LABORATORIUM FIZYKI I	Ćwiczenie nr: 31
Wydział: WiP	Grupa: ID-A0-42
Nazwisko i imię: Wojciech Wiosek	Przygotowanie: 5pkt
Temat ćwiczenia: Ruch elektronu w polu magnetycznym, wyznaczanie wartości e/m	Sprawozdanie:
Sprawozdanie przyjęto:	Podpis:

Cel ćwiczenia:

Celem niniejszego ćwiczenia jest zapoznanie się z ruchem elektronu w przestrzeni, w którym działa pole magnetyczne i elektryczne oraz pomiar stosunku ładunku elektronu do jego masy (e/m). Liczba ta pozwala nam na obliczenie masy elektronu przy znanym jego ładunku.

Podstawy fizyczne:

Na ładunek q w polu elektrycznym o natężeniu $\overrightarrow{E}$ działa siła:

$$\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E}$$

której wartość nie zależy od prędkości poruszającego się ładunku. Natomiast pole magnetyczne oddziałuje na ładunki elektryczne siłą zwaną siłą Lorentza:

$$\overrightarrow{F} = q\left( \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} \right)$$

$$\overrightarrow{F} = qvB\sin\alpha$$

gdzie: α – kąt pomiędzy wektorem prędkości a natężenia

Wektor siły Lorentza jest prostopadły do płaszczyzny, jaką tworzą wektory prędkości i indukcji. Jeżeli α = 90 to wartość tej siły jest największa, natomiast jeżeli α = 0, to jej wartość równa jest zero.

Pole elektryczne powoduje zmianę energii kinetycznej (przyspieszenie ruchu) ładunku, natomiast pole magnetyczne odchyla jego tor. Przy jednoczesnym działaniu obu tych pól, torem ruchu jest linia śrubowa o wzrastającym skoku (skutek przyspieszenia) w funkcji czasu. Spirala ta leży na powierzchni walca, którego tworząca pokrywa się z kierunkiem początkowym składowej równoległej prędkości. Mamy tu więc do czynienia ze złożeniem dwóch ruchów (po okręgu i postępowego).

W zależności od tego jaki kąt wytworzy wektor prędkości z wektorem indukcji rozróżniamy ruchy ładunku:

Ruch jednostajny prostoliniowy, wówczas wektor prędkości skierowany jest równolegle do wektora indukcji.

sinα = 0
Ruch po okręgu, wówczas wektor prędkości skierowany jest prostopadle do wektora indukcji.

sinα = 1

$$qvB = \frac{mv^{2}}{r}$$

$$r = \frac{\text{mv}}{\text{qB}}$$

Ruch po linii śrubowej, wówczas wektor prędkości skierowany jest pod kątem do wektora indukcji.

sinα ∈ (0, 1)

$$qvB = \frac{mv^{2}}{r}$$

$$r = \frac{\text{mv}\sin\alpha}{\text{qB}}$$

Opis ćwiczenia:

I. Wyznaczanie wartości e/m metodą magnetronu.

Magnetron jest to lampa elektronowa (dioda) o cylindrycznej anodzie i osiowo umieszczonej katodzie, znajdująca się w polu magnetycznym solenoidu, które jest równoległe do osi katody. Zewnętrzne pole magnetyczne służy w magnetronie do dodatkowego sterowania prądem anodowym. Elektrony emitowane z katody poruszają się pod wpływem przyłożonej różnicy potencjałów (między anodą i katodą) od katody do anody po linii prostej. Przyłożone zewnętrzne pole magnetyczne spowoduje zakrzywienie toru ruchu elektronów, a dla pewnej, krytycznej wartości pola magnetycznego, zakrzywienie jest tak duże, że elektrony przestają docierać do anody.

W celu wyznaczenia stosunku e/m konieczne jest określenie wartości prądu krytycznego cewki Ikr przy którym przestaje płynąć prąd anodowy:

$$\frac{e}{m} = \frac{8U}{{\mu_{0}}^{2}N^{2}{I_{\text{kr}}}^{2}b^{2}\left( 1 - \frac{a^{2}}{b^{2}} \right)}$$

gdzie: U – przyłożone napięcie

μ₀ – stała magnetyczna próżni (μ₀ = 4μ • 10⁻⁷ [Vs/Am])

N – liczba zwojów cewki na jednostkę jej długości

I_kr – wartość prądu krytycznego

a – promień katody

b – promień anody

W idealnym przypadku prąd krytyczny możemy określić jako wartość prądu solenoidu, dla której prąd anodowy maleje do zera. W rzeczywistości jednak prąd anodowy nie zmaleje do zera ponieważ elektrony opuszczające anodę mają różne prędkości, a ponadto ulegają zderzeniom. Jako wartość prądu krytycznego przyjmuje się punkt przegięcia krzywej zależności prądu anodowego od prądu cewki.

