1.Klasyfikacja sygnałów

Sygnały można podzielić na analogowe, w przypadku których sygnał zmienia się w sposób ciągły, oraz na cyfrowe w przypadku których sygnał zmienia się w sposób dyskretny. Sygnały mogą pochodzić z różnych źródeł.

Istnieje wiele sposobów przetwarzania sygnałów, których użycie jest zależne od natury sygnału, tak jak w poniższych przykładach. Dla sygnałów analogowych przetwarzanie sygnałów może wiązać się ze wzmacnianiem i filtracją sygnałów audio lub też z modulacją i demodulacją -- w przypadku zastosowań telekomunikacyjnych. W przypadku sygnałów cyfrowych, przetwarzanie sygnałów może dotyczyć takich zagadnień jak np. kompresja, detekcja i korekcja błędów.

2.Sygnał analogowy - sygnał, który może przyjmować dowolną wartość z ciągłego przedziału (nieskończonego lub ograniczonego zakresem zmienności). Jego wartości mogą zostać określone w każdej chwili czasu, dzięki funkcji matematycznej opisującej dany sygnał. Przeciwieństwem sygnału analogowego jest sygnał skwantowany. Jego jakość zależna jest od dyfrakcji powietrza, czyli od warunków atmosferycznych takich jak wilgotność powietrza, pora dnia. W sygnale cyfrowym jakość zależna jest od wysyłanych zmiennych np. bitrate, rozdzielczość.

KLASYFIKACJA SYGNAŁÓW

 MODELE MATEMATYCZNE SYGNAŁÓW

 PRZESTRZENIE FUNKCYJNE

 SYGNAŁY LOSOWE

 ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW

 PRZEJŚCIE SYGNAŁU PRZEZ UKŁAD LINIOWY

 FILTRY ANALOGOWE

 MODULACJE ANALOGOWE I CYFROWE

 PRÓBKOWANIE SYGNAŁÓW

 KWANTYZACJA SYGNAŁÓW

 PRZEKSZTAŁCENIE Z

3.Sygnał to abstrakcyjny model dowolnej mierzalnej wielkości zmieniającej się w czasie, generowanej przez zjawiska fizyczne lub systemy. Tak jak wszystkie zjawiska może być opisany za pomocą aparatu matematycznego, np. poprzez podanie pewnej funkcji zależnej od czasu. Ponieważ sygnał niesie informację o naturze badanych zjawisk lub systemów, w niektórych dziedzinach nauk jest on traktowany jak nośnik informacji. Sygnał oznacza zatem przepływ strumienia informacji, przy czym przepływ może odbywać się w jednym lub w wielu wymiarach

Sygnały można przedstawić w postaci:

• analitycznej - za pomocą wzoru matematycznego, który definiuje funkcję opisującą zmiany wartości sygnału np. w dziedzinie czasu, częstotliwości itp.,

• liczbowej - za pomocą sekwencji jego wartości chwilowych lub próbek,

• graficznej - za pomocą wykresu lub grafu.

Każdy sygnał może być opisany przez jedną z następujących wielkości:

• czas trwania, który może być ograniczony jakimś przedziałem czasowym, formalnie przedstawionym jako różnica pomiędzy końcem przedziału T2 i początkiem przedziału T1,

• wartość chwilową sygnału, mierzoną w jednostkach właściwych dla danej wielkości,

• funkcję opisującą przebieg sygnału, przy czym sygnał może być funkcją jednej zmiennej lub wielu zmiennych niezależnych,

• statystykę, czyli parametr lub grupę parametrów opisujących jego rozkład prawdopodobieństwa,

• specyficzne własności opisujące naturę danego sygnału, takie jak: amplituda, częstotliwość, energia, moc, okresowość, itp.

4.Rodzaje sygnałów

• ze względu na determinizm:

• sygnały deterministyczne

• sygnały losowe (procesy stochastyczne)

• ze względu na czas trwania:

• skończony — czas jest ograniczony jakimś przedziałem czasowym, formalnie przedstawionym jako różnica pomiędzy końcem przedziału T2 i początkiem przedziału T1,

• nieskończony — początek lub koniec przedziału jest nieosiągalny.

