Wahadło matematyczne - Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła. Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego
l - długość nici, g - przyspieszenie ziemskie, m - masa ciała, θ - kąt wektora wodzącego ciała z pionem, A - amplituda siły wymuszającej, ω_D - częstość siły wymuszającej, γ - współczynnink oporu ośrodka

Z rozwiązania przybliżonego ruchu wahadła wynika, że dla małych kątów wychylenia okres drgań wahadła jest niezależny od masy wahadła, amplitudy drgań wahadła, a zależy tylko od długości i przyspieszenia ziemskiego. Warunki przybliżenia są w miarę dobrze spełnione dla wychyleń mniejszych niż 8 stopni.

Wahadło fizyczne - Bryła sztywna mogąca wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń: wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła l₀

d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości, g - przyspieszenie ziemskie, I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu, m - masa ciała

Efekt Dopplera - zmiana częstotliwości oraz długości fali zarejestrowana przez obserwatora, który porusza się względem źródła fali. Obserwator i źródło fali poruszają się względem siebie. Podczas jednego okresu fali T₀, źródło przebywa drogę:

s = v_zrT₀, s - droga, v_zr - prędkość źródła względem obserwatora, T₀ - okres fali generowanej przez źródło.

Podczas generowania jednego przebiegu fali źródło przesunie się o taką odległość s względem obserwatora. Oznacza to, że rejestrowana przez obserwatora długość fali będzie inna. Zjawisko to obrazuje Rysunek 2. Na jego podstawie da się napisać: λ₀ = λ + v_zrT₀( * ), λ - długość fali zarejestrowana przez obserwatora, λ₀ - długość fali generowanej przez źródło.

f - częstotliwość fali, v - prędkość fali

f - częstotliwość fali odbieranej, f₀ - częstotliwość fali generowanej przez źródło, v - prędkość rozchodzenia się fali, v_zr - składowa prędkości źródła względem obserwatora, równoległa do kierunku łączącego te dwa punkty.

Pierwsza zasada termodynamiki to prosta zasada zachowania energii, czyli ogólna reguła głosząca, że energia w żadnym procesie nie może pojawić się "znikąd".

Zmiana energii wewnętrznej układu ΔU = ΔQ + ΔW

Istnieją różne sformułowania tej zasady, zależnie od sytuacji:

1. Sformułowanie najbardziej ogólne:
Energia wewnętrzna układu zamkniętego nie zmienia się, niezależnie od przemian zachodzących w tym układzie.

2. Sformułowanie dla procesów cieplno-mechanicznych:
Zmiana energii wewnętrznej układu jest równa sumie pracy wykonanej przez układ bądź nad układem i ciepła dostarczonego lub oddanego przez układ.

Doświadczalną podstawą pierwszej zasady jest doświadczenie Joule'a i pokrewne mu, które dowodzą równoważności ciepła i pracy mechanicznej przez pokazanie możliwości całkowitej zamiany pracy na ciepło. Uznanie ciepła jako innego niż praca sposobu zmiany energii prowadzi w naturalny sposób do włączenie ciepła do zasady zachowania energii. Pierwsza zasada termodynamiki jest dokładnie tym prawem. Zmiana energii wewnętrznej układu równa jest dostarczonemu do układu ciepłu i pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne:

ΔU = ΔW + ΔQ

ΔU - zmiana energii wewnętrznej układu, ΔQ - ciepło wymienione przez układ z otoczeniem, jeśli układ oddaje ciepło, jego energia wewnętrzna maleje, ΔW - praca wykonana przez układ lub nad układem

I zasada termodynamiki pozwala na zdefiniowanie energii wewnętrznej jako funkcji stanu : dla wszystkich procesów prowadzących od pewnego określonego stanu do drugiego, zmiana ΔU ma zawsze tą samą wartość, choć ilości dostarczanego ciepła i wykonanej pracy są na ogół różne dla różnych procesów

Zerowa zasada termodynamiki głosi, że:

Jeśli układy A i B mogące ze sobą wymieniać ciepło są ze sobą w równowadze termodynamicznej, i to samo jest prawdą dla układów B i C, to układy A i C również są ze sobą w równowadze termodynamicznej. Przez równowagę termodynamiczną rozumiemy stan, który w danych warunkach układ osiąga i już go nie zmienia.

Z zerowej zasady wynika istnienie temperatury empirycznej. Istnieje mianowicie taka wielkość fizyczna β, która jest równa dla układów A i B, będących ze sobą w równowadze termodynamicznej. W rzeczywistości takie określenie nie oznacza jeszcze znanej nam temperatury T: β może być dowolną funkcją T.

