Model ekonometryczny

Model jednorównaniowy dla zmiennej endogenicznej - zużycia gazu z sieci w hektometrach sześciennych w gospodarstwach domowych w latach 1980-1996. Model oparty jest więc na 17 obserwacjach. Kształtowanie się zmienności zużycia gazu w gospodarstwach domowych początkowo starałam się wyjaśnić w oparciu o trzy zmienne egzogeniczne:

• import gazu w hm³

• długość sieci gazowej w km

• ilość gospodarstw domowych w tys. szt.

Po oszacowaniu parametrów strukturalnych modelu okazało się jednak, że zmienna objaśniająca: ilość gospodarstw domowych nie wpływa istotnie na zmienną objaśnianą. Przyczyną złego dopasowania jest zapewne fakt, iż nie każde gospodarstwo ma dostęp do sieci gazociągowej, zatem użycie tej zmiennej jest nieco mylące. Po odrzuceniu jej, model oparty został na dwóch pozostałych zmiennych.

Założenia modelu: pomiędzy zmienną objaśnianą Y_t, a zmiennymi objaśniającymi zachodzi związek liniowy, zakłócony przez addytywny składnik losowy ξ_t o rozkładzie normalnym o wartości oczekiwanej równej zero i stałej wariancji.

1. Postać równania liniowego modelu

Y_t = β₀ + β₁X_1t + β₂X_2t + ξ _t

• zmienna objaśniana (endogeniczna) : Y_t - zużycie gazu w hm³ w gospodarstwach domowych

• zmienne objaśniające (egzogeniczne) : X_1t - import gazu w hm³, X_2t - długość sieci gazowej w km

• parametry strukturalne: β_{0 ,} β_1, β₂

• składnik losowy : ξ_t

t = 1,2, ... ,17 - numer obserwacji

2. Oszacowanie parametrów strukturalnych

Ŷ_t = - 1109,2 + 0,95497 X_1t + 0,05568 X_2t + ξ_t

(941,2755) (0,15697) (0,0070133)

β₀ = - 1109,2 nieznany parametr został oszacowany na podstawie 17 obserwacji na

poziomie - 1109,2 z dokładnością ± 941,2755

β₁ = 0,95497 - jeśli import zwiększy się o jeden hektometr sześcienny, to zużycie gazu w gospodarstwach domowych wzrośnie o 0,95497 hektometra sześciennego, ze średnim błędem ± 0,15697

β₂ = 0,05568 - jeśli długość sieci gazowej wzrośnie o jeden kilometr, to oczekuje się, że zużycie gazu w gospodarstwach domowych wzrośnie o 0,05568 hektometra sześciennego, ze średnim błędem ± 0,0070133

3. Syntetyczne miary dopasowania

Współczynnik determinacji R²

R² = 0,94029 - model empiryczny wyjaśnia 94% rzeczywistej zmienności zużycia gazu

Skorygowany współczynnik determinacji

Obie wartości współczynników nie różnią się znacznie od siebie, co oznacza, że nie występuje „efekt pozornego wyjaśnienia”.

R = 0,96968 - występowało silne skorelowanie rzeczywistych i teoretycznych wartości zużycia gazu w latach 1980 - 1996.

Współczynnik zbieżności φ²

φ² = 1 - 0,94029 = 0,05971 - ok. 6% zmienności rzeczywistego zużycia gazu nie zostało wyjaśnione przez model, co oznacza, że kształtuje się pod wpływem innych czynników, nieuwzględnionych bezpośrednio w modelu.

Standardowy błąd resztowy:

δ_ξ = 486,2398 - przeciętnie, wartości rzeczywiste zużycia gazu odchylają się od jego wartości teoretycznych Y_t (tj. wyznaczonych na podstawie modelu empirycznego)

o ± 486,2398 hm³

Współczynnik zmienności losowej V

Średni błąd resztowy stanowi 6,14% średniej wartości zużycia gazu w badanym okresie.

Weryfikacja ekonomiczna

Zarówno znaki jak i wartości ocen parametrów strukturalnych należy uznać za rozsądne.

4. Weryfikacja statystycznej istotności ocen parametrów strukturalnych

a) Indywidualne hipotezy istotności ocen parametrów strukturalnych

Hipotezy mają postać:

Liczba stopni swobody , w omawianym przypadku, jest równa (T - K - 1) = 17 - 2 - 1 = 14. Przy poziomie istotności α = 0,05, statystyka t-Studenta przyjmuje wartość krytyczną

t_0,05 = 2,145.