• ze względu na wartości energii i mocy:

• o zerowej energii i mocy (wszystkie takie sygnały są równoważne sygnałowi o wartości stałej: 0),

• o ograniczonej energii i zerowej mocy (tzw. sygnały energii),

• o nieskończonej energii i niezerowej lecz ograniczonej mocy (tzw. sygnały mocy),

• o nieskończonej energii i nieskończonej mocy.

• ze względu na okresowość:

• sygnały okresowe,

• sygnały nieokresowe.

• ze względu na ciągłość dziedziny i wartości:

• sygnały ciągłe (analogowe) — dziedzina i wartości sygnału są ciągłe,

• sygnały dyskretne — dziedzina sygnału jest dyskretna, a wartość ciągła,

• sygnały cyfrowe — dziedzina i wartość sygnału jest dyskretna.

5. Proces przekształcenia sygnału analogowego na dyskretny nazywany jest dyskretyzacją (próbkowaniem, digitalizacją). Zamianę wartości analogowej na cyfrową określa się jako kwantyzację. Podczas obu tych przekształceń tracona jest część informacji zawartej w sygnale analogowym, co opisuje się jako szum kwantyzacji. Urządzenie przetwarzające jeden sygnał na inny nazywane jest przetwornikiem.

Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych. Innymi słowy, pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty wg notowań giełdowych, liczba rzeczywista). W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy. Jako przykłady szeregów czasowych można podać: sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo

Częstotliwość próbkowania

Analogowy sygnał jest ciągły w czasie, więc konieczne jest przetworzenie go na ciąg liczb. To, jak często sygnał jest sprawdzany i - zależnie od jego poziomu - zamieniany na liczbę, określane jest mianem częstotliwości próbkowania. Innymi słowy można powiedzieć, że częstotliwość próbkowania jest odwrotnością różnicy czasu pomiędzy dwiema kolejnymi próbkami.

Zwykle, nie jest możliwe odtworzenie dokładnie takiego samego sygnału na podstawie wartości liczbowych, ponieważ dokładność jest ograniczona przez błąd kwantyzacji. Jednak wiarygodne odwzorowanie sygnału jest możliwe do osiągnięcia, gdy częstotliwość próbkowania jest większa niż podwojona, najwyższa składowa częstotliwość sygnału (twierdzenie Nyquista-Shannona).

Przetwornik analogowo-cyfrowy A/C (ang. A/D - analog to digital; ADC - analog to digital converter), to układ służący do zamiany sygnału analogowego (ciągłego) na reprezentację cyfrową (sygnał cyfrowy). Dzięki temu możliwe jest przetwarzanie ich w urządzeniach elektronicznych opartych o architekturę zero-jedynkową oraz gromadzenie na dostosowanych do tej architektury nośnikach danych. Proces ten polega na uproszczeniu sygnału analogowego do postaci skwantowanej, czyli zastąpieniu wartości zmieniających się płynnie do wartości zmieniających się skokowo w odpowiedniej skali (dokładności) odwzorowania. Przetwarzanie A/C tworzą 3 etapy: próbkowanie, kwantyzacja i kodowanie. Działanie przeciwne do wyżej wymienionego wykonuje przetwornik cyfrowo-analogowy C/A.

Przetwornik cyfrowo-analogowy, przetwornik C/A lub DAC (z ang. Digital to Analog Converter, DAC) przyrząd elektroniczny przetwarzający sygnał cyfrowy (zazwyczaj liczbę binarną w postaci danych cyfrowych) na sygnał analogowy w postaci prądu elektrycznego lub napięcia o wartości proporcjonalnej do tej liczby.

W skład typowego przetwornika C/A wchodzi:

• zespół przełączników elektronicznych, sterowanych wejściowymi sygnałami cyfrowymi;

• sieć rezystorów;

• precyzyjne źródło napięcia odniesienia.

Obecnie najczęściej stosowanymi przetwornikami są przetworniki połączone równolegle, w których wszystkie bity sygnału są doprowadzane jednocześnie. Są również przetworniki połączone szeregowo, w których sygnał wyjściowy jest wytwarzany dopiero po sekwencyjnym przyjęciu wszystkich bitów wejściowych, co sprawia że są wolniejsze od przetworników połączonych równolegle. W technice cyfrowej i komputerowej pojęcie sygnału cyfrowego zostało zawężone do sygnału elektrycznego, który poprzez odpowiednie kodowanie (modulację cyfrową) przenosi dane cyfrowe.

