WFiTJ	Barbara Toczek Bartosz Sobanek		Grupa III
Zespół V	Temat: Modelowanie pola elektrostatycznego		Ćw.31
data ćwiczenia 07.12.99	data oddania 14.12.99	data zwrotu	podpis

Cel ćwiczenia

Poznanie podstawowych wartości opisujących pole elektrostatyczne. Wyznaczenie powierzchni ekwipotencjalnych i wektorów natężenia pola elektrycznego na płaszczyźnie dla różnych konfiguracji elektrod.

Wprowadzenie

Pole elektrostatyczne wytwarzają w przestrzeni nieruchome ładunki elektryczne. Znalezienie rozkładu pola przy zadanej konfiguracji ładunków polega na określeniu w każdym punkcie przestrzeni funkcji opisujących jego natężenie E(x, y, z) i potencjał skalarny V(x, y, z).Jest to wykonalne albo na drodze matematycznej przez rozwiązanie podstawowych równań elektrostatyki, np. Gaussa, Laplace'a czy Poissona, albo na drodze doświadczalnej.

Metody doświadczalne oparte są głównie na tak zwanym modelowaniu analogowym, tj. Zastąpieniu pola elektrostatycznego polem innego rodzaju, o takim samym rozkładzie funkcji, które je opisują, z tą różnicą, że są łatwiejsze do zmierzenia.

Wygodnym modelem pola elektrostatycznego jest np. pole elektryczne wywołane przez przepływ ładunków w przestrzeni wypełnionej materiałem o określonej przewodności elektrycznej.

W celu uzasadnienia równoważności pola elektrostatycznego w przestrzeni bez ładunków i stacjonarnego pola przepływu prądu w przestrzeni o stałej oporności właściwej ρ należy wyjść od prawa Ohma w zapisie mikroskopowym,

, (1)

które wiąże wektor gęstości prądu j z wektorem natężenia pola elektrycznego E . Wektor E jest związany z polem potencjału V zależnością E=-gradV .

Obliczamy dywergencje obu stron równania (1). Z prawa zachowania ładunku elektrycznego wynika, że pole j jest bezźródłowe, czyli divj=0.

Zatem

,

czyli

(2)

Otrzymaliśmy rezultat, że dla stacjonarnego pola przepływu prądu potencjał v spełnia równanie Laplace'a (2), tak samo jak w przypadku pola elektrostatycznego w przestrzeni bez ładunków.

W naszym ćwiczeniu w metodzie modelowania pola elektrycznego wykorzystujemy papier przewodzący .

Ta metoda pozwala na bezpośrednie wyznaczenie potencjału w określonych punktach pola. Wartości potencjału wyznacza się przez pomiar napięcia woltomierzem o dużej oporności właściwej w węzłach siatki płaskiej Przy odpowiednim zagęszczeniu punktów pomiarowych daje się wyznaczyć przebieg linii ekwipotencjalnych, a na ich podstawie obliczyć wartość natężenia pola oraz przebieg linii sił.

Przybliżoną wartość natężenia pola E uzyskujemy obliczając numerycznie gradient potencjału:

, (3)

gdzie: h, k są krokami siatki. Przeważnie h=k.

Pole elektryczne kondensatora cylindrycznego

kondensator ten stanowi bardzo prostą konfiguracje ładunków, dla której łatwo można znaleźć rozkład pola elektrostatycznego.

Rozważmy długi kondensator cylindryczny.

Przez zastosowanie prawa Gaussa

i po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy wektor pola elektrycznego E skierowany wzdłuż promienia r prostopadłego do osi walca:

Korzystając ze związku wyznaczamy potencjał. Przyjmując odpowiednie warunki brzegowe V(r=a)=U , V(r=b)=0 otrzymujemy końcowe formuły na rozkład potencjału i natężenie pola w kondensatorze cylindrycznym:

(4).

Opracowanie wyników

KONDENSATOR CYLINDRYCZNY

Z równań (4) przedstawionych we wprowadzeniu wynika, że rozkłady pola elektrycznego E(r) oraz potencjału V(r) w kondensatorze cylindrycznym nie zależą od długości kondensatora l. Badamy więc pole na płaskim modelu w postaci dwu mosiężnych pierścieni koncentrycznych (rys.1). Metalowe elektrody są umieszczone na papierze przewodzącym, na którym wyznaczono punkty pomiarowe w postaci otworów. Na te elektrody podaje się niewielkie napięcie z zasilacza.

