WYDZIAŁ MECHATRONIKI

• INSTYTUT METROLOGII I INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ

Studia II stopnia - magisterskie:

Nazwa przedmiotu:

Teoria i praktyka eksperymentu

Materiały dydaktyczne

do ćwiczeń laboratoryjnych

Opracował: prof. dr hab. inż. Marek Dobosz

• Warszawa, 2009

SPIS TREŚCI
Lp.		Strona
1.	Ćwiczenie 1-2: Wykorzystanie aplikacji komputerowych do obliczeń statystycznych. Podstawowe pojęcia statystyczne. Przedziały ufności.	3
2.	Ćwiczenie 3-4: Ćwiczenia w doborze i przeprowadzaniu testów statystycznych.	7
3.	Ćwiczenie 5-6: Analiza wariancji.	14
4.	Ćwiczenie 6-7: Analiza korelacji i regresji wielokrotnej.	21
5.	Ćwiczenie 8: Wstęp do planowania doświadczeń.	28
6.	Rozwiązania wybranych zadań	29
7.	Zbiór pytań przygotowawczych do kolokwium.	58
8.	Zbiór pytań testowych:	60
9.	Zbiór pytań testowych:	66

Ćwiczenia 1-2.

Wykorzystanie aplikacji komputerowych do obliczeń statystycznych. Podstawowe pojęcia statystyczne. Przedziały ufności.

Cel.

1. Zapoznanie się z obsługą programu „Statgraphics” stanowiącego narzędzie do obliczeń statystycznych, które będzie używane w trakcie ćwiczeń.

2. Zapoznanie się ze sposobami korzystania z podstawowych parametrów i funkcji statystycznych.

Przebieg ćwiczenia.

Omówienie i przetestowanie następujących zagadnień:

• Sposoby wywoływania aplikacji

• Nawigacja po programie

• Zbiory danych i ich obsługa. Przegląd formatów zmiennych i ich edycja. Przenoszenie danych z innych programów i formatów np.: Excel, Word, Notatnik, Statistica itd.

Zadania praktyczne do wykonania: wybierz dowolną wartość z tablicy przykładowego rozkładu prawdopodobieństwa (Normalny, Fishera, Chi-kwadrat, t-studenta). Stosując procedury komputerowe sprawdź jaj dokładność.

• Sprawdź wartość α używając procedury: Distribution Function → Tail area probabilities

• Sprawdź wartość krytyczną używając procedury: Distribution Function → Critical values.

Ćwiczenia w posługiwaniu się aplikacją „statgraphics” do obliczeń podstawowych parametrów próbki oraz przedziałów ufności.

Przeprowadź analizę statystyczną pojedynczej próbki: Estimation and Testing → One sample analysis. Wykorzystaj wektor „mpg” w zbiorze „cardata”.

Tabular options → Summary statistics

Analysis options → wybierz zestaw parametrów

• Porównaj rzeczywisty i intuicyjny wpływ poziomu ufności na szerokość przedziału ufności.

• Wyznacz przedział ufności dla wariancji.

• Wyznaczyć szereg rozdzielczy

Descriptive Method → Frequency tabulation

• Wyznaczyć dystrybuantę empiryczną

Descriptive Method → Plot cumulative frequency

Ćwiczenia w posługiwaniu się rozkładami prawdopodobieństwa

Wyznaczyć funkcję gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1 oraz jego dystrybuantę używając następującej procedury: Describe → Distributions → Probability distributions → Normal;

Analysis options → Mean = 0; St. dev. =1;

Graphical options → Density/mass function; CDF;

Zaobserwuj zmiany kształtu zadanego przez prowadzącego rozkładu prawdopodobieństwa przy zmianach parametrów tego rozkładu. W załączeniu tabela 4.2 podręcznika przedstawiająca zbiór rozkładów z ich najważniejszymi parametrami. (To ćwiczenie powinno być wykonywane na kolejnych zajęciach sukcesywnie, celem uniknięcia monotonii w wykonywanym zadaniu).

Zadania do rozwiązania:

Rozwiązać następujące przykłady z podręcznika: 3.1, 3.2, 3.3.

Zadanie 1.1.