Sygnał cyfrowy - sygnał, którego dziedzina i zbiór wartości są dyskretne. Jego odpowiednikiem o ciągłej dziedzinie i ciągłym zbiorze wartości jest sygnał analogowy. Znaczenie tego terminu może odnosić się do:

• wielkości fizycznej, która z natury jest dyskretna (np. liczba błysków lampy w ciągu godziny)

• wielkości pierwotnie ciągłej i analogowej, która została spróbkowana i skwantowana (np. sygnał na wyjściu komparatora napięcia kontrolującego pewien proces w określonych chwilach)

• każdej reprezentacji jednego z powyższych, w tym (najczęściej) w postaci ciągu liczb zapisanych w pamięci maszyny cyfrowej (np. plik komputerowy typu WAV).

Współcześnie telekomunikacja i elektronika powszechnego użytku prawie całkowicie zostały zdominowane przez cyfrowe przetwarzanie sygnałów, które jest powtarzalne, bardziej niezawodne i tańsze od przetwarzania analogowego.

PCM (ang. Pulse Code Modulation) - to najpopularniejsza metoda reprezentacji sygnału analogowego w systemach cyfrowych. Używana jest w telekomunikacji, w cyfrowej obróbce sygnału (np. w procesorach dźwięku), do przetwarzania obrazu, do zapisu na płytach CD (CD-Audio), i w wielu zastosowaniach przemysłowych.

Metoda polega na reprezentacji wartości chwilowej sygnału (próbkowaniu) w określonych (najczęściej równych) odstępach czasu, czyli z określoną częstością (tzw. częstotliwość próbkowania). Wartość chwilowa sygnału jest przedstawiana za pomocą słowa kodowego, którego wartości odpowiadają wybranym przedziałom kwantyzacji sygnału wejściowego. Przydział zakresu wartości analogowej jednej wartości cyfrowej jest nazywany kwantyzacją sygnału, prowadzi to do pewnej niedokładności (błąd kwantyzacji). Im większa częstotliwość próbkowania i im więcej bitów słowa kodowego reprezentuje każdą próbkę, tym dokładność reprezentacji jest większa, a tak zapisany sygnał jest wierniejszy oryginałowi. Często można dobrać tak częstotliwość próbkowania by częstotliwość Nyquista (połowa częstotliwości próbkowania) była większa od najwyższej częstotliwości spośród składowych harmonicznych sygnału - co pozwala na bezstratną informacyjnie zamianę sygnału ciągłego na dyskretny. Liczba poziomów kwantyzacji jest zazwyczaj potęgą liczby 2 (ponieważ do zapisu próbek używane są słowa binarne) i wyraża się wzorem 2ⁿ, gdzie n to liczba bitów przeznaczona na pojedynczą próbkę.

DPCM ( ang. Differential Pulse Code Modulation) - to metoda kompresji stratnej przeznaczona głównie dla sygnałów dźwiękowych. Różnicowa modulacja kodowo-impulsowa (DPCM) opiera się na zasadach kodowania sygnału zastosowanych w modulacji kodowo-impulsowej (PCM). Różnica polega na tym, że nadajnik DPCM próbkuje otrzymany sygnał a następnie koduje jedynie różnicę pomiędzy próbką rzeczywistą a przewidywaną. Zatem słowa kodowe metody DPCM reprezentują różnice pomiędzy próbkami natomiast słowa kodowe metody PCM konkretne wartości próbek. Odbiornik odtwarza oryginalny sygnał na podstawie przewidzianej przez siebie wartości oraz otrzymanej różnicy.

Efektywność DPCM zależy od zdolności algorytmu predykcji (przewidywania), który może być bardziej lub mniej złożony jednak jego wynik zawsze uzyskuje się w oparciu o poprzednie wartości próbek.

Jeśli w kanale transmisyjnym nie występują szumy to sygnał wyjściowy odbiornika różni się od oryginalnego sygnału wejściowego tylko błędem kwantyzacji.

Zalety:

• DPCM pozwala zakodować sygnał na mniejszej liczbie bitów niż PCM

• stosunek sygnał - szum kwantowania jest lepszy o 4 - 11dB niż w przypadku standardowego systemu PCM (dotyczy kodowania sygnałów mowy)

Wady:

• gdy sygnał wejściowy zmienia się zbyt szybko, filtr predykcyjny może za nim nie nadążyć co skutkuje zniekształceniami.

