4. Zależności podstawowe

Sieć elektroenergetyczną można przedstawić w postaci grafu, w którym wyróżnia się węzły oraz gałęzie (rys. 13). Węzłem grafu sieci może być dowolny wyróżniony punkt w sieci. Najczęściej są to szyny w stacjach elektroenergetycznych, punkty rozgałęzień sieci, punkty do których przyłączone są poszczególne gałęzie schematu zastępczego transformatorów trójuzwojeniowych lub dwuuzwojeniowych reprezentowanych za pomocą czwórników typu T, czasem zaciski łączników służących do dokonywania podziału (rozcięć) sieci. Gałęziami grafu sieci są natomiast elementy sieci łączące dwa sąsiednie węzły. Są to najczęściej linie oraz transformatory, czasem mogą to być łączniki.

Rys. 13. Sieć elektroenergetyczna jako graf [6].

W sieci wyróżnia się węzły zasilające tj. węzły, do których dopływa moc oraz węzły odbiorcze, czyli takie, z których moc jest pobierana.

Sieć elektroenergetyczna jest jednoznacznie opisana, jeśli znane są moduły (wartości skuteczne) i kąty (fazy) napięć we wszystkich węzłach (w przypadku sieci prądu stałego moduł napięcia jest równy jego wartości skutecznej oraz nie występuje pojęcie fazy napięcia). Znając parametry schematu zastępczego gałęzi sieci można na podstawie napięć wyznaczyć wszystkie prądy i moce płynące w gałęziach sieci.

Zgodnie z prawem Ohma prąd płynący w gałęzi łączącej węzły 1 z węzłem 2 (rys. 14) jest
równy:

, [A]

Rys. 14. Zależność miedzy napięciami w węzłach a prądem

W przypadku prądu stałego zamiast impedancji
podstawia się rezystancję R₁₂ gałęzi łączącej węzły oraz wartości napięć U₁ i U₂ z uwzględnieniem ich znaku (biegunowości), należy przy tym pamiętać o uwzględnieniu rezystancji przewodu powrotnego. Natomiast w przypadku prądu przemiennego, wszystkie występujące w powyższym wzorze wielkości są wielkościami zespolonymi.

Składowa czynna i bierna wielkości zespolonej

W przypadku prądu przemiennego, zarówno napięcie jak i prąd mogą mieć składową czynną oraz bierną (rys. 15):

gdzie

U, I - odpowiednio moduł wartości skutecznej napięcia i prądu,

_u, _i - odpowiednio argument napięcia i prądu:

Rys. 15. Wykresy wektorowe napięcia i prądu

Składowa bierna jest dodatnia jeśli na płaszczyźnie zmiennej zespolonej wyprzedza składową czynną, przy czym dodatni kierunek obrotu jest przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Między modułami napięcia U i I prądu, a składowymi czynnymi U_cz i I_cz oraz biernymi U_b i I_b zachodzą zależności:

moduł napięcia
,

oraz moduł prądu

W obliczeniach symetrycznych sieci (obwodów) trójfazowych, tj. sieci (obwodów) o symetrycznych parametrach elementów i symetrycznych obciążeniach węzłów, często wykorzystuje się jednofazową reprezentację elementów sieci trójfazowej. W przypadku analizy obwodów jednofazowych należy pamiętać o uwzględnieniu impedancji przewodu powrotnego. W obliczeniach operuje się ponadto pojęciami mocy, strat napięcia i spadków napięcia oraz strat mocy.

Moc prądu stałego

W sieci prądu stałego moc jest równa iloczynowi napięcia U oraz prądu I:

, (44)

Jeśli napięcie U podstawimy w woltach [V], a prąd I w amperach [A] to moc będzie wyrażona w watach [W].

Moc prądu przemiennego

W przypadku prądu przemiennego wyróżnia się moc pozorną S, czynną P oraz bierną Q, przy czym moc pozorna może mieć charakter indukcyjny lub pojemnościowy. Przyjmuje się, że pobierana moc indukcyjna Q_ind jest dodatnia (ma znak „+”) a pojemnościowa Q_poj jest ujemna (ma znak „ -”).

Jednostką podstawową mocy pozornej jest VA (volt-amper), a jednostkami pochodnymi kVA (kilo-volt-amper) oraz MVA (mega-volt-amper), przy czym:
1MVA = 1000 kVA = 1000 000 VA.