Zerowa zasada termodynamiki stwierdza także, że ciało w równowadze termodynamicznej ma wszędzie tę samą temperaturę.

Druga zasada termodynamiki stwierdza, że w układzie zamkniętym istnieje funkcja stanu, zwana entropią S, której zmiana ΔS w procesie adiabatycznym spełnia nierówność
przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy proces jest odwracalny. W uproszczeniu można to wyrazić też tak: W układzie zamkniętym w dowolnym procesie entropia nigdy nie maleje

Matematyczny zapis tego faktu to nastepujące sformułowanie: zmiana entropii ΔS w dowolnym procesie odwracalnym jest równa całce z przekazu ciepła DQ podzielonego przez temperaturę T. W procesie nieodwracalnym natomiast zmiana entropii jest większa od tej całki. Forma całkowa II zasady termodynamiki wygląda następująco:
Różnica ta jest miarą nieodwracalności procesu i jest związana z rozpraszaniem energii. Oznaczenie DQ użyte do zapisu przyrostu ciepła ma na celu odróżnienie tego przyrostu od różniczki (ozn. dX), ponieważ przyrost ciepła nie jest różniczką żadnej funkcji. Gdyby był różniczką, ciepło byłoby funkcją stanu.

- Entropia (S) jest funkcją stanu będąca miarą liczby sposobów (W) na jakie może być zrealizowany określony stan termodynamiczny danego układu, w określonej temperaturze (T)

- Układ dąży do stanu, który może być w danych warunkach zrealizowany w jak najwięcej sposobów; dąży więc on do maksymalizacji entropii.

- Entropia jest ciągłą, rózniczkowalną i monotonicznie rosnącą funkcją energii wewnętrznej (U), co zapisuje się matematycznie jako:

- Entropia jest wielkością ekstensywną tj. entropia całego układu jest sumą entropii wszystkich jego składników.
Trzecia zasada termodynamiki (zasada Nersta) może być sformułowana jako postulat: nie można za pomocą skończonej liczby kroków uzyskać temperatury zera bezwzględnego (zero kelwinów), jeżeli za punkt wyjścia obierzemy niezerową temperaturę bezwzględną.

Inne sformułowanie głosi, że entropia substancji tworzących doskonałe kryształy dąży do 0 gdy temperatura dąży do 0 K. Mówiąc jaśniej, gdyby udało się schłodzić jakąś substancję do 0 K i gdyby ona utworzyła kryształ doskonały to jej entropia musiałaby przyjąć wartość 0. Jest to jednak technicznie, a także formalnie niewykonalne, dlatego definicja trzeciej zasady termodynamiki w formie:

entropia kryształu doskonałego w temperaturze zera bezwględnego jest równa 0

nie jest poprawna, choć intuicyjnie akceptowalna.

Cykl Carnota - przemiana termodynamiczna, złożona z dwóch przemian izotermicznych i dwóch przemian adiabatycznych. Cykl Carnota jest procesem kołowym i odwracalnym. Do realizacji cyklu potrzebny jest czynnik termodynamiczny, który może wykonywać pracę np. gaz w naczyniu z tłokiem a także dwa nieograniczone źródła ciepła jedno jako źródło ciepła (o temperaturze T₁) a drugie jako chłodnica (o temperaturze T₂).

Cykl składa się z następujących procesów:

Sprężanie izotermiczne - czynnik roboczy styka się z chłodnicą, ma temperaturę chłodnicy i zostaje poddany procesowi sprężania w tej temperaturze (T₂). Czynnik roboczy oddaje ciepło do chłodnicy.

Sprężanie adiabatyczne - czynnik roboczy nie wymienia ciepła z otoczeniem, jest poddawany sprężaniu aż uzyska temperaturę źródła ciepła (T₁).

Rozprężanie izotermiczne - czynnik roboczy styka się ze źródłem ciepła, ma jego temperaturę i poddawany jest rozprężaniu izotermicznemu w temperaturze T₁, podczas tego cyklu ciepło jest pobierane ze źródła ciepła.

Rozprężanie adiabatyczne - czynnik roboczy nie wymienia ciepła z otoczeniem i jest rozprężany aż czynnik roboczy uzyska temperaturę chłodnicy (T₂). Cykl na wykresie ciśnienie - objętość

Silnik cieplny jako układ energetyczny.

W wyniku tych czterech procesów czynnik roboczy powraca do punktu wyjścia, dlatego mówimy, że cykl jest kołowy. Podczas procesów sprężania siła zewnętrzna wykonuje pracę nad układem termodynamicznym, a podczas rozprężania układ wykonuje pracę. Ilość pracy wykonanej przez układ jest większa (gdy T₁ > T₂) od pracy wykonanej nad układem. Podczas cyklu ciepło jest pobierane ze źródła ciepła, część tego ciepła jest oddawana do chłodnicy, a część zamieniana na pracę.