Jedynym używanym w ćwiczeniu miernikiem jest laboratoryjny woltomierz cyfrowy typu V540 (czterocyfrowy) używany do pomiaru napięcia w punktach papieru oporowego.

Maksymalny błąd pomiaru napięcia stałego określony jest jako 0,05% wartości mierzonej

+ 0,01% zakresu. W naszym ćwiczeniu badamy napięcie na zakresie 10V.

Wymiary kondensatora

promień mniejszy a = 1,9±0,1 [cm]

promień większy b = 9,4±0,1 [cm]

Napięcie między okładkami kondensatora U=10 [V]

Wartości natężenia pola i potencjału obliczamy ze wzorów:

Wyniki pomiarów zestawiamy w tabeli I :

TABELA I
n	r [cm]	Va	Vb	Vc	Vdośw. [V]	Vteor. [V]	Edośw. [V/cm]	Eteor. [V/cm]
1	2,7	7,6	7,5	7,2	7,74(5)	7,80(5)
	3,05						-2,0±0,3	-1,75(3)
2	3,4	6,2	6,0	5,9	6,33(4)	6,36(4)
	3,8						-1,7±0,2	-1,41(3)
3	4,2	5,0	4,9	4,7	4,97(3)	5,04(4)
	4,55						-1,4±0,2	-1,21(2)
4	4,9	4,0	3,9	3,8	3,99(3)	4,07(3)
	5,3						-1,1±0,1	-1,04(2)
5	5,7	3,2	3,5	3,0	3,13(3)	3,13(3)
	6,05						-1,2±0,2	-0,93(2)
6	6,4	2,4	2,3	2,3	2,37(3)	2,40(3)
	6,75						-0,9±0,1	-0,84(2)
7	7,1	1,8	1,7	1,7	1,73(2)	1,76(2)
	7,45						-0,8±0,1	-0,76(1)
8	7,8	1,2	1,1	1,1	1,19(2)	1,17(2)
	8,2						-0,8±0,1	-0,69(1)
9	8,6	0,6	0,6	0,6	0,58(1)	0,56(1)

Błąd pomiaru promieni r =0,1 cm

Błąd wartości doświadczalnych natężenia pola wyliczyliśmy z prawa przenoszenia błędów.

Wnioski z wykresów

Na wykresie zależności natężenia pola od promienia punkty doświadczalne przypisaliśmy położeniom, które są średnią z położeń r_n+1 i r_n ,z których dana wartość E_dośw. została wyliczona.

Na wykresach obserwujemy dość dobrą zgodność wartości potencjału i natężenia pola przy wyliczaniu na dwa sposoby:

• przy bezpośrednim pomiarze potencjału V_dośw. i wstawieniu wyników do wzoru na E_dośw.

• przy wyliczeniu potencjału i natężenia pola z gotowych formuł na V_teor i E_teor

Nazwaliśmy zgodność „dość dobrą”, gdyż tylko dla niektórych pomiarów wyniki nie mieszczą się w granicach błędów. Przyczyną mogą być błędy pomiarowe.

Przyczyny błędów pomiarowych:

• nieprawidłowe dociskanie (tzn. zbyt silne, zbyt lekkie, zmiana nacisku przy pomiarze) końcówki pomiarowej, co spowodowało błędne wskazania woltomierza

KONDENSATOR PŁASKI

Układ pomiarowy stanowią metalowe elektrody o kształcie płyt płaskorównoległych.

Mierzymy wartości napięcia w poszczególnych punktach przedstawionych na rys. 2. Wyniki pomiarów przedstawiamy w tabeli 2 (na następnej stronie).

Odległość x to odległość od jednej z okładek kondensatora, dla której przyjęliśmy x=0.

Błąd pomiaru napięcia określony jest jako 0,05% wartości mierzonej + 0,01% zakresu (10 V).

Błędy dla wartości: 0,8 -1,2 →0,001

1,3 -2,7→0,002

2,8 - 4,2→0,003

4,3 -6,5→0,004

6,6 -8,9→0,005

9,2 -... →0,006

WNIOSKI

Na rysunku 2 przedstawiliśmy przebieg linii ekwipotencjalnych na podstawie otrzymanych wyników doświadczalnych.

