Weronika Szóstak

Inżynieria Środowiska

Środa godz. 15:15

Sprawozdanie 5

Ćwiczenie nr 1

WYZNACZENIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ

METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO I SPRAWDZENIE

TWIERDZENIA STEINERA

1. Wstęp:

• Część teoretyczna.

Ruchem drgającym nazywamy każdy ruch lub zmianę stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. Jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań powtarzają się w równych odstępach czasu to ruch taki nazywamy ruchem okresowym.

Najprostszy rodzaj drgań okresowych są drgania harmoniczne.

Okresem drgań harmonicznych nazywamy najmniejszy odstęp czasu, po upływie którego powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących drganie.

Jako przykład drgań harmonicznych można podać niewielkie wahania wahadła fizycznego.

Wahadło fizyczne jest to ciało doskonale sztywne, które pod wpływem własnego ciężaru waha się dookoła osi nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała.

Okres drgań harmonicznych [T] wahadła fizycznego można wyznaczyć korzystając ze związku:

i stąd:

.

Okres drgań harmonicznych nie zależy od kąta wychylenia z położenia równowagi (izochronizm wahań).

Twierdzenie Steinera.

Po przekształceniu wzoru na okres drgań (w/w) otrzymujemy następujące wyrażenie na moment bezwładności:

.

Moment ten jest mierzony względem osi obrotu wahadła.

W praktyce często przydatna jest znajomość momentów bezwładności mierzonych względem osi przechodzącej przez środki ciężkości tych ciał.

Do wyznaczenia momentu bezwładności ciała
względem osi przechodzącej przez środek masy ciała korzysta się z twierdzenia Steinera, które brzmi następująco: różnica momentów bezwładności ciała względem dwu równoległych osi, z których jedna przechodzi przez środek masy, równa jest iloczynowi masy ciała m i kwadratu odległości d między osiami:

.

Dla dwu różnych odległości
i
od osi przechodzącej przez środek masy ciała mamy:

.

Po podstawieniu poprzedniego wzoru otrzymujemy:

.

Otrzymana doświadczalnie stała wartość powyższych wyrażeń może służyć jako potwierdzenie twierdzenia Steinera.

Stała C pozwala obliczyć moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy:

.

• Urządzenie pomiarowe.

Częścią zasadniczą jest tarcza metalowa z symetrycznie naciętymi otworami. Umieszczenie podpory w postaci metalowej pryzmy w różnych otworach pozwala zmieniać odległości osi obrotu od środka masy tarczy. W drugiej części ćwiczenia rolę wahadła spełnia pierścień metalowy, dla którego daje się zrealizować tylko jedno położenie osi obrotu względem środka masy.

Odległość 2d mierzymy za pomocą suwmiarki.

Okres drgań wyznaczamy za pomocą stopera.

Masę ciała wyznaczamy za pomocą wagi laboratoryjnej.

• Cel ćwiczenia:

1. Stwierdzenie zależności okresu drgań wahadła od momentu bezwładności.

2. Doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera.

3. Wyznaczenie momentu bezwładności ciał względem osi przechodzącej przez środek masy (tzw. osi środkowej).

2. Wyniki pomiarów:

1. TARCZY METALOWEJ Z OTWORAMI:

Masa tarczy m=388,5g =0,3885kg

∆m=0,1g=0,0001kg

• Pierwszy otwór

2d=9,78cm =0,0978m

d=4,89cm =0,0489m

∆d=0,005cm = 0,00005m

• Drugi otwór

2d=8,71cm =0,0871m

d=4,355cm =0,04355m

∆d=0,005cm = 0,00005m

• Trzeci otwór

2d=6,74cm =0,0674m

d=3,37cm =0,0337m

∆d=0,005cm = 0,00005m

	ti	tśr	∆t	T	∆T	Id	∆Id	I0	∆I0	C	∆C	Cśr	∆Cśr	I0n	∆I0n
		[s]	[s]	[s]	[s]	[s]	[kg m^2]	[kg m^2]	[kg m^2]	[kg m^2]	m^2	m^2	m^2	m^2	[kg m^2]	[kg m^2]
	1	59,06	60,29	0,01	0,6029	0,0062	0,001716	0,000038	0,000787	0,000039	0,0799	0,0036	0,1161	0,0032	0,000787	0,000036
		60,36
		62,26
		59,49
	2	59,42															59,18	0,01	0,5918	0,0062	0,001472	0,000033	0,000736	0,000035	0,1496	0,0032			0,000736	0,000015
		58,37
		60,2
		58,72
	3	60,33															59,97	0,01	0,5997	0,0069	0,001170	0,000029	0,000729	0,000031	0,1189	0,0028			0,000729	0,000018
		59,78
		60,00
		59,78

2. OBRĘCZ:

Masa m=77,6g = 0,0776kg

∆m=0,1g =0,0001kg

2r=12,93cm=0,1293m

r=0,06465m

2R=13,94cm =0,1394m

R=0,06970m

∆r,R=0,00005m

ti

tśr

∆t

T

∆T

Id

∆Id

I0st

∆I0st

I0.wz

∆I0.wz

[s]

[s]

[s]

[s]

[s]

[kgm2]

[kgm2]

[kgm2]

[kgm2]

[kgm2]

[kgm2]

73,27

73,53

0,01

0,7353

0,0075

0,000727

0,000017

0,000350

0,000018

0,000351

0,000015

72,79

74,58

73,46

3. Przykładowe obliczenia:

Średni czas:

Moment bezwładności:

Niepewność bezwzględna momentu bezwładności:

Obliczanie niepewności momentu bezwładności obliczonego z twierdzenia Steinera:

Obliczenie wartości C:

Obliczanie niepewności wartości C:

Obliczenia momentu bezwładności tarczy metalowej z otworami korzystając ze wzoru:

Obliczenie niepewności momentu bezwładności:

Obliczenie momentu bezwładności na podstawie wzoru tablicowego dla obręczy:

Obliczenie niepewności momentu bezwładności obliczonego na podstawie wzoru tablicowego:

0,000015kgm²

4.Wnioski:

Potwierdzeniem założenia Steinera, jest stała C, która została obliczona dla różnych odległości od osi przechodzącej przez środek masy ciała. Stała ta (dla każdego d i odpowiadającego mu T) posłużyła między innymi do wyliczenia momentu bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy. W pomiarach teoria ta potwierdziła się, co umożliwiło otrzymanie bardzo dokładnej wartości momentu bezwładności tarczy metalowej, względem osi przechodzącej przez środek ciężkości.

Jednym z czynników wpływających na dokładność pomiarów i opartych na nich następnie obliczeniach była bezwładność oka ludzkiego, ponieważ bardzo trudno jest dokładnie określić moment amplitud drgań. Dodatkowo układ pomiarowy narażony był na drgania przenoszone na stół przez podłoże. Wahadło należy odchylić o mały kąt a , aby równanie ruchu zachowało liniowość. Błędy przy pomiarach czasu drgań spowodowane były głównie błędami przyrządu pomiarowego (stopera). Nie bez znaczenia pozostaje niedokładność odczytu suwmiarki przy pomiarze odległości d oraz błąd wagi przy odczycie masy tarczy. Istotny wpływ na wartości odchyleń miały zaokrąglenia wartości pi oraz stałej g. Przy obliczaniu momentu bezwładności pierścienia metalowego można zauważyć , że dokładniejszym wzorem jest wzór tablicowy. Jak widać twierdzenie Steinera jest spełnione z dość dobrym przybliżeniem.

---