Dla układu tego definiuje się sprawność jako stosunek pracy wykonanej do ilości ciepła pobranego ze źródła ciepła.

Wzór powyższy wyprowadzony przez Carnota określa, że sprawność cyklu nie zależy od czynnika roboczego, ani sposobu realizacji, a zależy tylko od temperatur źródła ciepła i chłodnicy. Warto zwrócić uwagę na to, że sprawność silnika pracującego w temperaturach T₁=373K (temperatura wrzenia wody) i T₂=300K (temp. pokojowa) wynosi około 24%. Carnot udowodnił też, że dowolny odwracalny cykl zamknięty w którym podczas pobierania ciepła układ ma temperaturę mniejszą od T_max a podczas oddawania ciepła większą od T_min ma sprawność mniejszą od cyklu Carnota opartego o temperatury T_max i T_min. Dlatego często sprawność silników termodynamicznych określa się w odniesieniu do cyklu Carnota zwanego silnikiem idealnym. Cykl Carnota jest odwracalny i może przebiegać w odwrotnym kierunku (zamienione sprężanie z rozprężaniem) wówczas układ przekazuje energię cieplną od ciała o niższej temperaturze do ciała o wyższej temperaturze. Układ taki nazywany jest pompą ciepła (lub cieplną) i pracuje on kosztem wykonywania pracy nad nim. Sprawność cyklu Carnota określa też parametry idealnej pompy cieplnej działającej przy zadanych temperaturach. Rzeczywiste pompy cieplne mają sprawność mniejszą od cyklu Carnota.

Interferencja to zjawisko nakładania się fal prowadzące do zwiększania lub zmniejszania amplitudy fali wypadkowej. Interferencja zachodzi dla wszystkich rodzajów fal, we wszystkich ośrodkach, w których mogą rozchodzić się dane fale. W ośrodkach nieliniowych oprócz interferencji zachodzą też inne zjawiska wywołane nakładaniem się fal, w ośrodkach liniowych fale o jednakowej częstotliwości ulegając interferencji spełniają zasadę superpozycji.

W ośrodku liniowym, rozchodzące się z kilku źródeł zaburzenia spotykają się w danym punkcie P. Wychylenie ośrodka w tym punkcie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne fale.

Dla najprostszego przypadku dwóch fal harmonicznych o jednakowych amplitudach A, jednakowej długości fali λ i zerowej fazie początkowej, rozchodzących się z różnych z dwóch źródeł, które leżą od punktu P w odległościach d₁ i d₂ opisanych zależnością:

gdzie:

to dla:

gdzie k - dowolna liczba naturalna (0, 1, 2...) fale w tych miejscach ulegają podwójnemu wzmocnieniu, w miejscach gdzie:

fale się wygaszają. Wartość φ, nazywana fazą fali zmienia się wraz z odległością od źródła.

Dla zjawiska interferencji, obszar rozchodzenia się fal składa się z fragmentów, gdzie zupełnie nie ma oscylacji i miejsc, w których jej amplituda ulega podwojeniu. Aby zaobserwować maksima i minima interferencyjne, konieczne jest, aby źródła fal były koherentne, czyli miały tą samą fazę, częstotliwość oraz długość). Białe światło Słońca nie spełnia takiego warunku, dla każdej długości fal składających się na światło białe wzmocnienie i osłabienie interferencyjne zachodzi w innym miejscu. Doświadczenie Younga pozwala na obserwację tego zjawiska dla światła białego.

Dudnienie - okresowe zmiany amplitudy drgania powstałego ze złożenia dwóch drgań o zbliżonych częstotliwościach. Dudnienia obserwuje się dla wszystkich rodzajów drgań, w tym i wywołanych falami.

dudniący dźwięk powstający ze złożenia dwóch dźwięków źle zestrojonych instrumentów muzycznych, dźwięk (drgania) powstajacy ze złożenia dźwieku odbieranego bezpośrednio i odbitego od poruszającej się powierzchni odbijającej,

Jako dudnienie uznaje się także okresowe zmiany amplitudy drgań w układzie dwóch słabo sprzężonych oscylatorów.

Dudnienie drgań harmonicznych

W przypadku złożenia dwóch drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach efekt można przedstawić w formie matematycznej.