II. Wyznaczanie wartości e/m przy użyciu cewek Helmholtza.

W tej części ćwiczenia wykorzystujemy specjalną lampę wypełnioną argonem. Gaz ten odgrywa kluczową rolę w doświadczeniu, ponieważ elektrony zderzając się z cząsteczkami gazu powodują ich jonizację na skutek czego możliwa jest obserwacja toru ruchu elektronów. Jednocześnie jony argonu oddziałując elektrostatycznie z elektronami powodują ogniskowanie wiązki elektronowej. Elektrony wyrzucane sią w obszar lampy za pomocą działa elektronowego, które przyspiesza je do energii:

E = eU

Lampa umieszczona jest między dwoma współosiowymi uzwojeniami z drutu miedzianego, zwanymi cewkami Helmholtza. Płynący przez cewki prąd elektryczny powoduje powstanie wewnątrz lampy pola magnetycznego o wektorze $\overrightarrow{B}$ skierowanym prostopadle do osi lampy. Cewki Helmholtza mają duże rozmiary, by zapewnić otrzymanie jednorodnego pola magnetycznego wewnątrz lampy. Lampa może być obracana wokół własnej osi, co umożliwia zmianę kierunku prędkości elektronów względem kierunku pola magnetycznego. W pewnej pozycji ruch elektronów będzie odbywać się po okręgu. Wewnątrz lampy znajduje się również metalowa drabinka pokryta farbą fluoryzującą, pozwalającą na dokładny pomiar średnicy toru ruchu elektronów.

Wartość e/m dla zastosowanych w ćwiczeniu cewek Helmholtza opisywać będzie wzór:

$$\frac{e}{m} = 4,17 \bullet 10^{6}\frac{U}{I^{2}r^{2}}$$

gdzie: U – napięcie przyspieszające

I – prąd płynący przez cewki

r – promień okręgu

Przebieg ćwiczenia:

I. Wyznaczanie wartości e/m metodą magnetronu.

1. Połączyć układ pomiarowy według schematu:

1. Po sprawdzeniu przez prowadzącego ćwiczenie połączeń elektrycznych, włączyć przyrządy, zaczynając od zasilacza obwodu żarzenia magnetronu (potrzeba kilku minut na ustabilizowanie się prądu anodowego).

2. Wykonać pomiary natężenia prądu anodowego w funkcji natężenia prądu w cewce, przy stałym napięciu anodowym. Asystent ustali liczbę serii pomiarowych, to znaczy dla ilu napięć anodowych wykonuje się pomiary. Szczególną uwagę należy zwrócić na stałość napięcia anodowego w trakcie wykonywania każdej serii. Jeśli przy zmianie prądu w cewce zmieni się wartość napięcia anodowego, to trzeba go skorygować przed każdym pomiarem, do wartości ustalonej dla każdej serii.

II. Wyznaczanie wartości e/m przy użyciu cewek Helmholtza.

1. Po nagrzaniu aparatury należy ustawić odpowiednie napięcie przyspieszające elektrony (pełną jasność wiązki elektronowej uzyskuje się po około 3 minutach od momentu włączenia zasilania).

2. Włączyć zasilanie prądu płynącego przez cewki Helmholtza i zaobserwować tor elektronów w gazie (Uwaga: prąd maksymalny płynący przez cewki – 5A).

3. Obrócić lampę do takiej pozycji, aby elektrony z działa elektronowego wylatywały w kierunku dokładnie prostopadłym do kierunku pola magnetycznego. Przy właściwym ustawieniu lampy elektrony zataczają okręgi.

4. Regulując prąd płynący przez cewki uzyskać taką średnicę toru ruchu, by przecinał on położone poziomo szczeble drabinki. Drabinka pokryta jest substancją, która fosforyzuje pod wpływem padających elektronów, tak więc w momencie uzyskania odpowiedniej średnicy toru ruchu następuje zaświecenie danego szczebla drabinki.

5. Dla danego napięcia przyspieszającego U należy dobrać kolejne wartości natężenia prądu I płynącego przez cewki, dla których następuje rozświecenie kolejnych szczebli drabinki.

