reakcji

5

9

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

ZEWNĘTRZNE 

1. P

odpora przesuwna bez tarcia

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji

R

jest różna od zera. 

Siła 

R

jest przyłożona w środku podparcia oraz działa wzdłuż prostej, 

która jest prostopadła do powierzchni podparcia

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny po 

zastąpieniu więzów 

przez siłę reakcji

10

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

ZEWNĘTRZNE

2. P

odpora przesuwna  z tarciem

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera i ma 
dwie składowe przyłożone w środku podparcia:

• składową

R

prostopadłą do powierzchni podparcia,

• składową 

T

równoległą do powierzchni podparcia, która jest siłą tar-

cia powodowanego przez tę powierzchnię.

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny po zastąpieniu 

więzów przez siły reakcji

6

11

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

ZEWNĘTRZNE 

3. Podpora nieprzesuwna  z przegubem

Moment  reakcji jest  równy zero,    a  siła  reakcji jest  różna od  zera

oraz  ma  dwie  składowe

R

x

, 

R

y

,  przyłożone  w  środku  przegubu. 

Składową 

R

y

przyjmuje  się  zwykle  jako  siłę  prostopadłą  do  powierzchni  

podparcia, a składową 

R

x

- jako siłę równoległą do tej powierzchni.

Obiekt mechaniczny  

z więzami

Obiekt mechaniczny po zastąpieniu 

więzów przez siłę reakcji

12

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

ZEWNĘTRZNE 

4. Podpora nieprzesuwna  z krążkiem

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera

oraz ma dwie składowe

R

x

,

R

y

, przyjmowane zwykle jako siły wza-

jemnie prostopadłe.  Obie  składowe  działają  w  płaszczyźnie  obrotu 
krążka oraz są przyłożone w środku tego obrotu.

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny 

po zastąpieniu więzów 

przez siłę reakcji

7

13

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

ZEWNĘTRZNE 

5. Uchwyt z przegubem płaskim

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera 

i ma dwie składowe

R

x

, 

R

y

, przyjmowane zwykle jako siły wzajem-

nie prostopadłe. Obie składowe  działają  w  płaszczyźnie  obrotu  prze-

gubu oraz są przyłożone w jego środku. 

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny 

po zastąpieniu więzów 

przez siłę reakcji

14

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

ZEWNĘTRZNE 

6. Uchwyt z przegubem przestrzennym

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera oraz  

ma trzy składowe

R

x

, 

R

y

, 

R

z

, przyjmowane zwykle jako siły wzajemnie 

prostopadłe. Wszystkie trzy składowe siły reakcji są przyłożone w środku 
przegubu.

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny 

po zastąpieniu więzów 

przez siłę reakcji

8

15

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

ZEWNĘTRZNE 

7. Uchwyt z utwierdzeniem

Moment  reakcji oraz  siła  reakcji są  różne od  zera.  Moment  reakcji 

M

u

, 

który  jest  nazywany  momentem  utwierdzenia,  działa  w  płaszczyźnie sił 
zewnętrznych, w  punkcie A przecięcia  się krawędzi  uchwytu  z  osią  uchwytu.

Siła reakcji ma dwie składowe

R

x

, 

R

y

,  które są  przyjmowane zwykle jako siły 

wzajemnie prostopadłe oraz są przyłożone w punkcie A uchwytu.

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny 

po zastąpieniu więzów 

przez siłę i moment reakcji

16

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

ZEWNĘTRZNE 

8. Uchwyt z utwierdzeniem

Moment reakcji jest równy zero,  siła reakcji

R

działa wzdłuż cięgna

.

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny 

po zastąpieniu więzów 

przez siłę reakcji

9

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

ZEWNĘTRZNE

9. Powierzchnia toczenia bez oporu

Te więzy traktuje się jak podporę przesuwną bez tarcia.

Obiekt mechaniczny z więzami

Obiekt mechaniczny po zastąpieniu 

więzów przez siłę reakcji

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera oraz ma dwie składowe:

• składową 

R

prostopadłą do kierunku toczenia i przechodzącą przez środek koła,

• składową

k·R

równoległą do kierunku toczenia, i jest nią siła oporu toczenia.

Składowe 

R

, 

k·R

są przyłożone punkcie styku obwodu koła z powierzchnią toczenia, przynależ-

nym do osi koła prostopadłej względem kierunku toczenia. 