Dla przypadku dwóch drgań o jednakowych amplitudach i częstościach ω₁,ω₂ przebieg drgań opisany jest funkcjami:

Przyjmuje się oznaczenia:

Powstające w wyniku złożenia drganie można traktować jako drganie częstość równej średniej arytmetycznej częstości drgań składowych oraz powoli zmiennej amplitudzie, z częstością równą połowie różnicy częstości drgań składowych. Co można ujać matematycznie:

Efektem fizycznym takiego sumowania jest to, że drgania zachowują swój szybkooscylujący charakter (tu funkcja sinus), zachodzi jednocześnie powolna zmiana amplitudy (tu funkcja cosinus) sygnału, co dla dźwięku powoduje słyszalną zmianę głośności w czasie.

Punkt krytyczny to warunki krytyczne definiujące stan układu fizycznego oddzielające stany o odmiennych właściwościach (ciecz - gaz), w którym nie można rozróżnić obu stanów (cieczy i gazu). Na przykład:

- dla czystych substancji - gazów punkt krytyczny oznacza temperaturę krytyczną (i odpowiadające mu ciśnienie krytyczne, czyli maksymalne ciśnienie nad dana cieczą), powyżej której nie można skroplić gazu niezależnie od wielkości ciśnienia. Jest to punkt krytyczny trójwymiarowy (układ o 3 stopniach swobody translacji - 3D). Parametry krytyczne oznacza się często indeksem "cr", "c" lub "kr", czasami z dodatkiem "2D" ("2") lub "3D" ("3") w zależności od tego jakiego układu dotyczą, np. T_3c. Dla gazów parametry krytyczne można określić na podstawie współczynników odpowiedniego równania stanu, np. równanie van der Waalsa,

w przypadku gazów zaadsorbowanych na powierzchni (układ 2-wymiarowy) warunki krytyczne będą się różniły. Podobnie dla pewnych innych zjawisk związanych z dwoma wymiarami (2D). Wiele tzw. przejść fazowych również zachodzi jedynie w warunkach powyżej lub poniżej pewnych wartości krytycznych, np. gęstości, temperatury, ciśnienia.

- punkt krytyczny dla ciekłych układów wieloskładnikowych oznacza stan w którym zanika różnica pomiędzy współistniejącymi fazami ciekłymi - dla wielu mieszanin ciekłych istnieją obszary (określone przede wszystkim przez krytyczne temperatury), w których istnieje całkowita mieszalność oraz obszary, gdzie istnieje ograniczenie rozpuszczalności, a więc w pewnym przedziale stężeń współistnieją (zwykle dwie) odrębne fazy - np. faza A nasycona składnikiem B oraz faza B nasycona składnikiem A.

Rozkład Maxwella-Boltzmanna podaje jaki ułamek ogólnej liczby cząsteczek gazu doskonałego porusza się w danej temperaturze z określoną szybkością - zależność ta ma charakter gęstości prawdopodobieństwa. Założeniem jest równowaga termiczna gazu.

v - szybkość cząsteczki gazu, m - masa cząsteczki gazu (m = M/N_A, gdzie M - masa molowa gazu, N_A - stała Avogadra), k - stała Boltzmanna, k = R/N_A (R - (uniwersalna) stała gazowa, N_A - stała Avogadra), T - temperatura

Funkcję rozkładu można również napisać w formie zależnej od stosunku energii kinetycznej cząsteczek gazu do (kT):

skąd

gdzie:

energia kinetyczna cząsteczki gazu

Zasada ekwipartucji energii - jednym z ważniejszych praw fizyki statystycznej jest prawo równomiernego rozkładu energii między stopnie swobody: na każdy stopień swobody cząsteczki średnio przypada jednakowa energia kinetyczna, równa

W przypadku gazu doskonałego jedyną energią cząstek była energia kinetyczna. W przypadku np. ciał stałych należy uwzględniać również energię potencjalną oddziaływań międzycząsteczkowych. Można wykazać, że zasada ekwipartycji energii jest wtedy również słuszna, jeśli tylko energia potencjalna jest funkcją kwadratów współrzędnych cząsteczki.

Dyspersja fal to zależność prędkości fazowej fal od ich częstotliwości. Dyspersję fal oraz zjawiska z niej wynikające obserwuje się w ośrodku, którego właściwości zależą od częstotliwości (długości fali). Jeżeli prędkość fazowa fali nie zależy od częstości fali, wówczas o takiej fali mówi się że nie ulega dyspersji, a ośrodek nazywa się niedyspersyjnym. W wyniku rozchodzenia się fal w ośrodku dyspersyjnym fale o różnej częstotliwości rozchodzą się z różną prędkością, oznacza to że prędkość rozchodzenia się zmian fali, zwana prędkością grupową jest inna niż prędkość rozchodzenia się fazy fali prędkość fazowa. Dyspersja jest zjawiskiem powszechnym, ulegają jej wszystkie rodzaje fal w bardzo wielu ośrodkach.