Energia - skalarna wielkość fizyczna opisująca stan materii i zdolność materii do wykonania pracy lub spowodowania przepływu ciepła. Jest wielkością addytywną i zachowawczą.

Energia występuje w różnych rodzajach. Procesy fizyczne, mogą być postrzegane jako przemiany energii.

Amplituda w ruchu drgającym i w ruchu falowym jest to największe wychylenie z położenia równowagi. Jednostka amplitudy zależy od rodzaju ruchu drgającego: W formalnym opisie drgań amplituda jest liczbą nieujemną określająca wielkość przebiegu funkcji okresowej. Amplituda A w przebiegach sinusoidalnych jest maksymalną wartością tego przebiegu:

(1)

W przypadku funkcji ze składową stałą, amplituda dotyczy tylko części sinusoidalnej:

(2)

Amplitudą w tym przypadku nie jest A+B, a tylko wartość A. Pojęcie amplitudy często jest mylnie określane jako różnica pomiędzy maksymalną a minimalną wartością przebiegu.

Kwantyzacja - (drugi po próbkowaniu) etap procesu przetwarzania sygnału analogowego na cyfrowy. Sygnał analogowy (np. napięcie, prąd) może przyjmować dowolne wartości, systemy cyfrowe natomiast są w stanie przetwarzać tylko sygnały reprezentowane słowami o skończonej liczbie bitów. Taka reprezentacja wymaga ograniczenia zbioru wartości sygnału. Wartości te nazywane są poziomami reprezentacji, natomiast sama kwantyzacja to proces polegający na przypisaniu wartości analogowych do najbliższych poziomów reprezentacji, co wiąże się z nieuniknioną i nieodwracalną utratą informacji.Każdemu poziomowi reprezentacji przypisywana jest w procesie kodowania określona liczba. Wartości wejściowe (analogowe) muszą zostać skojarzone z poziomami reprezentacji, dlatego przedział dopuszczalnych wartości wejściowych jest dzielony na podprzedziały; punkty podziału są nazywane poziomami decyzyjnymi, ich liczba jest o jeden mniejsza od liczby poziomów reprezentacji. Każda wartość należąca do danego podprzedziału jest zastępowana przez poziom reprezentacji przypisywany do danego przedziału. Poziomem reprezentacji może być górna bądź dolna granica przedziału, jednak najczęściej jest nią wartość ze środka przedziału. Takie rozwiązanie skutkuje minimalizacją błędu średniokwadratowego, jednak tylko pod warunkiem, że rozkład prawdopodobieństwa wartości wejściowych jest stały w danym przedziale. Warunek ten jest w przybliżeniu spełniony, jeśli szerokości przedziałów kwantyzacji są bardzo małe.

Wejściowy sygnał analogowy jest zatem aproksymowany poziomami reprezentacji, a różnica pomiędzy wartością skwantowaną i oryginalną jest nazywana błędem kwantyzacji. Rozmieszczenie i liczba poziomów kwantyzacji oraz rozmieszczenie poziomów decyzyjnych determinują dokładność.

Rozróżnia się dwa rodzaje kwantyzacji:

• skalarna, w której kwantowane są niezależnie pojedyncze wartości;

• wektorowa, w której kwantowanych jest jednocześnie kilka wartości (co najmniej dwie).

Kwantyzacja skalarna może być:

• równomierna

• nierównomierna

Przy kwantyzacji równomiernej różnica pomiędzy sąsiednimi poziomami decyzyjnymi jest jednakowa, przy kwantyzacji nierównomiernej tak nie jest. Kwantyzację można również stosować do sygnału, który już był wcześniej skwantowany. Taki zabieg zazwyczaj zmniejsza wymaganą liczbę bitów kosztem zmniejszenia dokładności reprezentacji sygnału i jest częstym elementem technik kompresji danych.

Próbkowanie (dyskretyzacja, kwantowanie w czasie) to proces stworzenia sygnału impulsowego reprezentującego sygnał ciągły. Zwykle kojarzone jest z jednym z etapów przetwarzania sygnału analogowego na cyfrowy.