Jednostką mocy czynnej jest W (wat) a jednostkami pochodnymi kW i MW (odpowiednio kilowat i megawat), przy czym: 1MW = 1000 kW = 1000 000 W.

Jednostką podstawową mocy biernej jest var (volt-amper-reaktywny), a jednostkami pochodnymi kvar (kilo-volt-amper-reaktywny) oraz Mvar (mega-volt-amper-reaktywny), przy czym: 1Mvar = 1000 kvar = 1000 000 var.

Moc pozorna zespolona jest zdefiniowana jako iloczyn zespolonej wartości napięcia
przez wartość zespoloną sprzężoną prądu
:

Uwaga! moduł wartości zespolonej sprzężonej pozostaje bez zmian natomiast argument (kąt) zmienia znak na przeciwny.

Wstawiając do wzoru (40) zależności (39) otrzymamy:

przy czym U i I są odpowiednio modułami wartości skutecznej napięcia i prądu, a kąt  jest kątem między wektorem napięcia a wektorem prądu.

W obliczeniach częściej operuję się pojęciem modułu mocy pozornej
, pomijając przy tym symbol modułu
oraz oznaczając moduł mocy pozornej przez S. Między modułem mocy pozornej, a mocami czynną i bierną zachodzi zależność:

stąd moduł mocy pozornej jest równy:

Jeśli do wzoru (41) podstawimy napięcie fazowe
oraz prąd fazowy
,to otrzymamy moc jednej fazy. W przypadku analizy obwodu trójfazowego moc pozorna jest równa:

przy czym dla odbiorników połączonych w gwiazdę mamy:
oraz
, wówczas:

,

natomiast dla odbiorników połączonych w trójkąt mamy:
oraz
, wtedy:

Strata napięcia i spadek napięcia

Zgodnie z prawem Ohma prąd płynący w przez element obwodu (łuk) powoduje powstanie na tym elemencie straty napięcia.

Strata napięcia jest to różnica geometryczna napięć na początku i na końcu elementu obwodu (łuku). Dla elementu z rys. 15 strata napięcia będzie równa:

Znając wartość prądu płynącego przez element (łuk) obwodu oraz uwzględniając, że
, i
stratę napięcia można obliczyć
z zależności:

W zależności (47) można wyróżnić składową czynną (podłużną) oraz składową bierną (poprzeczną) straty napięcia.

W przypadku gdy łuk odwzorowuje element trójfazowy stratę napięcia oblicza się z zależności:

,

a w przypadku linii jednofazowej o jednakowym przekroju przewodu fazowego i zerowego,
z zależności:

W przypadku gdy zamiast prądu dysponujemy wartością mocy czynnej P i biernej Q, prąd płynący w jednym przewodzie obwodu trójfazowego wyznaczamy korzystając z zależności:

.

przy czym U_n jest miedzy-przewodowym napięciem znamionowym lub między-przewodowym napięciem odniesienia (napięciem dla którego wykonujemy obliczenia w sieci o kilku napięciach).

Czasem zamiast mocy czynnej i biernej mamy podaną wartość modułu mocy pozornej S oraz współczynnik mocy cos oraz charakter obciążenia (indukcyjnym znak mocy „+” lub pojemnościowy znak mocy „”) wówczas prąd wyznaczamy z zależności:

.

W zależności (51) składowa bierna prądu ma znak minus gdy charakter obciążenia jest indukcyjny, a znak plus gdy obciążenie ma charakter pojemnościowy. Zamiast liczyć wartość sin na podstawie funkcji odwrotnej (arccos), łatwiej jest skorzystać z zależności:

Najczęściej jednak mamy podaną wartość mocy czynnej P, współczynnik mocy cos oraz charakter obciążenia, wówczas prąd wyznaczamy z zależności:

.

W powyższej zależności obowiązują analogiczne zasady przyjmowania znaku składowej biernej prądu jak w zależności (51)

Uwzględniając wzór (50) w zależności (48) otrzymamy:

Na rys. 16 pokazano wykres wektorowy straty napięcia na elemencie składającym się
z połączonych szeregowo rezystancji R i reaktancji X, przy przepływie prądu o charakterze indukcyjnym, czynnym i pojemnościowym.

Rys. 16. Graficzna ilustracja straty i spadku napięcia [6]: a) łuk składający się z rezystancji R
i reaktancji X; b) wykres wektorowy jeśli przez łuk płynie prąd o charakterze indukcyjnym; c) gdy prąd płynący przez łuk ma charakter czynny; d) gdy charakter prądu jest pojemnościowy.