Dyspersji ulega fala elektromagnetyczna w tym i światło. Światło przechodząc między ośrodkami o różnej dyspersji ulega rozszczepieniu na fale o różnej częstotliwości. Z tego powodu, zjawisko rozszczepienia światła nazywane jest dyspersją, choć zjawisko dyspersji fal jest zjawiskiem znacznie ogólniejszym. Zjawisko dyspersji w optyce opisuje dokładniej artykuł Dyspersja (optyka).

Falami ulegającymi dyspersji są też fale na wodzie. Fale te mają większą prędkość gdy poruszają się na wodzie o większej głębokości a mniejszą na mniejszej głębokości. W wyniku czego zachodzą zjawiska:

- czoło fali przy brzegu jest prawie prostopadłe do brzegu,

- gdy fala przechodzi na płytką wodę to:

odległość między kolejnymi grzbietami fali (długość fali) zmniejsza się,

fala zmienia kierunek ruchu,

rośnie wysokość fali czyli amplituda fali.

Gdy fala znajdzie się na jeszcze płytszej wodzie, to wysokość fali jest porównywalna z głębokością wody, grzbiet porusza się szybciej niż dolina, na fali tworzą się "bałwany". Z fizycznego punktu widzenia oznacza to, że przestaje obowiązywać zasada superpozycji fal i fala przestaje być falą harmoniczną.

Prędkość fazowa fali jest to prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie.

Fala harmoniczna może być opisana równaniem:

y = Asin(ωt − k_zz + φ),

A - amplituda fali, ω - częstość fali, t - czas, k - wektor fali, z - współrzędna położenia

W czasie (t) w punkcie o współrzędnej (z) fala ma fazę

φ_z(t,z) = ωt − k_zz + φ

Miejsca o jednakowej fazie poruszają się z prędkością a prędkość ta jest nazywana prędkością fazową:

Interferencja fal

Równanie fali stojącej będącej sumą dwu fal biegnących przemieszczających się w przeciwnych kierunkach

dla:

wartość bezwzględna z B(x) jest amplitudą drgań w miejscu x.

Amplituda drgań osiąga największe wartości równe 2A dla:

w tych miejscach ośrodek drga najsilniej,

a najmniejsze równe zero

odpowiadają miejscom niedrgającym,

gdzie n = 0,1,2...

Struna zamocowana z dwóch końców

Fala wzbudzona na obustronnie zamocowanej strunie powstaje na skutek nakładania się (interferencji) fali biegnącej w kierunku zamocowania z falą odbitą. Fala padająca i odbita w miejscu mocowania mają sumę wychylenia równą zero, oznacza to, że w tych miejscach są węzły fali.

Opisując falę stojącą w strunie zamocowanej z obu końców wyżej opisanymi równaniami trzeba nałożyć na te równania warunki brzegowe, tak by spełnione były warunki na powstawanie węzłów. Z warunków tych wynika, że:

,

.

Warunki te oznaczają, że w strunie mogą istnieć tylko drgania o określonej liczbie falowej (k), warunkom tym odpowiada, że równanie fali może być opisane wzorem:

Długość takiej fali określona jest wzorem:

L - długość struny, n = 1,2,3...

Każde drganie struny można zapisać wzorem:

Drganie o najmniejszej częstotliwości nazywa się drganiem podstawowym, drgania o następnych częstotliwościach drganiami harmonicznymi.

Struna zamocowana w jednym końcu

Gdy fala dochodzi do swobodnego końca struny, też odbija się. Na niezamocowany koniec struny nie działa siła, dlatego ten koniec struny musi być równoległy do osi struny niedrgającej. Oznacza, to że na swobodnym końcu powstaje strzałka fali stojącej.

Długość takiej fali określona jest w tej sytuacji określona wzorem:

Wartości jakie może przybierać częstość w strunie zamocowanej tylko z jednego końca (ω₀,3 * ω₀,5 * ω₀...) są nieparzystymi wielokrotnościami częstości podstawowej.

Zjawisko odbicia sygnału od swobodnego (otwartego) lub zwartego końca linii przesyłowej powoduje powstawanie w niej fali stojącej, które utrudnia przesyłanie sygnałów w liniach transmisyjnych, a zapobiega się mu poprzez instalowanie na końcach linii urządzeń zapobiegających odbiciom (terminator).

Prędkość grupowa - wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych (innych niż sinusoidalne) w sytuacji, gdy natężenie fali nie wpływa na prędkość ruchu fali.