Z powodu braku odpowiednich urządzeń (np. krzywki, cyrkla) narysowaliśmy linie odręcznie. Chociaż nie jest to zbyt dokładny rysunek, to jednak udało nam się przedstawić ogólną zasadę przebiegu linii ekwipotencjalnych w kondensatorze płaskim.

rys.3. Przykładowy teoretyczny rys. z zaznaczonymi liniami ekwipotencjalnymi

TABELA II
x	Napięcia [V]
-16							0,9	0,9	0,9
-15							0,8	0,9	0,9
-14
-13							0,9	1	1,1
-12
-11							0,9	0,9	0,9
-10
-9							0,9	1,1	1,3
-8
-7							0,9	1,2	1,5
-6
-5							0,9	1,3	1,7
-4
-3							0,9	1,6	2,1
-2
-1							1,4	1,4	2,6
0
1	1,2	1,3	1,3	1,3	1,4	1,8	2,5	3,1	3,4
2	2,2	2,3	2,4	2,3	2,5	2,7
3	3,2	3,2	3,3	3,3	3,4	3,6	3,8	4	4,2
4	4,1	4,1	4,3	4,2	4,2	4,4
5	5,1	5	5,1	5,1	5,1	5,2	4,5	5,1	5,1
6	6	6,1	6	6	6,1	6
7	7,1	7,1	7	7	7,1	6,9	6,5	6,5	6,1
8	8	8	7,9	7,9	7,9	7,7
9	9	8,9	8,8	8,8	8,8	8,6	6,7	7,1	6,8
10
11							8,7	8	7,5
12
13							9,2	8,5	8
14
15							9,2	8,7	8,3
16
17							9,2	8,8	8,6
18
19							9,1	8,9	8,7
20
21							9,1	9	8,8
22
23							9,2	9	8,9
24
25							9,2	9,1	9,1
26							9,2	9,1	9

Opracowanie wyników:

x [cm]	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5
Vzmierzone [V]	1,4	2,3	3,2	3,9	5	5,9	6,9	7,9	8,9
		1,3	2,5	3,3	4,2	5,1	6,1	7	7,9	8,9
		1,4	2,3	3,3	4,2	5	6	7	7,9	8,9
		1,4	2,3	3,2	4,2	5	6	7	8	8,9
		1,3	2,3	3,2	4,2	5,1	6	7	8	8,9
		1,3	2,3	3,2	4,2	5,1	6,1	7	8	8,9
		1,3	2,3	3,2	4,1	5,1	6	7,1	8	8,9
		1,3	2,2	3,2	4,1	5,1	6	7,1	8	9
		1,2	2,3	3,2	4,1	5,1	6,1	7,1	8	8,9
		1,3	2,4	3,2	4,1	5	5,9	7,1	8	9
Vdosw [V]	1,3	2,3	3,2	4,1	5,1	6,0	7,0	7,9	8,9
ΔVdosw [V]	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1
Vteoret [V]	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Edośw [V/cm]	2,6	2,3	2,1	2,1	2,0	2,0	2,0	2,0	1,9
ΔEdośw [V/cm]	0,5	0,2	0,1	0,1	0	0	0	0,1	0,1
Eteor [V/cm]	2,00	2,00	2,00	2,00	2,00	2,00	2,00	2,00	2,00

V_dośw zostało wyznaczone jako średnia arytmetyczna wartości V leżących w jednakowych odległościach od jednej z okładek kondensatora.

ΔV_dośw jest to odchylenie standardowe wartości dla których zostało wyliczone V_dośw.

Wzory na V_teor i E_teor zostały wyprowadzone poniżej.

Błąd ΔE_dośw jest wyliczone z prawa przenoszenia błędu.

Wyprowadzenie wzoru na V_teor i E_teor dla kondensatora płaskiego. Wzorów tych użyto do obliczeń wartości znajdujących się w tabeli.

WNIOSKI:

W przypadku kondensatora płaskiego możemy zauważyć odchyłki wartości V i E zmierzonego doświadczalnie od teoretycznego. Jest to spowodowane tym, że wzory teoretyczne wyprowadzone zostały dla kondensatora nieskończonego. Szczególnie dobrze widać to dla punktów środkowych, dla których odchyłki te są niewielkie, zaniedbywalnie małe. Inną przyczyną powstawania błędów może być to, że istnieje pewien niewielki opór papier-sonda, który zależy od siły docisku sondy. Istnieje także błąd wynikający z zastąpienia nieskończenie małych przyrostów (dV/dr) przyrostami skończonymi we wzorze na wartość E.

---