Spadek napięcia jest to algebraiczna różnica modułów wektorów napięć
w węzłach na początku i końcu łuku.

Wektor napięcia na początku łuku (w węźle 1) jest równy:

Przyjmując, że napięcie na końcu łuku (w węźle 2) ma tylko składową rzeczywistą (czynną) tzn. jest równe modułowi napięcia, oraz uwzględniając, że spadek napięcia ma składową rzeczywistą (podłużną) oraz urojoną (poprzeczną) otrzymamy:

Moduł napięcia na początku łuku (w węźle 1) będzie równy:

Uwzględniając zależność (55) we wzorze (53) otrzymamy:

Posługiwanie się w praktyce powyższą zależnością jest niewygodne i składowa poprzeczna straty napięcia jest najczęściej pomijana (
). Wówczas spadek napięcia będzie w przybliżeniu równy składowej podłużnej straty napięcia:

W obliczeniach praktycznych najczęściej posługujemy się względną lub procentową wartością spadku napięcia tj. spadkiem napięcia odniesionym do wartości znamionowej napięcia lub wyrażonym w procentach znamionowej wartości napięcia:

lub

W przypadku analizy obwodu jednofazowego należy do wzorów (58) lub (59) wstawić znamionowe napięcie fazowe oraz uwzględnić rezystancję i reaktancję przewodu powrotnego.

Prąd płynący przez rezystancję (lub konduktancję) powoduje jej nagrzewanie (ciepło Joule'a), a więc straty energii. Moc czynna tracona na nagrzewanie przewodów jest proporcjonalna do wartości rezystancji i do kwadratu prądu płynącego w przewodach:

W przypadku obwodu jednofazowego należy w powyższym wzorze uwzględnić rezystancję przewodu powrotnego.

W obciążonym symetrycznie obwodzie trójfazowym strata mocy czynnej jest natomiast równa:

W obliczeniach często posługujemy się wartością mocy pozornej lub mocy czynnej i współczynnikiem mocy oraz napięciem znamionowym międzyprzewodowym. W takim przypadku straty mocy czynnej oblicza się z zależności:

Prąd płynący przez reaktancje łuku powoduje powstawanie strat mocy biernej, które są proporcjonalne do wartości reaktancji oraz do kwadratu prądu:

W przypadku obwodu jednofazowego należy w powyższym wzorze uwzględnić reaktancję przewodu powrotnego.

Wstawiając do zależności (62) reaktancję X zamiast rezystancji R otrzymamy zależności na straty mocy biernej w symetrycznie obciążonym obwodzie trójfazowym:

Powyższe zależności pozwalają obliczyć obciążeniowe straty mocy czynnej i biernej
w dowolnym łuku sieci. Jednak najczęściej są one wykorzystywane w obliczeniach strat mocy
w liniach oraz w transformatorach trójuzwojeniowych. Do obliczania obciążeniowych strat
w transformatorach dwuuzwojeniowych wygodniej jest obliczać straty obciążeniowe w oparciu o znamionowe straty obciążeniowe (znamionowe straty w miedzi) i stosunek obciążenia do mocy znamionowej. Korzysta się wtedy z zależności:

natomiast obciążeniowe straty mocy biernej w oparciu o reaktancję transformatora:

lub, uwzględniając zależność (29), na podstawie napięcia zwarcia:

5. Obliczenia spadków napięcia i strat mocy w sieciach otwartych

Podane wyżej zależności pozwalają na obliczanie spadków napięcia i strat mocy w pojedynczych łukach (elementach) sieci. W przypadku obliczeń w sieciach obciążonych lub zasilanych w kilku punktach, przed obliczeniem spadków napięcia i strat mocy konieczne jest wcześniejsze obliczenie prądów (mocy) płynących w poszczególnych łukach sieci.

Jednostronnie zasilany tor prosty obciążony w wielu punktach

Rys. 17. Tor prosty zasilany jednostronnie i odpowiadający mu poglądowy wykres zmian spadku napięcia w poszczególnych węzłach.