Wiadomo, że rozkład prawdopodobieństwa rozrzutu wyników badań jest normalny z parametrami  i σ. W celu zmniejszenia błędu przypadkowego zdecydowano się wykonać po n powtórzeń każdego pomiaru i jako wynik przyjmować średnią arytmetyczną. Po ile powtórzeń należy wykonać by losowy błąd pomiaru zmniejszyć trzykrotnie ?

Zadanie 1.2.

Przyjmując, że losowe błędy pomiaru mają rozkład normalny z parametrami  i σ obliczyć prawdopodobieństwo, z jakim pojedynczy wynik pomiaru znajdzie się w przedziale  ±2σ 

Zadanie 1.3. (Na podstawie zbioru danych DASL)

Reference:Moore, David S., and George P. McCabe (1989). Introduction to the Practice of Statistics. Original source: Stigler, S.M., "Do robust estimators work with real data?" Annals of Statistics, 5 (1977), pp. 1055-1078.

Simon Newcom mierzył czas przelotu fali świetlnej wzdłuż odległości 7,4km. Wykorzystał te dane do pomiaru prędkości fali światła. Zbiór danych „Prędkość światła.sf3” zawiera wyniki pomiarów (66 obserwacji). Przeprowadzić analizę wyników. Ustalić przedział ufności dla prędkości fali światła na podstawie danych Newcom'a

Zadanie 1.4.

Testowana jest wytrzymałość prętów zbrojeniowych z określonej stali. Wykonano n=27 prób wyznaczania granicy plastyczności. Uzyskano następujące parametry próby: Średnia granica plastyczności X_sr=8490 funtów, oraz odchylenie standardowe σ=103 funty. Potwierdzono normalność rozkładu granicy plastyczności. Wyznaczyć przedział ufności dla granicy plastyczności badanej stali na poziomie ufności (oraz podać górną granicę błędu wyznaczenie średniej X_sr z 99% poziomem ufności).

Zadanie 1.5

Wymaganiem postawianym producentowi pewnego detalu jest by rzeczywisty wymiar nie różnił się od nominalnego o więcej niż δ z prawdopodobieństwem 0,95. Jaką liczebność próbki powinien przetestować odbiorca aby stwierdzić, że z podanym prawdopodobieństwem, żądanie to jest spełnione. Znany jest losowy rozrzut procesu technologicznego w postaci odchylenia standardowego s uzyskiwanych wymiarów. Rozrzut produkcji ma charakter normalny.

Ćwiczenia 3-4.

Ćwiczenia w doborze i przeprowadzaniu testów statystycznych.

Cel.

Zrozumienie istoty wykonywania testów statystycznych, udowodnienie konieczności wnioskowania statystycznego w celu prawidłowej z naukowego punktu widzenia oceny zjawisk i obiektów badanych. Wyrobienie praktyki i biegłości w wykonywaniu różnorodnych testów statystycznych przy użyciu aplikacji komputerowej.

Przebieg ćwiczenia.

Zadanie wstępne.

Wyznaczyć parametry statystyczne wektora „mpg” zbioru „cardata”. Przyjąć hipotezę zerową:

1. H₀₁: µ= 29

2. H₀₂: µ= 27

Które z poniżej wymienionych hipotez alternatywnych mają sens w obu przypadkach ?

1. H_A1: µ< 29

2. H_A2: µ> 27

3. H_A3: µ≠ 27

4. H_A4: µ≠ 29

Wyjaśnić graficznie co uzasadnia decyzję o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy H_0.

Testować hipotezę, że odchylenie standardowe wektora „accel” z tego samego zbioru „cardata” ma wartość
przy hipotezie alternatywnej
. Wskazać konieczną do zastosowania statystykę testową.

Rozwiązywanie z dyskusją załączonych poniżej zadań.

Zadanie 2.1.

Wyznaczyć obszary przyjmowania i odrzucania hipotezy dotyczącej średniej rozkładu normalnego w przypadku znanej wariancji tego rozkładu σ² = 9. Wykorzystując próbkę o liczebności n =10 ze średnią
. Testować hipotezę H₀: μ=μ₀=24 względem hipotezy alternatywnej :

1. H₁: μ > μ₀

2. H₁: μ < μ₀

3. H₁: μ ≠ μ₀

Wyznaczyć siłę testu przy α = 0,05.