Sposób przekształcenia

Próbkowanie idealne to iloczyn funkcji grzebieniowej oraz sygnału ciągłego. Ponieważ wygenerowanie impulsów Diraca nie jest realizowalne technicznie, zwykle funkcję impulsową przybliża się sygnałem prostokątnym o bardzo małym wypełnieniu. Taki sygnał również nie jest możliwy do wygenerowania przez urządzenia techniczne, w których zmiana wartości sygnału musi być funkcją ciągłą. Dlatego próbkowanie naturalne to iloczyn poddawanej próbkowaniu funkcji ciągłej oraz powtarzających się impulsów o realizowalnym charakterze.

Od strony praktycznej wygląda to tak, że w ustalonych odstępach czasu (impulsowanie) mierzona jest wartość chwilowa sygnału i na jej podstawie tworzone są tzw. próbki. Sygnał przekształcony do postaci spróbkowanej nazywa się sygnałem dyskretnym

Okres i częstotliwość próbkowania

Okres próbkowania T_s to odstęp czasu pomiędzy pobieraniem kolejnych próbek. Częstotliwość próbkowania to odwrotność okresu próbkowania:
.

Aby spróbkowany sygnał z postaci cyfrowej dało się przekształcić, bez straty informacji, z powrotem do postaci analogowej, musi być spełnione twierdzenie Kotielnikowa-Shannona o próbkowaniu. Mówi ono, że częstotliwość próbkowania nie może być mniejsza niż podwojona szerokość pasma sygnału. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, wówczas występuje zjawisko aliasingu.

Przykład praktycznego wykorzystania

Ludzkie ucho słyszy dźwięki do częstotliwości około 20 kHz. Według twierdzenia Kotielnikowa-Shannona, częstotliwość zapisu cyfrowego musi być zatem większa niż 40 kHz, aby nie dało się usłyszeć przekłamań. Stąd 44 100 próbek na sekundę (44,1 kHz), dla każdego kanału, na płycie CD-Audio przyjęto za wartość wystarczającą.

Wykres funkcji delta Diraca. Schematyczna reprezentacja funkcji Diraca dla x₀ = 0. Linia ze strzałką jest zwykle używana do umownego zaznaczenia delty Diraca. Wysokość strzałki symbolizuje wartość stałej przemnożonej przez funkcję.

Delta Diraca - dystrybucja, czyli operator liniowy działający na pewnej przestrzeni funkcyjnej zdefiniowany

Obiekt ten wprowadził brytyjski fizyk teoretyczny Paul Dirac. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości; jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace'a F(s) = 1 i pochodną funkcji skokowej Heaviside'a

Funkcja impulsowa

Funkcja schodkowa Heaviside'a. Zastosowano "konwencję połowy maksimum", z x₀ = 0

Delta Diraca (albo funkcja impulsowa) δ to, mówiąc intuicyjnie, obiekt matematyczny o następujących własnościach:

Ponadto wartość całki wynosi:

Mimo sugestywnej i użytecznej notacji δ(x) należy podkreślić, że nie jest to funkcja o wartościach rzeczywistych. Matematycznie określamy deltę Diraca jako miarę albo jako dystrybucję, czyli funkcjonał liniowy określony na odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej. Delta Diraca jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce - do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili t=0, o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.

Impuls to sygnał o skończonym czasie trwania, który posiada określone parametry opisujące jego charakterystykę.

Przykładem są impulsy cyfrowe, czyli bity przesyłane pomiędzy dwoma urządzeniami cyfrowymi (np. komputerami) reprezentowane jako podwyższenia lub obniżenia napięcia elektrycznego w kablu miedzianym, promienie świetlne przepuszczane przez kabel światłowodowy albo fale radiowe wymieniane pomiędzy maszynami sieci bezprzewodowej.

Moc jest skalarną wielkością fizyczną określającą pracę wykonaną w jednostce czasu przez układ fizyczny. Z definicji, moc określa wzór:

gdzie:

P - moc,

W - praca,

t - czas.

Wzór ten jest prawdziwy, gdy praca wykonywana jest w tym samym tempie (nie zmienia się w czasie). W przeciwnym wypadku powyższy wzór będzie określał moc średnią. Aby obliczyć moc chwilową należy skorzystać z innego wzoru:

Moc może być również definiowana jako prędkość emisji energii (na przykład dla źródła światła, anteny, głośnika). Wzór na moc (przy stałym tempie emisji) przybiera wówczas postać:

gdzie E jest energią emitowaną w czasie t.