Pokazany na powyższym rysunku tor prosty może reprezentować np.: jeden z obwodów sieci nN, półpętlę miejskiej sieci nN, lub ŚN. Dla obliczenia strat i spadków napięcia w poszczególnych węzłach (punktach do których przyłączone są odbiory) oraz strat mocy w poszczególnych odcinkach sieci należy najpierw obliczyć prądy płynące w poszczególnych odcinkach (łukach) toru. W przypadku gdy podane są prądy pobierane w poszczególnych węzłach, dla określenia prądu płynącego w odcinku (łuku) zasilającym dany węzeł, wystarczy obliczyć sumę prądów pobieranych we wszystkich węzłach zasilanych z danego odcinka (łuku) sieci. Przy oznaczeniach jak na rys. 17, prąd płynący w łuku L_k zasilającym węzeł w_k oblicza się z zależności:

Zgodnie z powyższym prąd płynący w łuku zasilającym węzeł w₁ będzie równy:

,

natomiast prąd płynący w łuku zasilającym węzeł ostatni jest równy prądowi pobieranemu z tego węzła, tj.:
.

Straty i spadki napięcia oraz straty mocy oblicza się po wyznaczeniu prądów płynących
w poszczególnych łukach sieci zgodnie z zasadami w punkcie 1.4, przy czym straty (spadki) napięcia do dowolnego węzła sieci są odpowiednio sumą strat (spadków) napięcia w łukach łączących ten węzeł z węzłem zasilającym. Dla przykładu straty i spadki napięcia do węzła w_k będą równe:

W przypadku gdy obliczenia wykonujemy dla sieci trójfazowej po uwzględnieniu zależności (47) otrzymamy:

Jeśli ponadto założymy, że przekrój przewodów we wszystkich odcinkach toru oraz ich wzajemne rozmieszczenie są takie same, to możemy wprowadzić dalsze uproszczenie:

gdzie

- zespolona impedancja jednostkowa toru,

- długość i-go łuku toru.

Gdy obliczenia wykonywane są dla toru jednofazowego o takim samym przekroju przewodu powrotnego wówczas w miejsce
wstawiamy 2.

Maksymalny spadek napięcia w torze prostym wystąpi w węźle ostatnim. Orientacyjny wykres spadku napięcia w torze prostym pokazano na rys. 17.

Łączne straty mocy czynnej (biernej) w torze otwartym są odpowiednio sumą strat mocy czynnej (biernej) we wszystkich łukach danego toru. Straty mocy czynnej i biernej w poszczególnych łukach obliczamy korzystając z zależności (62) i (63).

Gdy obliczenia są wykonywane dla sieci prądu przemiennego należy uwzględnić fakt, że prądy są wielkościami zespolonymi. W przypadku, gdy zamiast prądów podane są moce odbierane w poszczególnych węzłach sieci można korzystać z zależności pozwalających obliczać straty i spadki napięcia oraz straty mocy w oparciu o moce płynące w łukach sieci, należy jednak pamiętać, że tak wykonane obliczenia są poprawne przy za łożeniu, iż moce czynna i bierna odbiorów nie zależą od napięcia, co nie zawsze jest prawdą.

Jednostronnie zasilany tor rozgałęziony

Rys. 18. Jednostronnie zasilany tor rozgałęziony

W przypadku jednostronnie zasilanego toru rozgałęzionego prądy płynące w poszczególnych łukach sieci obliczamy analogicznie jak w przypadku jednostronnie zasilanego toru obciążonego w wielu punktach. Np. w sieci pokazanej na rys. 18 prąd płynący w luku L₂ będzie równy:

Stratę (lub spadek) napięcia do danego węzła obliczamy sumując straty (lub spadki) napięcia we wszystkich łukach stanowiących drogę przepływu prądu od węzła zasilającego do tego węzła. Dla przykładu w sieci z rys. 18 spadek napięcia do węzła w₃ będzie równy:

,

a spadek napięcia do węzła w₅ będzie równy:

Maksymalny spadek napięcia w sieci rozgałęzionej może wystąpić w jednym z końcowych węzłów danego odgałęzienia i dlatego dla jego wyznaczenia konieczne jest obliczenie spadków napięcia do wszystkich węzłów końcowych poszczególnych odgałęzień, gdyż najczęściej nie można z góry określić, w którym z tych węzłów wystąpi maksymalny spadek napięcia. W sieci
z rys. 18 maksymalny spadek napięcia może wystąpić w węźle w₄ lub w węźle w_n.

Straty i spadki napięcia w poszczególnych odcinkach (łukach) oblicza się analogicznie jak w przypadku toru prostego.

Straty mocy w sieci rozgałęzionej są sumą strat mocy w poszczególnych odcinakach sieci.