Zadanie 2.2.

Przy kontroli produkcji kondensatorów wybrano próbkę 200 szt i poddano je ładowaniu przy napięciu przebicia przekraczającemu o 50% wartość nominalną. Przyjmuje się, że przy prawidłowo wykonanym elemencie prawdopodobieństwo uszkodzenia w takim teście wynosi 20%. Z pobranych kondensatorów uszkodzeniu uległo 48 sztuk. Czy produkowana seria jest prawidłowa pod względem odporności na przebicie ?

Wskazać konieczną do zastosowania statystykę testową.

Zadanie. 2.3

Za pomocą dwóch mikroskopów A, B dokonano pomiarów nierówności powierzchni jednego wzorca chropowatości uzyskując następujące rezultaty.

A	0,8	1,9	3,0	3,5	2,8	2,5	1,7	0,9	1,0	2,3	3,3	3,4
B	1,4	2,1	3,1	3,6	2,7	1,8	1,1	0,2	1,6	2,8	4,0	4,7

Przyjmując poziom istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę Η ₀, że rozkłady błędów obu mikroskopów mają jednakowe ciągłe dystrybuanty.

Wskazać konieczną do zastosowania statystykę testową.

Zadanie 2.4.

Jedna z tulei wchodzących w skład mechanizmu napędowego toczona jest z cylindrycznego odlewu. Średnica tulei oraz średnica odlewu są zmiennymi losowymi o łącznym rozkładzie normalnym. Pojawiła się wątpliwość że naddatki odlewu są zbyt małe by uzyskać prawidłową średnicę tulei. W celu znalezienia odpowiedzi na tę wątpliwość pobrano próbkę n = 27 sztuk i zmierzono wymiar odlewu a następnie wykonanej z niego tulei. Wyznaczono współczynnik korelacji równy 0,52 pomiędzy rezultatami pomiarów. Czy rzeczywiście średnica tulei ma związek ze średnicą odlewu.

Zadanie 2.5.

W produkcji jednego z elementów łożysk przyjmuje się, że prawd wystąpienia braku nie powinno przekroczyć 5%. Przy odbiorze partii sprawdzono 1000 elementów uzyskując 58 braków czy jest podstawa do odrzucenia partii przy 5% procentowym ryzyku wytwórcy przy ilu brakach partia zostanie odrzucona.

Zadanie 2.6.

Wymaganiem postawionym producentowi pewnego detalu jest by jego rzeczywisty wymiar nie różnił się od nominalnego o więcej niż δ. Jaką liczebność próbki powinien zbadać odbiorca aby stwierdzić, że z prawdopodobieństwem 1-α żądanie to jest spełnione. Badany wymiar podlega rozkładowi normalnemu. Przyjąć znaną wartość odchylenia standardowego σ. Zwiększając poziom ufności zwiększamy się czy zmniejszamy przedział ufności.

Zadanie 2.7. (Na podstawie zbioru danych DASL)

Reference: Bureau of Business and Economic Research, University of Montana, May 1992

W 1992 roku instytut “Montana Economic Outlook Poll” przeprowadził badania opinii publicznej na próbie 209 osób. Losowo wybranych respondentów stanu Montana pytano czy ich sytuacja finansowa pogorszyła się, pozostała taka sama czy uległa poprawie w stosunku do roku poprzedniego, oraz czy oceniają stan gospodarki jako lepszy lub nie w stosunku do ubiegłego roku. Respondenci zostali scharakteryzowani następującymi parametrami; wiek (poniżej 35, 35-54, 55 i więcej lat) , płeć, roczny dochód (< 20000$, 20000-35000$, oraz > 35000$), poglądy polityczne (demokrata, niezależny i republikanin), obszar zamieszkania (zachód, północny wschód oraz południe stanu). Wynikami sondażu są ostatecznie proporcje osób głosujących w poszczególnych klasach. Surowe wyniki zamieszczono w pliku „Montana.doc” oraz „Montana.sf3”

Nazwy zmiennych:

1. AGE = 1 poniżej 35, 2 35-54, 3 55 i więcej

2. SEX = 0 mężczyzna, 1 kobieta

3. INC = roczny przychód: 1 poniżej $20K, 2 20-35$K, 3 powyżej $35K

4. POL = 1 demokrata, 2 niezależny, 3 republikanin

5. AREA = 1 Zachód, 2 północny wschód, 3 południowy wschód stanu Montana

6. FIN = Status finansowy 1 gorszy, 2 taki sam, 3 lepszy niż rok temu

7. STAT = Ocena ekonomii stanu 1 lepsza, 2 nie lepsza niż rok temu

Zadanie 2.8

Z automatu tokarskiego pobrano próbkę wałków. Zmierzono wymiary wałków najpierw przyrządem nr 1, a następnie przyrządem nr 2. Czy wyniki pomiarów obu próbek różnią się istotnie? Przyjąć 10 % poziom istotności testu. Podać właściwą statystykę testową.

Wyniki przedstawia tabela.

Przyrząd 1	9,8	10,1	9,9	10,0	9,8	10,1	9,8	9,7
Przyrząd 2	9,9	10,2	10,0	10,3	9,8	10,1	9,9	9,8

Zadanie 2.9

Reference: Mackowiak P. A., Wasserman, S. S., Levine M. M. 1992. A critical appraisal of 98.6 degrees F, the upper limit of the normal body temperature, and other legacies of Carl Reinhold August Wunderlich. Journal of the American Medical Association. 268, 1578-1580.

P. A. Mackowiak, i inni w swoich badaniach starali się odpowiedzieć na pytania: Czy przeciętna temperatura człowieka wynosi 36,6^oC? Czy jest istotna różnica pomiędzy przeciętną temperaturą kobiet i mężczyzn? Czy rozkład temperatury jest normalny? Jaką temperaturę człowieka należy uznać za odbiegającą od normy? Na pytania te można odpowiedzieć na podstawie wyników badań próby 130 testowanych osób w zbiorze „Body temp.sf3”

Zadanie 2.10

Dwoma przyrządami zmierzono 5 detali i otrzymano następujące wyniki

Przyrząd 1 6 7 8 5 7

Przyrząd 2 7 6 8 7 8

Na poziomie istotności 0,05 ustalić czy wyniki pomiarów tymi przyrządami różnią się istotnie. Wskazać odpowiednią statystykę testową.

Zadanie 2.11.

Dwoma przyrządami zmierzono 10 razy ten sam detal uzyskując następujące wyniki:

s₁=0,07 s₂=0,1. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że wyniki uzyskane przyrządem nr 2 są istotnie mniejsze od rezultatów uzyskanych przyrządem nr 1. Wskazać odpowiednią statystykę testową.

Zadanie 2.12

Badano wpływ nowego leku na poprawę stanu zdrowia chorych na cukrzycę. W tym celu 320 wylosowanym chorym podano ten lek i u 240 chorych stwierdzono powrót poziomu cukru do normy. Natomiast w drugiej 200 osobowej grupie leczonej tradycyjnymi lekami stwierdzono powrót do normy u 115 pacjentów. Sprawdzić czy rzeczywiście nowy lek zwiększa prawdopodobieństwo wyleczenia w stosunku do wcześniej stosowanych leków.

Zadanie 2.13.

Reference: Moore, David S., and George P. McCabe (1989). Introduction to the Practice of Statistics. Original source: Lyle, Roseann M., et al., "Blood pressure and metabolic effects of calcium supplementation in normotensive white and black men," JAMA, 257(1987), pp. 1772-1776,

Zaobserwowano, że podawanie wapnia człowiekowi zmniejsza ciśnienie krwi (szczególnie u Amerykanów pochodzenia afrykańskiego [Lyle R. M. i inni 1987]). W celu weryfikacji tej hipotezy przeprowadzono eksperyment, w którym uczestniczyło 21 czarnoskórych mężczyzn. Przez 12 tygodni dziesięciu osobom podawano wapń, podczas gdy pozostałym jedenastu (grupa kontrolna) podawano placebo. Wszystkim osobom zmierzono ciśnienie przed i po tym 12-to tygodniowym okresie. Ustalić wnioski z przeprowadzonych badań. Wskazać statystykę testową. Dane zestawiono w zbiorze „Calcium.sf3”

Definicje zmiennych:

1. Treatment: Wskaźnik czy osoba otrzymywała wapń czy placebo ?

2. Begin: skurczowe ciśnienie tętnicze w pozycji siedzącej przed leczeniem

3. End: skurczowe ciśnienie tętnicze w pozycji siedzącej po leczeniu

4. Decrease: Spadek ciśnienia krwi (Begin - End)

Zadanie 2.14

Specyfikacja techniczna trakera laserowego podaje niepewność rozszerzoną pomiaru równą

mm. Dla sprawdzenia zgodności ze specyfikacją urządzenia przeprowadzono n=10 pomiarów tej samej odległości otrzymując następujące wyniki. Sprawdzić czy przy 98% poziomie ufności dokładność trakera jest zgodna z normą. Wskaż numer niezbędnej do użycia statystyki testowej.

Wyniki

0,012

-0,036

0,020

-0,011

-0,019

-0,002

-0,010

0,006

-0,022

-0,036

Zadanie 2.15.

Przedział ufności dla wartości oczekiwanej
wynosi
. Czy na tym samym poziomie ufności można przyjąć hipotezę H₀:
przy H_A:
? a) tak , b) nie. Odpowiedź uzasadnić (najlepiej graficznie).

Zadanie 2.16

Badano wpływ nowej technologii na poprawę jakości produkcji. W tym celu z nowej linii technologicznej wylosowano 320 elementów i u 10 stwierdzono wady. Ze starej linii technologicznej wylosowano 200 sztuk. W śród nich 175 było bez wad. Czy nowa technologia rzeczywiście poprawia jakość produkcji.

Ćwiczenia 5-6.

Analiza wariancji.

Cel.

Zrozumienie istoty Analizy wariancji. Uświadomienie konieczności wnioskowania statystycznego w celu prawidłowej z naukowego punktu widzenia oceny zjawisk i obiektów badanych. Wyrobienie praktyki i biegłości w wykonywaniu testów statystycznych związanych z analizą wariancji przy użyciu aplikacji komputerowej.

Przebieg ćwiczenia.

Ćwiczenia polegają na wykonywaniu załączonych zadań z pomocą prowadzącego.

Na wstępie wykonywane są następujące zadania z monografii: przykłady 8.2, 8.3, 8,4

Zadanie 3.1

W tablicy zestawiono wartości w mikrometrach skurczu odlewu zmierzonego w trzech osich (X,Y,Z) na tej samej odległości. Należy sprawdzić czy skurcz materiału odlewu jest jednorodny we wszystkich kierunkach.

Kierunek Wartości skurczu w m

-----------------------------------------------------

X 102  107 93 99

Y 105  104 92 102

Z 107 105 98 106

Zadanie 3.2 (Na podstawie zbioru danych DASL)

Reference: A.Y. Lewin and M.F. Shakun, Policy Sciences: Methodology and Cases, Pergammon Press, 1976, p 313.

Lewin i Shakun relacjonują badania wpływu wprowadzenia oktelwego filtru spalin w układzie wydechowym samochodu na niektóre jego parametry techniczne, w szczególności poziom hałasu wewnątrz pojazdu (zmienna zależna). Czynnikami kategoryzacyjnymi w przeprowadzonej analizie były: wielkość samochodu (mały, średni i duży), rodzaj tłumika (standardowy lub z filtrem oktelowym) oraz miejsce w samochodzie (prawa i lewa strona). Dla każdego układu poziomu czynników zrealizowano 3 powtórzenia badań otrzymując w sumie 36 obserwacji. Oba czynniki miały charakter stały. Potwierdzono spełnienie założeń niezbędnych do przeprowadzenia analizy wariancji. Wyniki badań załączono poniżej we fragmencie oraz w pliku „Oktylen.doc”

Nazwy zmiennych:

1. NOISE = poziom hałasu (w decybelach)

2. SIZE = Wielkość pojazdu: 1 mały 2 średni 3 duży

3. TYPE = 1 tłumik standardowy 2 tłumik z filtrem oktylenowym

4. SIDE = 1 prawa strona 2 lewa strona samochodu

Noise Size Type Side

810 1 1 1

820 1 1 1

820 1 1 1

840 2 1 1

840 2 1 1

… . . .

… . . .

