AGH Wydział EAIiE		Imię Nazwisko : Daniel Bar Stanisław Jabłoński
ELEKTROTECHNIKA			Rok akademicki: 1999/2000
Laboratorium Teorii Sterowania i Techniki Regulacji.			Rok studiów: II
						Semestr: IV
			Temat ćwiczenia: Analityczne i graficzne kryteria stabilności liniowych układów automatycznej regulacji.			Grupa 1.2
Data wykonania ćwiczenia: ...........2000		Data zaliczenia:

1. Wprowadzenie:

Zapewnienie stabilności jest jednym z podstawowych wymagań stawianych każdemu układowi automatycznej regulacji. W układzie liniowym stacjonarnym istnieje jednoznaczny związek pomiędzy wartościami własnymi, a stabilnością. Ponieważ w rozwiązaniu równań układu liniowego pojawiają się składniki zawierające wyrazy e^st, więc układ jest stabilny, jeśli wszystkie wartości własne s_i (i=1....n) mają ujemne części rzeczywiste:

Re[s_i]<0, i=1......n.

Badanie stabilności układów polega zatem na określeniu położenia pierwiastków równania charakterystycznego (biegunów układu) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

2. Kryterium Routha - Hurwitza.

a) sprawdzenie stabilności układu o zadanej transmitancji
Za pomocą funkcji roots(), routh() i pzmap() wyznaczam tabelę Routha, obliczam pierwiastki i wykreślam na płaszczyźnie zespolonej bieguny i zera układu o równaniu charakterystycznym:

s⁴+s³+s²+s+1=0

Pierwiastki równania charakterystycznego:

0.30901699437495 + 0.95105651629515i

0.30901699437495 - 0.95105651629515i

-0.80901699437495 + 0.58778525229247i

-0.80901699437495 - 0.58778525229247i

Tabela Routha:

Pierwszy wiersz:

1 1 1

Drugi wiersz:

1 1 0

W trzecim wierszu pojawia się zero, więc procedura routh zastępuje je liczbą 1e^-5.

Trzeci wiersz ma teraz postać:

1.0000e-005 1.0000e+000 0

Czwarty wiersz:

-1e+005 0

Piąty wiersz:

1

Mamy zatem pierwszą kolumnę:

S^4 1

S^3 1

S^2 1e-005

S^1 -1e+005

S^0 1

Liczba zmian znaku w pierwszej kolumnie wynosi 2. Równanie ma więc 2 pierwiastki wnoszące niestabilność.

Położenie biegunów i zer układu:

b =

0.3090 + 0.9511i

0.3090 - 0.9511i

-0.8090 + 0.5878i

-0.8090 - 0.5878i

z =

[]

Położenie biegunów na Odpowiedź na skok jednostkowy:

płaszczyźnie zmiennej zespolonej:

Obliczenia arytmetyczne dokonane w celu sprawdzenia poprawności wyników z Matlaba:

Kryterium Hurwitza:

Istnieją wszystkie współczynniki i są jednakowego znaku, więc pierwszy warunek jest spełniony.

Dalej sprawdzamy znaki poszczególnych wyznaczników:

det H₃=
det H₄=1⋅(-1)² ⋅

Układ jak widać jest niestabilny, ponieważ zarówno wyznacznik macierzy H jak i podwyznaczniki są ujemne.

Kryterium Routha:

Tabela Routha ma postać:

1 1 1

1 1 0

b₁ b₂

c₁ c₂

d₁

Obliczamy więc wartości b₁, b₂, c₁, c₂, d₁:

, przyjmujemy więc b₁ = ε (ε→0),

,
,
,
.

Zatem tabela Routha:

1 1 1

1 1 0

ε 1

-∞ 0

1

Z kryterium Hurwitza widać, że układ jest niestabilny.

W pierwszej kolumnie tabeli Routha występują 2 zmiany znaku, układ posiada 2 pierwiastki o dodatniej części rzeczywistej. Nasze obliczenia potwierdzają wyniki z Matlaba.

b) Wyznaczanie parametru K zapewniającego stabilność układu.

Schemat badanego układu:

Równanie charakterystyczne układu:

s³+2s²+4s+K=0

K zmienia się w zakresie (0,20).

Wykres biegunów i zer na płaszczyźnie zmiennej zespolonej:

Macierz wzmocnień i biegunów:

K=0 0 -1.0000 - 1.7321i -1.0000 + 1.7321i

K=1 -0.8576 - 1.6661i -0.8576 + 1.6661i -0.2848

K=2 -0.6806 - 1.6332i -0.6806 + 1.6332i -0.6389

K=3 -0.5000 - 1.6583i -0.5000 + 1.6583i -1.0000

K=4 -0.3522 - 1.7214i -0.3522 + 1.7214i -1.2956

K=5 -0.2370 - 1.7946i -0.2370 + 1.7946i -1.5260

K=6 -0.1443 - 1.8669i -0.1443 + 1.8669i -1.7113

K=7 -1.8664 -0.0668 - 1.9355i -0.0668 + 1.9355i

K=8 -2 0.0000 - 2.0000i 0.0000 + 2.0000i

K=9 -2.1179 0.0589 - 2.0606i 0.0589 + 2.0606i

K=10 -2.2236 0.1118 - 2.1177i 0.1118 + 2.1177i

K=11 -2.3198 0.1599 - 2.1717i 0.1599 + 2.1717i

K=12 -2.4082 0.2041 - 2.2229i 0.2041 + 2.2229i

K=13 -2.4902 0.2451 - 2.2717i 0.2451 + 2.2717i

K=14 -2.5667 0.2833 - 2.3182i 0.2833 + 2.3182i

K=15 -2.6386 0.3193 - 2.3628i 0.3193 + 2.3628i

K=16 -2.7064 0.3532 - 2.4056i 0.3532 + 2.4056i

K=17 -2.7707 0.3854 - 2.4468i 0.3854 + 2.4468i

K=18 -2.8320 0.4160 - 2.4866i 0.4160 + 2.4866i

K=19 -2.8904 0.4452 - 2.5249i 0.4452 + 2.5249i

K=20 -2.9463 0.4732 - 2.5621i 0.4732 + 2.5621i

Na podstawie obliczeń i wykresu biegunów stwierdzamy,że dla K z przedziału <0,8) układ jest stabilny, dla K=8 układ jest na granicy stabilności, natomiast dla K > 8 układ przestaje być stabilny.

Analiza algebraiczna:

Kryterium Hurwitza:

Wszystkie współczynniki w równaniu charakterystycznym muszą istnieć i być tego samego znaku, zatem K musi być liczbą dodatnią.

Drugim warunkiem jest to aby wyznacznik główny macierzy Hurwitza i podwyznaczniki były większe od zera, zatem:

det H₂ = 8 - K > 0 det H₃ = 8K - K² > 0

Stąd wynika, że K musi zawierać się w przedziale (0,8), wtedy układ jest stabilny.

Kryterium Routha:

Liczby w pierwszej kolumnie tabeli Routha muszą być nieujemne.

• 4

• K

b₁

c₁

Zatem K musi zawierać się w przedziale <0,8> .

Możemy zatem wnioskować, że kryterium Routha traktuje układ który jest na granicy stabilności jako układ stabilny, więc nie jest ono aż tak krytyczne w stosunku do układów marginalnie stabilnych.

c)Opis w przestrzeni stanu:

Układ automatycznej regulacji możemy opisywać w wieloraki sposób, oprócz już wcześniej zaprezentowanego opisu za pomocą transformaty Laplace'a można układ przeanalizować za pomocą zmiennych stanu.

Stabilność systemu opisanego równaniem stanu:

można obliczyć z równania charakterystycznego związanego z macierzą A. Równanie charakterystyczne ma postać:

det(sI-A)=0

I tak dla przykładowej macierzy obliczmy sobie za pomocą Matlaba równanie charakterystyczne i wartości własne tego równania:

Równanie charakterystyczne ma postać (funkcja poly() ):

s³ - 6 s² - 7 s - 52 = 0

Natomiast wartości własne tego równania to (funkcja eig() ):

s₁ = -0,8821 + 2,4330 i s₂ = -0,8821 - 2,4330 i s₃ = 7,7642

Mając wartości własne możemy je nanieść na płaszczyznę liczb zespolonych i w ten sposób określić stabilność układu (co już i tak widać z wartości własnych):

Bieguny układu na Odpowiedź układu

płaszczyźnie zmiennej zespolonej: na skok jednostkowy :

Układ opisany powyższą macierzą w zmiennej stanu jest układem niestabilnym ponieważ jak już widać jedna wartość własna jest liczbą rzeczywistą dodatnią , uwidacznia nam to także odpowiedź na skok jednostkowy ukązująca nam, że układ ten rozbiega się do nieskończoności.

1. Kryterium Nyquista :

a) Określenie dla jakiego K układ opisany poniższą transmitancją jest stabilny, niestabilny, marginalnie stabilny:

Kryterium to mówi nam, że jeżeli układ otwarty jest stabilny, a charakterystyka amplitudowo-fazowa tegoż układu, przy zmieniającej się ω od 0 do ∞ , nie okrąży pkt. -1+j0 to układ zamknięty jest stabilny. Jeżeli charakterystyka ta przechodzi przez ów pkt. -1+j0 to układ jest marginalnie stabilny. W przeciwnym wypadku układ zamknięty jest niestabilny.

W naszym przypadku mamy do czynienie z układem otwartym na granicy stabilności więc przyjmujemy, że jest on prawie stabilny.

Charakterystyki Nyquista dla przykładowych wartości K:

Jak widać z powyższych charakterystyk Nyquista rozpatrywany przez nas układ jest stabilny dla K zawartych w przedziale (0,8) - przy zmieniającej się ω od 0 do ∞ charakterystyka nie okrąża pkt. -1+j0, a dla K=8 układ jest na marginalnie stabilny - przechodzi przez pkt. -1+j0. Natomiast dla K > 8 układ przestaje być stabilny - obejmuje pkt. -1+j0.