Dla fal rozprzestrzeniających się bez zmiany kształtu impulsu falowego odpowiada prędkości rozchodzenia się impulsu i prędkości rozchodzenia się czoła fali.

Dla fal prawie harmonicznych, opisanych jako fala harmoniczna o zmieniajacej się amplitudzie, prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji czyli prędkość grupową określa wzór:

v_g - prędkość grupowa, ω - częstość kątowa drgań fali, k - wektor falowy

Prędkość rozchodzenia się modulacji, czyli prędkość grupowa, odpowiada prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę. Prędkość o której mowa w prawie załamania światła to też prędkość grupowa.

Pojęcie prędkość grupowa wprowadzono w celu odróżnienia od prędkości przemieszczania się grzbietów fali nazywanej prędkością fazową.

W próżni prędkość grupowa światła jest równa prędkości fazowej i jest równa prędkości światła. W ośrodkach materialnych prędkość grupowa światła jest mniejsza od prędkości świała w próżni. W ośrodkach dyspersyjnych prędkość grupowa jest różna od prędkości fazowej. W ośrodkach, w których amplituda fali wpływa na szybkość ruchu fali nie wprowadza się prędkości grupowej.

Prędkość fazowa światła (fali elektromagnetycznej) w próżni jest równa prędkości światła w próżni, w ośrodkach jest inna i często większa od prędkości światła w próżni. Większa wartość prędkości fazowej od prędkości światła nie stoi w sprzeczności z szczególną teorią względności gdyż faza fali nie jest szybkością rozprzestrzeniania się fali a tym samym i przenoszenia sygnałów.

Równanie van der Waalsa jest równaniem stanu gazu wiążące parametry stanu gazu ( ciśnienie p, objętość V i temperaturę T).

Wyprowadzone przez van der Waalsa w roku 1873 jako rozszerzenie równania stanu gazu idealnego (równanie Clapeyrona), van der Waals wprowadził poprawkę uwzględniającą objętość cząsteczek gazu (b) oraz oddziaływanie wzajemne cząsteczek gazu (a/V²).

Najczęściej podawane jest dla objętości molowej gazu (dla 1 mola gazu, V = V_m):

a - stała charakterystyczna dla danego gazu, uwzględniająca oddziaływanie między cząsteczkami gazu (cząsteczki gazu przyciągają się, w wyniku czego rzeczywiste ciśnienie gazu na ścianki naczynia jest mniejsze niż w przypadku, gdyby tego oddziaływania nie było), b - stała charakterystyczna dla danego gazu, uwzględniająca skończone rozmiary cząsteczek (cząsteczki zajmują jakąś objętość), p - ciśnienie, V_m = V/n - objętość molowa, gdzie: V - objętość, n - liczność (ilość gazu) w molach, T - Temperatura bezwzględna, R - uniwersalna stała gazowa

Parametry a i b zgodnie z teorią powinny być związane z parametrami punktu krytycznego gazu, zwanymi też stałymi krytycznymi, które mogą być też w zastosowaniach praktycznych traktowane jako parametry dopasowania:

  

T_c - Temperatura krytyczna, p_c - ciśnienie krytyczne

Dla dowolnej ilości moli gazu n w objętości V równanie van der Waalsa przybiera postać:

Równanie van der Waalsa stanowi na ogół bardzo dobre przybliżenie równania stanu gazów rzeczywistych, szczególnie dla dużych ciśnień i w temperaturach i ciśnieniu zbliżonych do parametrów skraplania gazu i powyżej. Jeśli można zaniedbać oddziaływanie między cząsteczkami (a=0) i rozmiary samych cząsteczek (b=0) czyli traktować gaz jako gaz doskonały, to równanie van der Waalsa przechodzi w równanie Clapeyrona. Bardziej ogólnym równaniem opisujacym gazy rzeczywiste jest wirialne równanie stanu gazu.

Entropia jest to termodynamiczna funkcja stanu określająca kierunek przebiegu procesów spontanicznych (samorzutnych) w odosobnionym układzie termodynamicznym. Jest wielkością ekstensywną. Druga zasada termodynamiki stwierdza, że jeżeli układ termodynamiczny przechodzi od jednego stanu równowagi do drugiego bez udziału czynników zewnętrznych (a więc spontanicznie), to jego entropia zawsze rośnie. Pojęcie entropii wprowadził niemiecki uczony Rudolf Clausius.