Wszystkie wyniki zostały omówione w ostatniej części sprawozdania: Wnioski

Wyniki i ich opracowanie:

Podczas wykonywania ćwiczenia używaliśmy trzech różnych przyrządów pomiarowych, były nimi:

Woltomierz cyfrowy V530, którego:

c₁ = 0, 05%

c₂ = 0, 01%

dla wszystkich
zakresów pomiarów

Galwanometr, którego:

Klasa: 0,2

L. działek: 150

Zakres: 300μA

Stoper, którego:

Dz. element. = 0,01s

I. Badanie procesu ładowania (rozładowania) kondensatora.

Pierwszym wykonanym przeze mnie pomiarem był pomiar natężenia prądu na galwanometrze (zakres 300μA) w miarę upływającego czasu (od 0 co 5s). Pomiar wykonany dla R = 100kΩ i C = 100μF.

t	err t	I	err I
[s]	[μA]
0	0,19061	152	1,20554
5	0,19061	44	1,20554
10	0,19061	24	1,20554
15	0,19061	14	1,20554
20	0,19061	8	1,20554
25	0,19061	4	1,20554
30	0,19061	2	1,20554
35	0,19061	0,5	1,20554
40	0,19061	0	1,20554

Niepewność pomiaru stoperem (uwzględniając niepewność eksperymentatora):

x = 0, 01 s

x_e = 0, 33 s

$$u(x) = \sqrt{\frac{\left( x \right)^{2}}{3} + \frac{\left( x_{e} \right)^{2}}{3}} = 0,19061\ s$$

Niepewność pomiaru galwanometrem (uwzględniając niepewność eksperymentatora):

$$x = \frac{0,2 \bullet 300}{100} = 0,6\ \mu A$$

$$x_{e} = \frac{300}{150} = 2\ \mu A$$

$$u(x) = \sqrt{\frac{\left( x \right)^{2}}{3} + \frac{\left( x_{e} \right)^{2}}{3}} = 1,20554276\ \mu A$$

Po uwzględnieniu powyższych niepewności wykonałem wykres zależności I(t):

Wynik dopasowania:

Equation	y = y0 + A*exp(R0*x)
Adj. R-Square	0,99031
		Value	Standard Error
I	y0	3,90868	2,10554
I	A	147,12574	5,14539
I	R0	-0,23402	0,02111

Przyjmując do obliczeń stałej czasowej I₁ = 44μA dla którego t = 5s oraz korzystając z zależności:

$$I_{2} = \frac{I_{1}}{e} = \frac{44}{e} \approx 16,1867\mu A$$

Dopasowując otrzymany wynik do wykresu dla ów wartości natężenia czas t = 15s, zatem:

τ = 15 − 5 = 10 s

Przekształcając pomiary do postaci logarytmicznej:

t	err t	ln I	err ln I
[s]	[μA]
0	0,19061	5,02388	0,23996
5	0,19061	3,78419	0,31857
10	0,19061	3,17805	0,37933
15	0,19061	2,63906	0,45681
20	0,19061	2,07944	0,57974
25	0,19061	1,38629	0,86962
30	0,19061	0,69315	1,73923
35	0,19061	-0,69315	1,73923

Niepewność pomiaru stoperem nie zmieniła się. Zmianie uległa niepewność pomiaru natężenia i obliczana jest ze wzoru:

$$u\left( \ln I \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial\ln I}{\partial I} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( I \right)} = \sqrt{\frac{1}{I^{2}} \bullet u^{2}\left( I \right)}$$

Wykres:

Wynik testu χ²:

χ² = 0, 47371 ≤ χ²_krytyczna

W takim przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o liniowej zależności danych, zatem zależność ta jest prawdziwa.

Wynik dopasowania metodą najmniejszych kwadratów:

Equation	y = a + b*x
Adj. R-Square	0,97589
		Value	Standard Error
I	Intercept	4,82009	0,18137
I	Slope	-0,14621	0,00867

Stała czasowa w tym przypadku jest równa:

$$\tau = - \frac{1}{\text{slope}} = 6,83948\ s$$

$$u\left( \tau \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial\tau}{\partial slope} \right)^{2} \bullet u^{2}(slope)} = \sqrt{\frac{1}{\text{slope}^{4}} \bullet u^{2}(slope)} = 0,40557\ s$$

Zatem ostatecznie:

τ = 6, 84(41) s

Obliczając czas relaksacji ze wzoru:

τ = RC

Otrzymujemy:

τ = 100000 • 100 • 10⁻⁶ = 10 s

Tabela porównująca:

τ = RC	τ z ln I = f(t)	τ z I(t)
10s	6,84(41)s	10s

II. Badanie drgań relaksacyjnych.

Tabela pomiarowa napięcia zapłonu i gaszenia lampy neonowej (dla 10 pomiarów):

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Uz[V]	77,75	77,58	77,37	76,70	77,11	77,05	77,40	77,25	77,50	77,14
Ug[V]	59,30	60,01	59,64	59,41	59,45	59,12	59,43	59,38	59,71	59,51

Napięcie zapłonu:

Obliczam średnią wartość napięcia zapłonu, wynosi ona:

$$\overset{\overline{}}{U_{z}} = 77,285\ V$$

Odchylenie standardowe wielkości średniej:

$$u\left( U_{z} \right) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{}^{}{(\overset{\overline{}}{U_{z}} - U_{i})}^{2}}$$

