37.

Model kroplowy

Model kroplowy jądra atomowego - w fizyce jądrowej fenomenologiczny model jądra atomowego zaproponowany przez G. Gamowa i opracowany przez N. Bohra i J. A. Wheelera. Jest to opis jądra atomowego wychodzący z punktu widzenia fizyki klasycznej i operujący analogią jądra atomowego zbudowanego z nukleonów do kropli nieściśliwej cieczy zbudowanej z cząsteczek.Z założeń tych wynika stała gęstość materii jądrowej.

Model ten stanowi jądrową analogię kropli cieczy, która skupia zbiór cząsteczek i jeśli nie jest poddana działaniu czynników zewnętrznych, zachowuje trwałość i kształt zbliżony do kulistego.

Rozmiar jądra

Przyjmując założenia modelu oraz dane doświadczalne określono, że nukleon jest kulką o promieniu rzędu 1 fm. Promień jądra atomowego może być określony przybliżoną zależnością:

gdzie:

• A - liczba masowa,

• R₀ = 1,2 fm.
  

Wynik obliczenia jest liczbą mniejszą niż 0,01% promienia atomu. Oznacza to, że gęstość materii w jądrze jest bilion razy większa od gęstości materii złożonej z gęsto upakowanych atomów, jak np. w ciałach stałych. 1 milimetr sześcienny nuklearnej materii miałby masę rzędu 200.000 Mg (ton). Gwiazda neutronowa jest zbudowana tak jak jądro atomowe, a więc materia w jej wnętrzu ma wspomnianą gęstość.

Energia wiązania (odnośnie modelu kroplowego)

W przypadku jądra rozpatruje się następujące czynniki określające energię wiązania nukleonów w "kropli" materii jądrowej.

E_obj - jest członem objętościowym, który opisuje wspominaną już przez nas proporcjonalności energii wiązania

do liczby masowej jądra Człon ten można więc zapisać jako:
, gdzie a_o jest współczynnikiem proporcjonalności.

E_pow - jest członem powierzchniowym, odzwierciedla fakt, że nukleony znajdujące się w zewnętrznej warstwie jądra mają mniej partnerów i są słabiej przyciągane, co zmniejsza energię wiązania. Człon ten ma więc wartość ujemną i jest proporcjonalny do powierzchni jądra, a wiec do drugiej potęgi promienia. Mając na uwadze, że promień proporcjonalny jest do pierwiastka trzeciego stopnia z liczby masowej A, możemy człon ten zapisać w postaci
.

E_Coul - jest członem kulombowskim, jest energią odpychania elektrostatycznego (kulombowskiego) pomiędzy protonami.  Energia ta jest oczywiście ujemna i proporcjonalna jest do kwadratu ładunku jądra oraz odwrotnie proporcjonalna do promienia czyli liczby masowej w potędze -1/3:
.

E_sym - jest członem symetrycznym, uwzględnia fakt, że najbardziej stabilne są jądra, w których liczba protonów równa jest liczbie neutronów. Człon ten określa zmniejszenie się energii wiązania kiedy warunek ten nie jest spełniony; ma wiec wartość ujemną i znika kiedy liczba protonów równa jest liczbie neutronów.  Człon ten ma postać:
, a więc znika kiedy N=Z, czyli N+Z=2Z=A.

E_par - jest członem łączenia się w pary, odzwierciedla tendencję do łączenia się nukleonów w pary. Człon ten zapisuje się w postaci
, gdzie
równe jest zeru dla jąder o A nieparzystym, jest dodatnie dla jąder parzysto-parzystych i ujemne dla jąder nieparzysto-nieparzystych.

Z punktu widzenia dydaktycznego, model kroplowy prezentuje bardzo dobrze czynniki specyficzne i ważne dla zrozumienia kształtu zależności energii wiązania od liczby masowej jądra. Model ten oddaje duże usługi przy analizie stabilności jąder ze względu na różne procesy spontanicznych przemian jądrowych oraz  reakcji rozszczepienia. Jest to jednak model całkowicie klasyczny i nie pretenduje do opisu efektów kwantowych w strukturze jądra.

Składniki te opisuje równanie, w którym współczynniki składników wybrano, tak by odpowiadały danym doświadczalnym:

Gdzie:

A - liczba masowa jądra atomowego,

Z - liczba porządkowa jądra atomowego.

Zależność energii wiązania od liczby masowej A jest ogólnie zgodna z zależnością uzyskaną doświadczalnie, ale występują liczne odchylenia.

Energia wiązania (ogólnie)

Energia wiązania - energia potrzebna do rozdzielenia układu na jego elementy składowe.

Pojęcie to używane jest najczęściej w fizyce jądrowej i dotyczy wówczas jądra atomowego. Energia wiązania jądra atomowego określa energię potrzebną do rozdzielenia jądra atomowego na protony i neutrony. Energia wiązania jest ważnym kryterium decydującym o trwałości jądra atomowego.

W związku z równoważnością masy i energii, energię wiązania można obliczyć na podstawie różnicy mas jądra i nukleonów, z których jest zbudowane. Energią jest różnica mas, tj. masa nukleonów tworzących jądro, wziętych każdy z osobna, i masy jądra, pomnożona przez c², gdzie c = 3 * 10⁸ m/s jest prędkością światła w próżni.

Energia wiązania na jeden nukleon w zależności od liczby nukleonów w jądrze

Wykres energii wiązania (zamieszczony powyżej) na nukleon od liczby nukleonów w jądrze (, czyli od liczby masowej A, jest krzywą, która szybko narasta dla małych liczb masowych a stopniowo opada dla dużych. Wynika stąd, że dla pierwiastków lekkich (o małej liczbie masowej) syntezie nukleonów jąder towarzyszy wydzielanie się energii, zaś w przypadku pierwiastków ciężkich (o dużej liczbie masowej) wydzielanie energii towarzyszy rozszczepianiu, czyli podziałowi jąder. Z tego również powodu jądra pierwiastków lekkich charakteryzują się dużą trwałością, zaś jądra pierwiastków ciężkich mają tendencję do rozpadu. Reakcje jądrowe łączenia jąder przeprowadzane tak, aby uzyskać wyraźny wzrost energii wiązania, mogą być obfitym źródłem energii jądrowej. Reakcje syntezy lekkich jąder (np. synteza helu). W przypadku reakcji rozpadu lub rozszczepienia energia wiązania jądra musi być mniejsza niż energia wiązania produktów reakcji (np. rozpad uranu).

Z wykresu wynika również, że największą energię wiązania na nukleon ma jądro żelaza. Jest to przyczyną względnie dużej obfitości żelaza we Wszechświecie

Energia wiązania - przykład - deuter

Jądro deuteru zbudowane jest z jednego protonu i jednego neutronu. Ich masy wynoszą:

m_p = 1,007276u

m_n = 1,008665u

m_p + m_n = 1,007276 + 1,008665 = 2,015941u

gdzie: u jest masą atomową (u = 931,4943MeVc ^{− 2} = 1,660510 ^{− 27}kg). Masa jądra deuteru jest:

m_d = 2,013553u

Różnica mas = 2,015941 - 2,013553 = 0,002388 u, tak więc energia wiązania deuteru ma wartość:

ΔE = 0,002388 * 931,494MeV / u = 2,224 MeV.

---