Częstotliwość określa liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu. W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). Częstotliwość 1 herca odpowiada występowaniu jednego zdarzenia (cyklu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość w ruchu obrotowym, częstotliwość drgań, napięcia, fali.

W fizyce częstotliwość oznacza się literą f lub grecką literą ν. Z definicji wynika wzór:

gdzie

f - częstotliwość,

n - liczba drgań,

t - czas, w którym te drgania zostały wykonane.

Z innymi wielkościami wiążą ją następujące zależności:

,

gdzie:

T- okres,

,

gdzie: ω - pulsacja (częstość kołowa). Odpowiada ona prędkości kątowej w ruchu po okręgu

Pulsacja (częstość kołowa) - wielkość określająca, jak szybko powtarza się zjawisko okresowe. Pulsacja jest powiązana z częstotliwością (f) i okresem (T) poprzez następującą zależność:

gdzie

• θ jest fazą ruchu drgającego (odpowiednik kąta w ruchu po okręgu);

• 2π - kąt pełny (2π radiana = 360 stopni).

Pulsacja jest stosowana najczęściej w technice do określania przebiegów sinusoidalnych i prędkości obrotowych. Zaletą używania pulsacji zamiast częstotliwości jest uproszczenie zapisu poprzez ukrycie symbolu π. Np. we wzorze na przyspieszenie w drganiu harmonicznym zamiast

można zapisać:

.

W przypadku ruchu po okręgu, pulsacji odpowiada prędkość kątowa

Podstawy teoretyczne transmisji danych obejmują definicję informacji, sposoby jej przetwarzania, kodowania, teorie propagacji sygnałów poprzez medium fizyczne. System telekomunikacyjny składa się z nadajnika, medium (połączenia), czasem podzielonego na kanały, oraz odbiornika. Nadajnik to urządzenie zamieniające lub kodujące wiadomość do postaci fizycznego sygnału .Medium, ze względu na swoją fizyczną naturę, może modyfikować sygnał lub pogarszać jego jakość. We współczesnej telekomunikacji jako medium transmisyjne najczęściej wykorzystywane są kanały radiowe naziemne i satelitarne, łącza światłowodowe i w coraz mniejszym stopniu linie miedziane. Odbiornik jest wyposażony w mechanizm dekodowania, który w pewnym zakresie potrafi odtworzyć brakujące części sygnału. W niektórych przypadkach ostatecznymi "odbiornikami" są oczy i uszy (rzadko inne organy zmysłów) i odtwarzanie odbywa się w mózgu (psychoakustyka).

Szum kwantyzacji, zwany także błędem kwantyzacji jest zniekształceniem sygnału powstającym w procesie kwantyzacji.

Szum kwantyzacji powstaje w przetwornikach analogowo-cyfrowych oraz w przetwornikach CCD cyfrowych aparatów fotograficznych z powodu błędu zaokrąglenia. Podczas konwersji ciągłego sygnału analogowego na postać cyfrową, każda wartość jest zaokrąglana do najbliższej wartości dyskretnej. Powstający w ten sposób błąd określany jest mianem szumu kwantyzacji. Szum ten można zmniejszyć poprzez zwiększenie ilości bitów opisujących każdą próbkę. Zwiększenie liczby bitów o jeden powoduje zmniejszenie szumu kwantyzacji o 20 * log (2) = 6,02 dB.

Przetwornik jest to urządzenie dokonujące przekształcenia danej wielkości na inną wielkość według określonej zależności i z pewną dokładnością.Przetworniki są wykorzystywane na przykład w układach z czujnikami, dzięki czemu sygnał z czujnika, który zwykle jest słaby i trudny w przekazywaniu na odległość, zostaje przekształcony do postaci i wartości użytecznej dla dalszego przetwarzania. Najczęściej przetworniki realizują przekształcenie wielkości fizycznej na wielkości elektryczne takie jak napięcie elektryczne lub natężenie prądu.

Dyskretyzacja - przekształca rozkład zmiennej losowej z ciągłego na dyskretny.