Niepewność standardowa typu B:

$$x = c_{1}\overset{\overline{}}{U_{z}} + c_{2}z$$

$$u\left( U_{z} \right) = \frac{x}{\sqrt{3}}$$

Z prawa propagacji niepewności:

$$u\left( U_{z} \right) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{}^{}{(\overset{\overline{}}{U_{z}} - U_{i})}^{2} + \frac{{x}^{2}}{3}} = 0,859659059\ V$$

Zatem ostatecznie napięcie zapłonu jest równe:

U_z = 77, 29(86) V

Napięcie gaszenia obliczone zostało w sposób identyczny jak napięcie zapłonu, tak więc:

$$\overset{\overline{}}{U_{g}} = 59,505\ V$$

Niepewność typu A:

$$u\left( U_{g} \right) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{}^{}{(\overset{\overline{}}{U_{g}} - U_{i})}^{2}}$$

Niepewność typu B:

$$x = c_{1}\overset{\overline{}}{U_{g}} + c_{2}z$$

$$u\left( U_{g} \right) = \frac{x}{\sqrt{3}}$$

Prawo propagacji niepewności:

$$u\left( U_{g} \right) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{}^{}{(\overset{\overline{}}{U_{g}} - U_{i})}^{2} + \frac{{x}^{2}}{3}} = 0,758018307\ V$$

Zatem ostatecznie napięcie gaszenia jest równe:

U_g = 59, 51(76) V

III. Badanie zależności okresu drgań.

Ostatnim elementem było zbadanie zależności okresu drgań dla trzech różnych rezystancji i stałej pojemności C = 1μF:

	[kΩ]	czas 20 mignięć [s]	Okres drgań relaksacyjnych [s]
R1	470	12,01(01)	0,601(5)
R2	560	13,97(01)	0,699(5)
R3	680	16,68(01)	0,834(5)

Siła elektromotoryczna w tym przypadku wynosiła:

ε = 85, 02 V

Okres drgań relaksacyjnych obliczamy ze wzoru:

$$t_{1} = RC*ln\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right)$$

(Pomijamy czas t₂ ponieważ jest on względnie mały)

Niepewność:

$$u\left( t_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial t_{1}}{\partial U_{g}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( U_{g} \right) + \left( \frac{\partial t_{1}}{\partial U_{z}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( U_{z} \right)}$$

$$u\left( t_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{\text{RC}}{\varepsilon - U_{g}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( U_{g} \right) + \left( \frac{\text{RC}}{\varepsilon - U_{z}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( U_{z} \right)}$$

Zatem:

Dla R₁:

t₁ = 0, 56095 s

u(t₁) = 0, 05406 s

t₁ = 0, 561(54) s

Dla R₂:

t₁ = 0, 66837 s

u(t₁) = 0, 06448 s

t₁ = 0, 668(64) s

Dla R₃:

t₁ = 0, 81159 s

u(t₁) = 0, 07821 s

t₁ = 0, 812(78) s

Porównując:

	[kΩ]	czas 20 mignięć [s]	T z czas/20	Tobl
R1	470	12,01(01)	0,601(5)	0,561(54)
R2	560	13,97(01)	0,699(5)	0,668(64)
R3	680	16,68(01)	0,834(5)	0,812(78)

Wykres zależności:

Wnioski:

• Udało nam się zaobserwować proces relaksacyjny w układzie elektrycznym RC.

• Natężenie prądu podczas rozładowania kondensatora maleje w sposób wykładniczy co jest zgodne z założeniem teoretycznym (przypominam: $y\left( t \right) = y_{0}e^{- \frac{t}{\tau}}$). Eksperymentalnym potwierdzeniem tego jest wykreślony wykres zależności I(t).

• Czas relaksacji w obwodzie zmierzony na podstawie zależności $I_{2} = \frac{I_{1}}{e}$ jest równy czasowi relaksacji wynikającemu z obliczeń (τ = RC). Rozbieżność wyniku otrzymanego podczas badania zależności lnI(t), jest spowodowana wzrastającą niepewnością lnI w miarę kolejnych pomiarów. Pomimo pozytywnego testu χ², który potwierdził zależność liniową danych powinniśmy jednak odrzucić otrzymany wynik.

• Różnica w wynikach pomiaru (otrzymanych eksperymentalnie i obliczeniowo) okresu drgań relaksacyjnych jest spowodowana tym, iż na potrzeby obliczeń za pełen okres przyjęty został czas ładowania kondensatora. Takie założenie zostało przyjęte ze względu na to, iż czas ładowania kondensatora stanowi większość okresu. Czas jego rozładowania natomiast mógł zostać pominięty ze względu na jego niewielką wartość.

• Okazało się, iż okres drgań relaksacyjnych rośnie liniowo w miarę wzrostu oporu w układzie.

Do sprawozdania zostały dołączone trzy wykresy uzyskane przy pomocy programu ORIGIN.