W ramach II zasady termodynamiki zmiana entropii jest zdefiniowana przez swoją różniczkę zupełną jako:

gdzie:

czynnik całkujący (T - temperatura bezwzględna)

DQ - ciepło elementarne (nie ma pojęcia zmiany ciepła, gdyż ciepło nie jest funkcją stanu w termodynamice) (wyrażenie Pfaffa)

Całkowita entropia układu makroskopowego jest równa :

k - stała Boltzmanna, W - liczba sposobów na jakie makroskopowy stan termodynamiczny układu może być zrealizowany poprzez mikrostany, p_i - prawdopodobieństwo mikro stanu.

Zatem

jest liczbą bitów potrzebnych do pełnego określenia, którą realizację przyjął dany układ.

Fala stojąca — fala, której pozycja w przestrzeni pozostaje niezmienna. Fala stojąca może zostać wytworzona w ośrodku poruszającym się względem obserwatora lub w przypadku interferencji dwóch fal poruszających się w przeciwnych kierunkach. Fala stojąca może też być traktowana jako drgania ośrodka, które nazywane są drganiami normalnymi.

Przykładem fali stojącej w poruszającym się ośrodku są fale atmosferyczne powstające w powietrzu przy odpowiednich warunkach meteorologicznych po zawietrznej stronie łańcuchów górskich. Tego typu fale często są wykorzystywane przez pilotów szybowców

Gaz doskonały - zwany gazem idealnym jest to gaz spełniający następujące warunki:

brak oddziaływań międzycząsteczkowych z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek

objętość cząsteczek jest znikoma w stosunku do objętości gazu

zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste

Klasyczny gaz doskonały

Gaz taki w mechanice klasycznej opisuje równanie Clapeyrona (równanie stanu gazu doskonałego), przedstawiające zależność między ciśnieniem gazu (p), jego objętością (V), temperaturą (T) i licznością (n) wyrażoną w molach:

gdzie  R jest stałą gazową

gdzie  k jest stałą Boltzmanna.

Gaz doskonały to model, słuszny w pełni jedynie dla bardzo rozrzedzonych gazów. Wzrost ciśnienia powoduje, że zmniejszają się odległości między cząsteczkami oraz powoduje pojawianie się oddziaływań międzycząsteczkowych. Oddziaływania te występują też blisko temperatury skraplania. W bardzo wysokich temperaturach zderzenia przestają być sprężyste. Model ten może być jednak stosowany w praktyce do niemalże wszystkich gazów w warunkach normalnych. Dla gazów rzeczywistych przy dużych gęstościach i ciśnieniach niezbędne jest stosowanie równań uwzględniających te efekty (zob. równanie Van der Waalsa i wirialne równanie stanu).

Procesy odwracalne

Zdefiniujmy najpierw proces kwazistatyczny. Jest to proces przebiegający tak wolno, że układ stale pozostaje dowolnie blisko stanu równowagi.

Jeżeli weźmiemy gaz w cylindrze, zauważymy, że kwazistatyczne rozprężanie tego gazu związane jest z wykonaniem pracy i oddaniem ciepła. Jeśli jesteśmy w stanie przywrócić warunki początkowe przez dodanie dokładnie tej samej ilości ciepła, oraz wykonanie tej samej pracy, to gaz w cylindrze możemy sprężyć do warunków początkowych. Można więc powiedzieć, że proces kwasistatyczny jest procesem odwracalnym.

Inaczej mówiąc proces odwracalny jest to taki proces, po zajściu którego można przywrócić warunki początkowe tylko przez narzucenie warunku ograniczającego usuniętego na początku procesu.

Procesem nieodwracalnym nazywamy proces, który nie jest odwracalny. Konwersja pracy w ciepło jest procesem nieodwracalnym. Transport ciepła przez skończoną różnicę temperatury jest procesem nieodwracalnym.

1 przemiana - odcinek AB - izotermiczne rozprężanie

W celu zmaksymalizowania pracy (czyli pola wewnątrz wykresu) pierwszą przemianę prowadzimy jak najbliżej górnej krawędzi dozwolonego obszaru, czyli po izotermie T1 - odcinek AB. Spodziewamy się, że wtedy obrysowywany obszar będzie miał największe pole. Podczas tej przemiany pobierane jest ciepło Q1 i jest ono w całości zamieniane na pracę, gdyż energia wewnętrzna gazu jest stała (cały czas poruszamy się po izotermie, a dla gazu doskonałego energia wewnętrzna zależy tylko od temperatury). Aby praca ta była maksymalna, przemianę doprowadzimy do momentu, w którym wyczerpie się cały dostępny na ten cykl zapas ciepła Qp . Znajdziemy się wtedy w punkcie B.