Wartości odpowiednich statystyk wynoszą: t₀ = -1,1784, t₁ = 6,0839, t₂ = 7,9391

Ponieważ zachodzi:

 t₀= 1,1784 < t_0,05 = 2,145, to przyjmujemy H₀, co oznacza, że parametr β₀ nie różni się istotnie od zera, czyli nie wpływa na zmienna objaśnianą Y_t. Ponadto wynika to również z faktu, że prawdopodobieństwo przyjęcia przez statystykę wartości nie mniejszej niż

-1,1784 jest równe Prob = 0,258. Prob = 0,258 > 0,05, więc H₀ przyjmujemy.

 t₁= 6,0839 > t_0,05 = 2,145, to odrzucamy H₀ na rzecz H_A, co oznacza, że parametr β₁ różni

się istotnie od zera, czyli import gazu wpływa na zużycie gazu w gospodarstwach domowych. Prob = 0,000 < 0,05, więc H₀ odrzucamy.

 t₂ = 7,9391 > t_0,05 = 2,145, to odrzucamy H₀ na rzecz H_A, co oznacza, że parametr β₁ jest statystycznie istotny, czyli długość sieci gazowej ma wpływ na zużycie gazu w gospodarstwach domowych. Prob = 0,000 < 0,05, więc H₀ odrzucamy.

b) Łączna hipoteza istotności parametrów strukturalnych

Test istotności parametrów strukturalnych oparty jest na statystyce F-Snedecora.

Hipoteza istotności ma postać:

H₀ : β₁ = β₂ = 0

H_A : istnieje takie i, że β_i ≠ 0

Wartość krytyczna statystyki F, dla poziomu istotności α = 0,05 oraz K = 2 i T - K - 1 = 14 stopni swobody wynosi F_0,05 = 3,74

H₀ należy odrzucić na rzecz H_A, gdy F > F_α

Wartość statystyki F = 110,2255 > F_0,05 = 3,74, czyli H₀ odrzucamy na rzecz H_A, co oznacza, że łącznie zmienne objaśniające istotnie wpływają na zużycie gazu w gospodarstwach domowych. Ponadto Prob = 0,000 < 0,05, co potwierdza powyższy wniosek.

5. Weryfikacja hipotez dotyczących braku autokorelacji składnika losowego

a) Test Durbina - Watsona

Statystyka DW wyznaczona na podstawie modelu wynosi DW = 1,9870. Hipoteza więc ma postać:

H₀ : ρ = 0, reszty modelu nie są skorelowane

H_A : ρ > 0, autokorelacja reszt występuje i jest dodatnia

ρ -współczynnik autokorelacji (rzędu pierwszego) składników losowych modelu.

Z tablic wartości krytycznych testu DW dla T = 17 obserwacji, K = 2 zmienne objaśniające i poziomu istotności α = 0,05, odczytuję dwie wartości krytyczne: górną d_u = 1,536 oraz dolną d_l = 1,015.

H₀ odrzucamy na rzecz H_A wówczas, gdy DW < d_l (autokorelacja dodatnia); oraz DW ∈

<d_l; d_u> (nie można podjąć żadnej decyzji)

Ponieważ zachodzi: DW = 1,9870 > d_u = 1,536, H₀ należy przyjąć, co oznacza, że autokorelacja reszt składnika losowego nie istnieje.

b) Test Godfreya - testowanie istotności autokorelacji dowolnego rzędu

Hipoteza ma postać:

H₀ : σ₁ = σ₂ = ... = σ_p = 0 (brak autokorelacji rzędu p)

H_A : istnieje takie i, że _i σ ≠ 0, i = 1,2, ... , p

σ - określają zależność autokorelacyjną składników losowych modelu, którą można przedstawić jako: ξ_t = σ₁ ξ_t-1 + σ₂ ξ_t-2 + ... + σ_pξ_t-p + μ_t, gdzie μ_t to składnik czysto losowy z wartością oczekiwaną równą zero, stałą wariancją oraz zerowymi kowariancjami.

Statystyka ta ma rozkład χ²(p) oraz odpowiednik w postaci rozkładu F (p, T - p - (k + 1)), gdzie p oznacza maksymalny rząd autokorelacji podlegający badaniu.

χ² obliczone na podstawie modelu wynosi χ²_sc(1) = 2,2644. Przyjmując 5% poziom istotności H₀ należy odrzucić dla Prob ≤ 0,05. Dla Prob > 0,05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Wartość próbkowa statystyki χ²_sc(1) = 2,2644 z wartością Prob = 0,132, co oznacza, że H₀ należy przyjąć.

Statystyka F_sc (1, 13) = 1,9977 z wartością Prob = 0,181. H₀ należało by odrzucić dopiero na poziomie istotności α ≥ 0,181. Dla α = 0,05 nie ma podstaw do odrzucenia H₀ o braku autokorelacji składników losowych, reszty modelu nie są względem siebie zależne.