10. Powierzchnia toczenia z oporem

Uwaga:

Koło toczy się bez poślizgu,  gdy współczynnik

k

oporu toczenia jest mniej-

szy niż współczynnik statycznego tarcia tego koła po powierzchni toczenia. 

16

18

Wartości współczynników oporu toczenia dla 

niektórych przypadków kół i powierzchni toczenia  

0, 15÷0,30

Piasek

0,08÷0,15

Droga gruntowa ubita

po deszczu

0,05÷0,14

Droga gruntowa ubita 

sucha

0,020

Kostka kamienna

0,025

Szosa żwirowa

0,015

Szosa betonowa

0,012

Szosa asfaltowa

Cztery koła 
samochodu 
osobowego

φ 

φ 

φ 

φ 

– średnica koła w mm

(30÷60)/

φφφφ

Bieżnia stalowa

Pojedyncze koło

ogumione

12/

φφφφ

Droga asfaltowa

3/

φφφφ

Droga kamienna

0,1/

φφφφ

Szyna stalowa

Pojedyncze koło 

stalowe

Współczynnik oporu 

toczenia

Rodzaj powierzchni 

toczenia

Rodzaj kół 

10

19

Niektóre przypadki

zastępowania więzów 

WEWNĘTRZNYCH  

przez właściwe im siły i momenty reakcji

20

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

WEWNĘTRZNE 

1. Połączenie przesuwne bez tarcia

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji 

R

jest różna od zera oraz działa 

wzdłuż prostej normalnej tego połączenia

.

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny po 

zastąpieniu więzów 

przez siły reakcji

W celu zastąpienia więzów siłą reakcji, do obu stron rozdzielonego połączenia 

należy przyłożyć siłę

R

przeciwnie skierowaną

Uwaga

11

21

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

WEWNĘTRZNE

2. Połączenie przesuwne z tarciem ślizgowym

Moment reakcji wynosi zero, a siła reakcji jest różna od zera oraz ma dwie 
składowe:

•składową normalną

R

działającą wzdłuż prostej normalnej tego połączenia,

•składową styczną 

µµµµ

·R

, którą jest siła tarcia działająca w połączeniu

.

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny po 

zastąpieniu więzów przez 

siły reakcji

Uwaga

W celu zastąpienia więzów siłą reakcji, do obu stron rozdzielonego połączenia 

należy przyłożyć składowe 

R

, 

µµµµ

·R

tej siły, przeciwnie skierowane

22

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

WEWNĘTRZNE

2. Połączenie przesuwne z oporem toczenia

Moment reakcji wynosi zero, a siła reakcji jest różna od zera oraz ma dwie 
składowe:

•składową normalną

R

działającą wzdłuż prostej normalnej tego połączenia,

•składową styczną 

k·R

, którą jest siła oporu toczenia działająca w połączeniu

.

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny po 

zastąpieniu więzów 

przez siły reakcji

Uwaga

W celu zastąpienia więzów siłą reakcji, do obu stron rozdzielonego połączenia 

należy przyłożyć składowe 

R

, 

k·R

tej siły, przeciwnie skierowane

12

23

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

WEWNĘTRZNE 

5. Połączenie przesuwne cięgnowe

Moment reakcji jest równy zero, siła reakcji 

R

jest różna od zera i działa 

wzdłuż linii cięgna

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny po 

zastąpieniu więzów 

przez siły reakcji

W celu zastąpienia więzów siłą reakcji, należy do obu stron rozdzielonego 

połączenia przyłożyć siłę 

R

przeciwnie skierowaną

Uwaga

24

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

WEWNĘTRZNE 

3. Połączenie nieprzesuwne przegubowe

Moment reakcji jest równy zero, a siła reakcji jest różna od zera. Siła reakcji 

ma dwie składowe 

R

x

,

R

y

, przyjmowane zwykle jako wzajemnie prostopadłe. 

Obie składowe leżą na płaszczyźnie obrotu przegubu i przecinają jego  środek

.

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny po 

zastąpieniu więzów 

przez siły reakcji

Uwaga

W celu zastąpienia więzów siłą reakcji, należy:

•

do obu stron rozdzielonego połączenia przyłożyć składowe 

R

x

,

R

y

przeciwnie skierowane

,

•

do  jednej  strony  rozdzielonego  połączenia  przyłożyć  siłę  zewnętrzną  P bez  zmiany
znaku i  kierunku.