Zależności dla wyżej opisanej przemiany przemiany są następujące:

T = const = T1

DU1= 0 , a ponieważ DU1= W1 + Q1, to W1 = - Q1 - dostarczana energia cieplna jest w całości zamieniana na pracę wykonywaną przez gaz (teraz działa grzejnik).

Znaki wielkości:

W1 < 0 (praca jest odbierana od układu), Q1 > 0 (ciepło jest dostarczane do gazu)

2 przemiana - odcinek BC - adiabatyczne rozprężanie

Cała dostępna na ten cykl energia cieplna została już wykorzystana. Jednak nie jest to kres możliwości uzyskiwania pracy, gdyż teraz gaz może ją wykonać kosztem zawartej w nim energii wewnętrznej. Dzięki temu ogólna praca wykonana podczas cyklu ulegnie dodatkowemu zwiększeniu. Ponieważ nie możemy już pobierać ciepła, więc dalszy odcinek naszej wędrówki po wykresie powinien być adiabatą, czyli wykresem przemiany podczas której nie ma wymiany ciepła z otoczeniem. Jest to odcinek BC na wykresie. Jego krańcem jest punkt na izotermie T2 gdyż niżej na wykresie niż do izotermy T2 posuwać się nie możemy, bo spowodowałoby to wyjście poza dozwolony obszar.

Teraz zgodnie z własnościami przemiany adiabatycznej oraz I zasadą termodynamiki mamy:

Temperatura układu maleje od T1 do T2

Q2 = 0 , DU2 = W2 < 0 - energia wewnętrzna jest zamieniana w całości na pracę wykonywaną przez gaz (nie ma ani ogrzewania, ani chłodzenia).

3 przemiana - odcinek CD - izotermiczne sprężanie

Z punktu C musimy teraz poruszać się tak, aby zamknąć cały cykl i powrócić do punktu wyjściowego A. Oczywiście będziemy to robić wzdłuż izotermy T1, gdyż inna droga zapewne spowodowałaby, albo zmniejszenie pola ograniczonego wykresem cyklu (staramy się przecież maksymalnie „obrysować” nasz obszar), albo przekroczenie założonego zakresu temperatur. Dojdziemy w ten sposób do punktu D. W przemianie tej mamy:

T3 = const = T2 ,

DU1= 0 , a ponieważ W3 = - Q3 więc cała energia dostarczana do układu w postaci pracy jest odbierana od niego jako ciepło (działa chłodzenie).

Znaki wielkości:

W3 > 0 (praca jest dostarczana do układu), Q1 < 0 (ciepło jest odbierane)

4 przemiana - odcinek DA - adiabatyczne sprężanie

Odległość jaką przebędziemy wzdłuż izotermy T2 powinna być dobrana tak, aby do punktu A można było dostać się krzywą adiabatyczną. Powrót np. izochoryczny wiąże się z pobraniem ciepła (a całe już wykorzystaliśmy), zaś zbyt wczesne opuszczenie izotermy T2 spowodowałoby zmniejszenie sumarycznej pracy cyklu (zmniejszyłoby się pole wewnątrz krzywej), co sprzeciwia się naszemu postulatowi uzyskania maksymalnej pracy. Dlatego punkt D musi zostać tak dobrany, aby ostatnim odcinkiem cyklu DA było adiabatyczne sprężanie. Tak więc dla tego odcinka mamy:

Temperatura rośnie od T2 do T1,

Q4 = 0, DU4= W4 > 0 Układ zyskuje energię dzięki dostarczanej do niego pracy (nie ma ani ogrzewania, ani chłodzenia).

Po zakończeniu wszystkich przemian otrzymamy cykl Carnota, czyli cykl składający się na przemian z dwóch przemian izotermicznych i dwóch adiabatycznych.

Ponieważ prowadziliśmy nasz cykl tak, aby zmaksymalizować proces przemiany ciepła na pracę, więc sądzimy że: Cykl Carnota jest cyklem o sprawności największej z możliwych.

Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące ruch falowy.

Ma ono postać (w przestrzeni trójwymiarowej):

lub w postaci

Gdzie u=f(x,y,z,t) jest nieznaną funkcją, v wektorem prędkości fali zaś x,y i z to składowe wektora położenia x.

Rozwiązaniem równania falowego jest funkcja f(x,y,z,t) w postaci:

gdzie funkcja g(x,y,z,t) jest ciągła i różniczkowalna odpowiednią ilość razy. Rozwiązania te maja kształt zaburzenia zadanego co do kształtu funkcją g(x,y,z,0) przesuwającego się w kierunku zadanym przez wektor v z prędkością równą |v|.

i - liczba stopni swobody

Pojedyncza cząstka i=3

Podwójna cząsteczka i=5

Więcej niż 2 cząstki i=6

---