6. 
   Spadki napięć i straty mocy w dwustronnie zasilanym torze prostym obciążony w wielu punktach

Rys. 19. Zasilany dwustronnie tor prosty obciążony w wielu punktach

W przypadku dwustronnego zasilania toru nie można z góry określić jaki prąd popłynie z poszczególnych punktów zasilających. W wielu przypadkach napięcia zasilania w obu punktach mogą być różne, co powoduje, że w torze popłynie prąd wyrównawczy. Wartość prądu wyrównawczego można obliczyć na podstawie różnicy napięć w węzłach zasilających oraz sumy impedancji odcinków (łuków) łączących te węzły:

Prądy płynące z poszczególnych węzłów zasilających obliczamy korzystając z zależności:

gdzie

- impedancja toru (suma impedancji poszczególnych odcinków łączących wezeły zasilające p₁ i p₂,

- impedncja między węzłem zasilającym p₁, a węzłem w_i,

- impedncja między węzłem zasilającym p₂, a węzłem w_i,

- odpowiednio napięcia w węzłach zasilających p₁ i p₂.

Zależności (73) oraz (74) można również przedstawić w postaci odpowiedniej dla mocy,
a w przypadku gdy tor jest jednorodny można operować długościami zamiast impedancji. Odpowiednie zależności przyjmą postać:

oraz

a dla toru jednorodnego

Po wyznaczeniu prądów (mocy) płynących z poszczególnych punktów zasilających można obliczyć prądy (moce) płynące w poszczególnych odcinkach toru, przy czym prąd (moc) płynący w łuku L₁ będzie równy prądowi (mocy) płynącemu z węzła zasilającego p₁, a prąd (moc) płynący w łuku L_n+1 prądowi (mocy) płynącemu z węzła zasilającego p₂. Prąd (moc) płynący łuku następnym oblicza się korzystając z I prawa Kirchhoffa jako różnicę prądu (mocy) w łuku poprzednim (zasilającym węzeł poprzedni) a prądem (mocą) pobieranym w tym węźle, np. prąd
w łuku L₂ będzie równy:

.

Postępując podobnie obliczamy prądy w kolejnych odcinkach, oraz określamy punkt spływu prądów. Po obliczeniu prądów (mocy) płynących w poszczególnych łukach można obliczać spadki napięć oraz straty mocy. Największy spadek napięcia wystąpi w punkcie spływu prądów (mocy). W obliczeniach tych trzeba pamiętać, że wszystkie wielkości są zespolone.

Literatura

1. Bernas S.: Systemy elektroenergetyczne. WNT, Warszawa 1986.

2. Cegielski M.: Sieci i systemy elektroenergetyczne. PWN, Warszawa 1979.

3. Kinsner K., Serwin A., Sobierajski M., Wilczyński A.: Sieci elektroenergetyczne. Wyd. Pol. Wrocławskiej, Wrocław 1993.

4. Kremens Z., Sobierajski M.: Analiza systemów elektroenergetycznych. WNT, Warszawa 1996.

5. Kujszczyk Sz., Brociek S., Flisowski Z. Gryko J., Nazarko J., Zdun Z.: Elektroenergetyczne układy przesyłowe. WNT, Warszawa, 1997.

6. Kujszczyk Sz. pod red. Elektroenergetyczne sieci rozdzielcze. tom I i II, WNT, Warszawa 1991.

7. Popczyk J.: Elektroenergetyczne układy przesyłowe. Pol. Śląska, skrypt nr 1196, Gliwice 1984.

8. Strojny J., Strzałka J.: Zbiór zadań z sieci elektrycznych. Cz. I, AGH, skrypt nr 999, Kraków 1986 (lub nowszy).

9. Strojny J., Strzałka J.: Zbiór zadań z sieci elektrycznych. Cz. II, AGH, skrypt nr 1019, Kraków 1986 (lub nowszy).

10. Poradnik inżyniera elektryka tom 3. WNT, Warszawa 1997

SIECI ELEKTROENERGETYCZNE

4

Przygotował: W. Szpyra, Zakład Elektroenergetyki AGH, tel.: [phone], e-mail: [e-mail]

L_n+1

L_n

L_k

L₁

L₂

w_n

p₁

w₂

w_k

p₂

w₁

U

Z

I₂

Y₂

I₁

Y₁

U₂

U₁

L_m

L_k

L₁

L₂

L_n

w₃

w₄

w₅

w_m

w_p

w₂

w_k

w_n

w₁

w_m

w_p

w₂

w_k

w_n

w₁

I_b



_u

_i

U_b

U_cz

I_cz

2

1

---