13

25

Dobór sił i momentów reakcji zastępujących więzy 

WEWNĘTRZNE

4. Połączenie nieprzesuwne nieprzegubowe

Moment reakcji oraz siła reakcji są różne od zera. Moment reakcji 

M

R

oraz 

składowe 

R

x

, 

R

y

siły reakcji, działają w płaszczyźnie obciążeń zewnętrznych  P, 

M oraz są zaczepione w środku uchwytu.

Obiekt mechaniczny 

z więzami

Obiekt mechaniczny po 

zastąpieniu więzów 

przez siły reakcji

Uwaga

W celu zastąpienia więzów momentem i  siłą reakcji, należy do obu stron rozdzielonego 

połączenia przyłożyć moment 

M

R

oraz składowe

R

x

,

R

y

przeciwnie skierowane

26

Przykład analizy statycznej obiektu mechanicznego (1)

1. Schemat fizyczny obiektu

1.1. Siły czynne obiektu:

A –

podpora przesuwna bez tarcia,

D –

podpora nieprzesuwna z przegubem

.

Określić siłę P potrzebną do przetoczenia przez po-
most  AD wozu,  którego  całkowity    ciężar  z  ładun-
kiem jest  równy  Q.  W  analizie  statycznej  uwz-
ględnić współczynnik oporu toczenia, który dla dwu 
kół  przednich  i  dwu  kół  tylnych  toczenia  wozu  po 
pomoście  jest  taki  sam  i  wynosi  k oraz pominąć
opory w łożyskach kół wozu.

B –

połączenie przesuwne z oporem toczenia,

C -

połączenie przesuwne z  oporem toczenia.

Q –

obciążenie wozu

,

P –

siła potrzebna do pokonania oporu 

toczenia

.

1.2. Więzy zewnętrzne:

1.3. Więzy wewnętrzne:

14

27

Przykład analizy statycznej obiektu mechanicznego (2)

2. Analiza więzów zewnętrznych oraz 

zastąpienie tych więzów przez właściwe 
im siły reakcji

podpora przesuwna bez tarcia - siła reak-

cji

R

A

jest prostopadła  do  powierzchni

podparcia oraz  przechodzi  przez środek
tego podparcia.

podpora nieprzesuwna z   przegubem – siła 

reakcji ma dwie składowe

R

DX

, 

R

DY

przy-

łożone w środku przegubu, z których  

R

DX 

działa równolegle do powierzchni pod-

parcia, a 

R

DY

prostopadle do tej powierz-

chni.

Obiekt po zastąpieniu więzów 

zewnętrznych przez siły reakcji

Obiekt z więzami

D -

A -

28

Przykład analizy statycznej 

obiektu mechanicznego (3)

3. Analiza więzów wewnętrznych oraz

zastąpienie  tych  więzów  przez  właści-
we im siły reakcji

.

połączenie  przesuwne  z  oporem  to-
czenia – siła  reakcji ma  składową  nor-
malną

R

B

działającą  wzdłuż  prostej  nor-

malnej tego  połączenia  oraz  składową 

k·R

B

styczną  do  obwodu  koła,    którą  jest 

siła oporu toczenia dla tylnych kół wozu.

Obiekt bez więzów

zewnętrznych i wewnętrznych

Obiekt bez więzów 

zewnętrznych

B 

-

połączenie przesuwne z oporem tocze-
nia – siła  reakcji ma składową normal-
malną

R

C

działającą wzdłuż  prostej nor-

malnej tego połączenia oraz    składową 

k·R

C

styczną do obwodu koła,  którą  jest

siła oporu toczenia dla tylnych kół wozu.

C-

15

29

Przykład analizy statycznej obiektu mechanicznego (4)

4.  Podział  obiektu  na  elementy  mechaniczne  oraz  przyporządkowanie  każdemu 

elementowi układu obciążeń  zawierającego  wszystkie  siły  i  momenty  zew-
nętrzne oraz wszystkie siły i momenty reakcji tego elementu.

Schemat układu 

obciążeń dla wozu

Schemat układu obciążeń dla 

pomostu

Obiekt należy podzielić na dwa elementy: wóz i pomost