Zadanie 3.3 (Na podstawie zbioru danych DASL)

Reference: Cameron, E. and Pauling, L. (1978) Supplemental ascorbate in the supportive treatment of cancer: re-evaluation of prolongation of survival times in terminal human cancer. Proceedings of the National Academy of Science USA, 75, 4538Đ4542. Also found in: Manly, B.F.J. (1986) Multivariate Statistical Methods: A Primer, New York: Chapman & Hall, 11. Also found in: Hand, D.J., et al. (1994) A Handbook of Small Data Sets, London: Chapman & Hall, 255.

Pacjentów z zaawansowanym rakiem: żołądka, tchawicy, okrężnicy, jajnika i piersi poddano leczeniu przy pomocy „askorbinianu”. Celem badań było ustalenie czy czas przeżycia zależy od rodzaju nowotworu (organu zaatakowanego przez rak). Dane zamieszczono w plikach “Cancer Survival .sf3”, “Cancer Survival .doc”

Definicja zmiennych:

1. Survival: Czas przeżycia (w dniach)

2. Organ: Organ zaatakowany przez nowotwór

Zadanie 3.4 (Na podstawie zbioru danych DASL)

Reference: Loven, Faith. (1981). A Study of the Interlist Equivalency of the CID W-22 Word List Presented in Quiet and in Noise. Unpublished MS Thesis, University of Iowa.

Badanie słuchu polega na sprawdzaniu prawidłowego słyszenia odtwarzanej z magnetofonu listy słów. Stosuje się różne zestawy słów. W przypadku dobierania aparatu słuchowego istotnym staje się sprawdzenie jakości słyszenia w warunkach hałasu i dodatkowego szumu, który jest wzmacniany przez aparat. Celem opisywanych badań było sprawdzenie, czy są istotne różnice pomiędzy standardowymi czterema listami słów słyszanymi przez osoby o normalnym słuchu w obecności dodatkowego szumu.

W przeprowadzonym teście wzięło udział 24 normalnie słyszące osoby. Dla sprawdzenia czy nie ma istotnych różnic pomiędzy wybranymi obiektami badań osoby te stanowiły pierwszy z niezależnych czynników (o charakterze losowym). Każda z osób powtarzała słowa usłyszane w obecności szumu z czterech badanych list, które stanowiły drugi z czynników (o charakterze stałym). Sprawdzano, ile z usłyszanych słów zostało prawidłowo rozpoznane (zmienna zależna). Dane zawarto w pliku“Hearing.sf3”

Zadanie 3.5

Reference: F.K. Shuptrine and D.D. McVicker, "Readability Levels of Magazine Ads," Journal of Advertising Research, 21:5 (October 1981), p 47.

Trzydzieści magazynów prasowych zostało poklasyfikowanych na trzy grupy w zależności od poziomu edukacyjnego ich czytelników (wysoki, średni i niski). Z każdej grupy wylosowano 3 magazyny (razem 9). Były to: grupa 1 (poziom najwyższy): 1. Scientific American 2. Fortune 3. The New Yorker; grupa 2 Medium educational level: 4. Sports Ilustrated 5. Newsweek 6. People Group 3 Lowest educational level : 7. National Enquirer 8. Grit 9 True Confessions. Z każdego wylosowanego magazynu zostało losowo wybranych sześć ogłoszeń reklamowych. W każdym z wybranych materiałów reklamowych określono liczbę wszystkich słów, liczbę zdań oraz liczbę co najmniej trójsylabowych słów.

Postawiono pytanie czy istnieją statystycznie istotne różnice w podanej charakterystyce ogłoszeń reklamowych pomiędzy magazynami lub grupami magazynów. Wyniki badań zestawiono w pliku „Czytelnictwo magazynów.doc” W zbiorze tym zmienne oznaczają następujące dane:

1. WDS = liczba słów w materiale reklamowym

2. SEN = liczba zdań w materiale reklamowym

3. 3SYL = liczba co najmniej 3-sylabowych słów w materiale reklamowym

4. MAG = magazyn (od 1 do 9 zgodnie z treścią)

5. GRP = poziom edukacyjny (jeden z trzech)

Zadanie 3.6

Badano stabilność wytrzymałości prętów zbrojeniowych dostarczanych w kolejnych partiach firmie budowlanej. Z kolejnych partii dostaw wybrano losowo dwie. Z każdej partii wybrano po dwa kontenery z których z kolei wylosowano dwa pręty zbrojeniowe do testów. Wytrzymałość każdego z prętów zmierzono dwukrotnie. Zakodowane wyniki zestawiono w poniższej tabeli

