4.2. Prawo Gaussa i przykłady jego zastosowań.

Strumień linii sił pola wektorowego o natężeniu
definiujemy następująco:

Można następująco sformułować prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego:

Całkowity strumień pola grawitacyjnego przechodzący przez dowolna powierzchnię zamkniętą (tzw. powierzchnię Gaussa), jest proporcjonalny do masy będącej źródłem tego pola - tej, która jest zamknięta wewnątrz powierzchni Gaussa.

Zapisujemy to następująco:

gdzie
czyli ostatecznie

Przykłady zastosowania Prawa Gaussa do punktowego, liniowego i objętościowego rozkładu masy.

Strumień pola grawitacyjnego wytwarzanego przez źródło punktowe.

Uwaga! Znak „-„ związany jest z przeciwnym zwrotem wektorów
oraz
. Zgodnie z umową wektor
skierowany jest w stronę masy M (siły przyciągające).

Skoro:

a jak obliczono

więc stąd:
wartość

Stosując prawo Gaussa dla ładunku punktowego q > 0

A więc
skąd:

wartość

jeśli w odległości r od źródła q umieszczę ładunek punktowy q₀>0 to:

czyli

jest to siła Coulomba

Zastosowanie prawa Gaussa dla przestrzennego rozkładu masy.

1. Sferyczny rozkład masy - powłoka kulista o masie M i promieniu R.

gęstość powierzchniowa masy:

rozpatrujemy pierwszy obszar r > R

Na podstawie prawa Gaussa można zapisać:

gdzie M jest masą powłoki zawartej wewnątrz powierzchni Gaussa.

Uwaga na przeciwne zwroty wektorów
i
, gdyż ich iloczyn skalarny da wartość ujemną.

Dla drugiego obszaru r < R

gdyż żadna masa nie jest zawarta wewnątrz wybranej powierzchni Gaussa.

Zależność potencjału V(r) przedstawia poniższy wykres.

2. Objętościowy rozkład masy - kula o masie M, promieniu R i gęstości ρ.

Założenie - kula jednorodna tzn.

Rozpatrujemy pierwszy obszar r > R

(cała masa kuli zawarta jest wewnątrz

powierzchni Gaussa).

Można więc zapisać:

Znając g można obliczyć potencjał i energię potencjalną masy próbnej m znajdującej się w odległości r od źródła pola grawitacyjnego M.

stąd

Z kolei dla drugiego obszaru r < R tylko część masy kuli M' znajduje się wewnątrz wybranej powierzchni Gaussa

skąd

Na podstawie prawa Gaussa:

skąd ostatecznie:

Dla obu obszarów otrzymujemy ten sam wynik gdy r = R:

Obliczmy pracę wykonaną przez siłę zewnętrzną podczas zbliżania ciała o masie m do ciała o masie M i promieniu R.

Rozpatrzmy dwa obszary: - na zewnątrz masy M: R ≤ r < ∞ oraz wewnątrz: 0 < r < R

Tak więc

ostatecznie

Przykład: tunel przez Ziemię.

(t.2 Halliday, Resnick, Walker § 14.5 str. 36

lub obliczenie okresu ruchu ciała w tunelu:

stare wydanie t. 1 Resnick, Halliday §16.6 str.484)



a



r=R

~ r²

~1/r²

~1/r

Powierzchnia Gaussa

r= R

V



r

g

r

n

n

r

a

r>R

n

V

s

r= R

r

g

~1/r²

r

g

~1/r²

---