4. Składania drgan prosropadlych

Ruch jednostajny punktu M po okręgu jako ruch płaski odbywający się w płasz­czyźnie (x,y) (rys. 10.15) opisywaliśmy równaniamix =rcosfi, y = rsinfigdzie r oznacza promień koła i jest jednocześnie maksymalnym wychyleniem od po­łożenia zerowego w ruchach wzdłuż osi * i osi y, a więc można go oznaczyć literą A i traktować jako amplitudę obu ruchów, a — kąt zakreślany przez promień wodzący, będący liniową funkcją czasu. Można go zatem przedstawić jako a = cot. Po wprowadzeniu tych nowych oznaczeń otrzymujemx = Acoscot = ^4sin(wf+7t/2),

y = A%inwt.Ale wiemy już, że takie równania opisują ruch harmoniczny. Mamy więc do czynienia z dwoma ruchami harmonicznymi o jednakowej amplitudzie i pulsacji, różniącymi się w fazie o tc/2, odbywającymi się w kierunkach wzajemnie prostopadłych, po dwóch wzajemnie prostopadłych średnicach. Każdy z tych ruchów harmonicznych jest ruchem rzutu punktu M na odpowiednią średnicę. Na rys. 10.16 zaznaczone są położenia takiego rzutu na osi * co -g- T. Różnica faz wynosząca rc/2 wiąże się z tym, że gdy w jed­nym ruchu harmonicznym punkt drgający osiąga maksymalne wychylenie od poło­żenia równowagi, to w drugim w tej samej chwili mija on położenie równowagi. W wy­niku składania opisanych dwóch ruchów harmonicznych otrzymujemy ruch jednostaj­ny po kole (przestrzegamy jednak przed popełnianiem dość powszechnego u studentów błędu polegającego na utożsamianiu ruchu jednostajnego po kole z ruchem harmo­nicznym).

przejdziemy do bardziej systematycznego zestawienia wyników składania dwóch wzajemnie pro­stopadłych ruchów harmonicznych (np. wzdłuż osi współrzędnych x i y) przy różnych warunkach narzuconych okresom, amplitudom i fazom obu ruchów przypadki oznaczone jedynką i kolejną literą alfabetu dotyczą składania ruchów harmonicznych o jednakowych okresach T_x = T_y = T (a zatem i jednakowych pulsacjach co_x = co_y = co).1 a. Amplitudy jednakowe A_x = A_y = A; różnica faz A = 0.W obu rozważanych ruchach harmonicznych punkty drgające równocześnie prze­chodzą przez położenia równowagi, równocześnie osiągają maksymalne wychylenia dodatnie itd. 1b.Amplitudy niejednakowe A_x # A_y\ różnica faz A = 0.Drganie wypadkowe, podobnie jak poprzednio, jest ruchem harmonicznym o am­plitudzie A_w = /Axkw+Aykw pierw, odbywającym się wzdłuż linii prostej nachylonej względem osi * pod kątem a takim, że tg a = A_y\A_x (rys. 10.18 dla A_y — 2A_X)1 c. Amplitudy jednakowe A_x = A_y = A; różnica faz A = n/2.

Jest to rozpatrywany przez nas na początku tego paragrafu przypadek drgania wypadkowego w postaci ruchu jednostajnego po okręgu (rys. 10.16). Równania drgań składowych podane jako równanie (10.29).

1 d. Amplitudy różne A_x & A_y\ różnica faz A = tc/2.Ruch wypadkowy po elipsie (rys. 10.20), której osie symetrii skierowane są wzdłuż osi * i y.

1 e. Amplitudy dowolne; różnica faz dowolna z wykluczeniem wartości 0, pi/2 . 3pi/2. 2 pi

Ruch wypadkowy po elipsie, której osie symetrii nie są skierowane wzdłuż osi * i y (rys. 10.21 dla A_x — A, i A = tc/4). W zależności od wartości amplitud i różnicy faz elipsa zmienia swój kształt i położenie.Przypadek 1 e jest oczywiście najogólniejszym przypadkiem składania drgań wza­jemnie prostopadłych o jednakowych okresach. Można bowiem uwbżać, że otrzymy­wane w pozostałych przypadkach okrąg lub odcinki Unii prostych są szczególnymi po­staciami elips. Warto podkreślić, że we wszystkich rozważanych przypadkach okres drgania wypadkowego równa się okresowi drgań składowych 2. Ten punkt dotyczy przypadku, gdy okresy drgań składowych T_x i T_y są niejed­nakowe. Tym razem ruchy wypadkowe odbywają się na ogół po skomplikowanych torach krzywoliniowych, których przykłady podane są na rys. 10.22. Obok rysunku podane są warunki, jakim odpowiadają drgania składowe, a mianowicie różnica faz A i stosunek pulsacji.Tory zakreślane przez punkty materialne odbywające dwa ruchy harmoniczne wzajemnie prostopadłe noszą nazwę krzywych (figur) Lissajous. Przykłady tych krzy­wych podane są na rys. 10.17-10.22.Umiejętność składania ruchów harmonicznych wzajemnie prostopadłych jest bar*
dzo przydatna przy badaniu światła spolaryzowanego (§ 26.1). Na niej też opierają się .
badania oscylograficzne, np. obwodów prądu zmiennego. Obrazy oscylograficzne
powstają dzięki odchylaniu elektronów przez dwa wzajemnie prostopadłe zmienne pola
elektryczne. Jeśli natężenia pól zmieniają się sinusoidalnie z biegiem czasu, mają te
same pulsacje, lecz dowolne amplitudy i fazy, to obrazy wytwarzane przez elektrony
na fluoryzującym ekranie oscyloskopu mają kształt elips, przechodzących w szczegól­
nych przypadkach w okręgi lub odcinki linii prostych. Jeśli natomiast pulsacje obu
pól są niejednakowe, to powstające obrazy oscyloskopowe mają kształt bardziej skom­
plikowanych krzywych Lissajous, zależnie od stosunku pulsacji i istniejącej różnicy
faz natężeń obu pół.

.

---