Charakterystyki Bodego:

Na podstawie charakterystyk Bodego również można określić stabilność układów. Robii to się w ten sposób, że patrzymyczy charakterystyka amplitudowa logarytmiczna przecina oś 0 dB przy pulsacji mniejszej od pulsacji przecięcia osi -π przez charakterystykę fazową, wtedy układ zamknięty jest stabilny. W innym przyapadku układ zamknięty jest niestabilny.

I tak z powyższych charakterystyk wynika iż dla K zawartych w przedziale <0,7> układ jest stabilny, a dla K=8 układ jest na granicy stabilności. Natomiast dla K > 8 układ przestaje być stabilny.

Odpowiedź układu na skok jednostkowy:

Na podstawie odpowiedzi układu na skok jednostkowy można określić stabilność układów.

I tak z powyższych charakterystyk wynika iż dla K zawartych w przedziale <0,7> układ jest stabilny, a dla K=8 układ jest na granicy stabilności. Natomiast dla K > 8 układ przestaje być stabilny.

Bieguny układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej:

Stabilność układów można również oceniać po rozmieszczeniu pierwiastków równania charakterystycznego. I tak widzimy powyżej, że dla K zawartych w przedziale <0,7> układ jest stabilny(wszystkie pierwiastki mają części rzeczywiste mniejsze od 0), a dla K=8 układ jest na granicy stabilności(części rzeczywiste niektórych pierwiastków są równe zero).

Natomiast dla K > 8 układ przestaje być stabilny (części rzeczywiste niektórych pierwiastków są większe od zera).

b)Wyznaczenie krytycznej wartości czasu całkowania T_i, dla któtrego poniższy układ jest niestabilny oraz wykreślenie charakterystyki amplitudowej i fazowej układu będącego na granicy stabilności:

Schemat badanego układu (w naszym przypadku: k=1, T₁=1[s], T₂=10[s]):

Odpowiedź układu Charakterystyki Bodego:

na skok jednostkowy:

Położenie biegunów na płaszczyźnie liczb zespolonych:

Dla T_i=0,91 uklad jest na granicy stabilności ( a tak naprawdę przy dokładniejszej analizie już dla T_i= 0.90909090909090904) co widać zarówno z położenia biegunów (dwa z nich leżą na osi urojonej), jak i z wykresu przedstawiającego odpowiedź układu na skok jednostkowy (niegasnące oscylacje sygnału wyjściowego). Jeżeli T_i zmniejszymy poniżej 0,91 to układ przestaje być stabilny. Natomiast jeśli T_i będzie większe od 0,91 to powyzszy układ jest stabilny.

3. Stabilizacja układu niestabilnego :

Schemat blokowy badanego układu:

Gdzie transmitancja obiektu ma postać:

Jest to obiekt niestabilny, gdyż posiada dwa sprzężone bieguny w prawej półpłaszczyźnie (o dodatnich częściach rzeczywistych). Do jego stabilizacji użyto kompensatora o transmitancji:

Z poniższego wykresu możemy wywnioskować iż dany obiekt nie da się stabilizować tym kompensatorem ponieważ nie możemy dobrać tak współczynnika wzmocnienia K_K tak aby wszystkie bieguny całego układu miały część rzeczywistą ujemną, co widać z poniższego rysunku.

4.Wnioski:

Jednym z podstawowych problemów w układach automatycznej regulacji jest stabilność. Mamy kilka kryterium dzięki którym możemy stwierdzić czy dany układ jest stabilny czy nie. W powyższym ćwiczeniu mieliśmy możliwość poznania i porównania kryteriów takich jak : Routha-Hurwitza i Nyquista.

Kryterium Hurwitza jest bardzo proste i wygodne w zastosowaniu do układów opisywanych równaniami niższych stopni. Za pomocą tego kryterium kryterium można sprawdzić stabilność układu o wszystkich współczynnikach danych, jak i wyznaczyć zakresy zmienności niektórych współczynników zapewniające stabilność. Wadą kryterium jest brak możliwości wyznaczania zapasu stabilności oraz utrudniona ocena wpływu poszczególnych parametrów układu na stabilność.

Największe znaczenie ma kryterium Nyquista, które umożliwia nie tylko łatwe sprawdzenie stabilności oraz wyznaczenie zapasów modułu i fazy, lecz pozwala również projektantowi na dokładną ocenę wpływu poszczególnych parametrów układu na stabilność oraz na kształtowanie własności układu przez dobór określonych wartości tych parametrów lub przez dodanie elementów korekcyjnych.

Korzystanie z tych kryteriów w dobie dzisiejszych, skomputeryzowanych czasów jest dużo łatwiejsze i prostsze niż kiedyś, a to dzięki wspaniałemu narzędziu jakim jest niewątpliwie Matlab.

---