6. Testowanie poprawności wyboru postaci analitycznej modelu

Test Ramseya

Hipoteza ma postać:

H₀ : funkcja modelu jest liniowa p = 1

H_A : funkcja modelu nie jest liniowa (jest p-tego rzędu, p > 1)

Statystyka ma rozkład χ²_F (p) oraz odpowiednik w postaci rozkładu F (p, T - p -(K + 1))

Wartość próbkowa statystyki χ²_F (1) = 3,045 z wartością Prob = 0,081, co oznacza, że H₀ odrzucamy dopiero na poziomie istotności α ≥ 0,081. Dla α = 0,05 nie ma podstaw do

odrzucenia H₀ zakładającej liniową postać modelu.

Statystyka F_sc (1, 13) = 2,8366 z wartością Prob = 0,116. H₀ należało by odrzucić dopiero na poziomie istotności α ≥ 0,116. Dla α = 0,05 nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

Oba testy pozwalają na wnioskowanie, że model liniowy jest właściwą postacią opisu zależności zużycia gazu od importu gazu i długości sieci gazowej w latach 1980 - 1996.

7. Testowanie normalności rozkładu składników losowych

Test Jarque'a - Bera

Hipoteza ma postać:

H₀ : ξ_t ma rozkład normalny

H_A : ξ_t nie ma rozkładu normalnego

Statystyka J -B ma rozkład χ² o dwóch stopniach swobody. Krytyczna wartość pochodząca z rozkładu χ²(2) i poziomu istotności α = 0,05 wynosi χ²_0,05 = 5,991. Ponieważ zachodzi:

J - B = 4,2738 < χ²_0,05 = 5,991, więc wnioskujemy, że nie ma podstaw do odrzucenia H₀, czyli składniki losowe mają rozkłady normalne. Ponadto wartość Prob = 0,118 > 0,05, co potwierdza wyżej wysunięty wniosek.

8. Testowanie heteroskedastyczności rozkładu składników losowych

Hipoteza ma postać:

H₀ : σ²_ξt = σ²_ξ , t = 1,2, ... , T

H_A : wariancja nie jest stała

Statystyka testu ma dwa sprawdziany χ²(1) oraz F (1, T - 2)

χ²(1) = 3,1733 z wartością Prob = 0,075. H₀ można odrzucić dopiero na poziomie α ≥ 0,075, więc dla α = 0,05 nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

F(1, 15) = 3,4426 z wartością Prob = 0,083 > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

Na podstawie testu χ² i F można wnioskować, że rozkład składnika losowego nie jest heteroskedastyczny, czyli charakteryzuje się stałością wariancji.

9. Testowanie losowości reszt

Test serii

Hipoteza ma postać:

H₀: reszty modelu mają charakter losowy

H_A: reszty modelu nie mają charakteru losowego

a - reszty dodatnie a = 10

b - reszty ujemne b = 7

k - liczba serii

b, a, a, b, b, a, b, b, a, b, a, a, a, a, a, a, b

k = 9

Dla α = 0,05 , a = 10 oraz b = 7 wartość krytyczna wynosi k_α = 5

k = 9 > k_α = 5, nie ma więc podstaw do odrzucenia H₀ , mówiącej o losowym charakterze reszt modelu.

Wniosek ogólny: model spełnia wszystkie kryteria weryfikacji i dane są dobrane tak, aby zmienne objaśniające: import gazu oraz długość sieci gazowej istotnie wyjaśniały zużycie gazu.

Załączniki :

1. Wykaz danych modelu (Rocznik statystyczny: 1980 -1997)

2. Wydruk estymacji przeprowadzonej metodą najmniejszych kwadratów ( źródło - MICROFIT )

3. Wydruk testów diagnostycznych ( źródło - MICROFIT )

4. Wykres dopasowania danych empirycznych do rzeczywistych ( źródło - MICROFIT )

WYKAZ DANYCH MODELU

Obserwacje	Zużycie gazu w hm^3	Import gazu w hm^3	Długość sieci gazowej w km	Ilość gospodarstw w tys. szt.	C
1980	5054	5312	22402	10052	1,0000
1981	5382	5261	23647	10165	1,0000
1982	5926	5621	25204	10334	1,0000
1983	5487	6007	26745	10474	1,0000
1984	5993	6015	28356	10692	1,0000
1985	6602	5898	30046	10867	1,0000
1986	7222	7135	32165	11055	1,0000
1987	7823	7531	34640	11206	1,0000
1988	8188	7487	37825	11101	1,0000
1989	8556	7905	41175	11057	1,0000
1990	9406	7836	45827	11967	1,0000
1991	9542	7752	52033	11953	1,0000
1992	9785	7628	60752	11967	1,0000
1993	9891	7458	67981	11744	1,0000
1994	9822	6942	74595	11592	1,0000
1995	10486	6772	79352	12053	1,0000
1996	9353	7358	83699	12498	1,0000

źródło: Rocznik Statystyczny, lata 1980 - 1996

1

---