Sygnał dyskretny - sygnał powstały poprzez próbkowanie sygnału ciągłego.W odróżnieniu od sygnału ciągłego, sygnał dyskretny nie jest funkcją ciągłą, lecz ciągiem. Każda wartość ciągu nazywa się próbką (ang. sample). Ponieważ sygnał dyskretny jest ciągiem próbek, częstotliwość próbkowania nie występuje w funkcji opisującej ciąg i musi być przechowywana oddzielnie. Ta niejednoznaczność jest podstawą twierdzenia Kotielnikowa-Shannona. W odróżnieniu od sygnału cyfrowego, charakteryzuje się precyzją nieskończoną.

Transformacja Fouriera jest transformacją całkową z dziedziny czasu w dziedzinę częstotliwości. Została nazwana na cześć Jean Baptiste Joseph Fouriera. Transformata jest wynikiem transformacji Fouriera (transformata jest funkcją, a transformacja operacją na funkcji, dającą w wyniku transformatę).

Transformata Fouriera opisana jest wzorem:

,

gdzie i - jednostka urojona (i² = − 1).

W praktyce, często zmienna x oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty ξ  częstotliwość (w Hz). Funkcja f może być zrekonstruowana z
poprzez transformację odwrotną:

.

Aliasing - nakładanie się widm sygnału cyfrowego okresowo zwielokrotnionych w dziedzinie częstotliwości podczas przetwarzania sygnałów. Aliasing objawia się nieprawidłowym odtworzeniem sygnału cyfrowego z sygnału analogowego, z błędem niemożliwym do usunięcia. Aby temu zapobiec na wejściu przetwornika analogowo-cyfrowego stosuje się filtry dolnoprzepustowe o odpowiednio dobranych parametrach.

Przyczyna aliasingu

Dokonując próbkowania sygnału z częstotliwością f_s, nie można odróżnić sygnału harmonicznego o dowolnej częstotliwości f₀ od przebiegu harmonicznego opisanego wzorem
. Dlatego w dziedzinie częstotliwości widmo sygnału zostaje zwielokrotnione co f_s w obie strony osi częstotliwości (możliwe teoretycznie są zatem częstotliwości ujemne).

Jeśli maksymalna częstotliwość sygnału próbkowanego (szerokość jego widma) przekracza połowę częstotliwości próbkowania f_s, to kolejne powtarzające się widma zaczynają się na siebie nakładać. Dlatego przetwarzając sygnał analogowy na cyfrowy, należy pamiętać o twierdzeniu Kotielnikowa-Shannona, czyli f_s musi być większa od częstotliwości Nyquista

Częstotliwość Nyquista jest to najmniejsza częstotliwość sygnału próbkującego, przy której możliwa jest zamiana sygnału analogowego w postać dyskretną bez straty informacji o nim. Oznacza to, że próbkując z częstotliwością Nyquista lub większą możemy odzyskać w całości i bez strat z powrotem sygnał pierwotny (analogowy).

Częstotliwość Nyquista wyrażona jest wzorem:

gdzie
jest szerokością widma Fouriera badanego sygnału (w radianach).

Inaczej mówiąc, częstotliwość Nyquista jest równa częstotliwości najwyższej składowej harmonicznej, którą chcemy odtworzyć bez błędów podczas odtwarzania sygnału z postaci dyskretnej (cyfrowej) do ciągłej (analogowej). Błąd w odtwarzaniu jednej z harmonicznych może wpływać na odtwarzanie innych harmonicznych. Dlatego na wejściu układu próbkującego stosuje się filtr dolnoprzepustowy celem ograniczenia zakresu częstotliwości sygnału a przez to ustalenia realizowalnej praktycznie częstotliwości próbkowania.

Filtr dolnoprzepustowy - układ elektroniczny, optyczny, akustyczny lub inny element przetwarzający sygnał (np. odpowiedni algorytm) przepuszczający częstotliwości sygnału poniżej ustalonej częstotliwości granicznej, tłumi składowe widma leżące w górnej jego części. Układ elektroniczny zbudowany jest zazwyczaj z cewki lub opornika i kondensatora. Ma jedno pasmo przepustowe i jedno tłumiące. Filtr dolnoprzepustowy jest układem całkującym stratnym. Wielkością charakteryzującą taki układ jest transmitancja, określana jako stosunek napięcia wyjściowego do wejściowego. Często zapisuje się ją w postaci operatorowej. G(s)=K/(Ts+1), gdzie T - stała czasowa, T=R*C, s - operator Laplace'a, s = j2*pi*f.

---