Partia 1				Partia 2
Kontener 1		Kontener 2		Kontener 1		Kontener 2
Pręt 1	Pręt 2	Pręt 1	Pręt 2	Pręt 1	Pręt 2	Pręt 1	Pręt 2
46	49	50	52	58	60	54	51
48	51	49	50	55	57	54	54

Czy otrzymywane pręty zbrojeniowe charakteryzują się stabilną wytrzymałością ?

Zadanie 3.7

Przykład 1. Badano możliwość użycia ogniw chemicznych, jako środka do ustalenia wzorcowej temperatury. Analiza teoretyczna zjawisk fizycznych wykorzystywanych w doświadczeniu pozwoliła przyjąć model doświadczenia bez interakcji. W eksperymencie tym w trakcie kolejnych 4 dni (1 czynnik) jeden z 4 różnych termometrów (2 czynnik) został umieszczony w jednej z 4 testowanych baterii chemicznych (3 czynnik) celem pomiarów temperatury. Poszczególne zestawienia poziomów czynników zostały wybrane w sposób losowy.

	27C3	19C1	18C2	33C4
	33C4	20C2	15C1	21C3
	15C1	28C3	25C4	22C2
	27C2	26C4	33C3	15C1

Zadanie 3.8

Badania efektywności trzech typów filtrów przeciwzakłóceniowych przeprowadzono w trzech różnych laboratoriach. Ocenić czy wystąpiły istotne statystycznie różnice między filtrami, oraz czy procedura i warunki przeprowadzenia badań były jednakowe we wszystkich laboratoriach. Zakodowane wyniki zestawiono poniżej. Przyjąć że założenia niezbędne do zastosowania techniki ANOVA są spełnione.

	B1	B2	B3
A1	4 3 9	6 6 8	17 10 13
A2	6 5 8	9 7 6	11 10 12
A3	9 7 10	11 9 8	14 11 13

Zadanie 3.9

Badano napięcie przebicia 4 materiałów izolacyjnych, w trzech temperaturach otoczenia

(-20ºC, 10ºC i 30ºC). Ocenić czy temperatura otoczenia czy tylko rodzaj materiału izolacyjnego miały wpływ na napięcie przebicia. Czy istnieją różnice między grupą izolatorów 1 i 2 oraz 2 i 3.

Temperatura otocz. Materiał izolacyjny	-20	10	30
I1	7,0	14,0	8,5
I2	16	15,5	16,5
I3	10,5	15,0	9,5
I4	13,5	21,0	13,5

Zadanie 3.10

Przykład. W czterech laboratoriach przeprowadzono badania wpływu temperatury odprężania stopu na zmiany kształtu detalu. Do badań przyjęto cztery rodzaje stopów różniące się zawartością miedzi (5-A, 10-B, 15-C, 20%-D). Zbadać wpływ powyższych czynników.

Zadanie 3.11 (Na podstawie danych programu „Statgraphics”)

Badano wpływ temperatury otoczenia na ocenę komfortu w zależności od płci osoby. W badaniach wykorzystano 9 klimatyzowanych pomieszczeń z trzema różnymi temperaturami. Osoby biorące udział w teście przyporządkowano losowo po dwie kobiety i dwóch mężczyzn do każdego pomieszczenia. Dane zestawiono w pliku „Comfort.sf3”.

Zadanie 3.12 (Na podstawie danych zbioru DASL)

Reference:

Anderson, V. L. and Robert A. McLean. (1974). Design of experiments. New York: M. Dekker.

W symulatorze pracy serca badano 4 typy sztucznych zastawek. Mechaniczny symulator sterował i mierzył ciśnienie krwi oraz tętno. Zmienną zależną był maksymalny uzyskiwany przepływ otrzymywany dla zastawki. Celem było wybranie najlepszego typu zastawki dla wszystkich możliwych zakresów tętna i ciśnienia. Do doświadczenia użyto 8 zastawek - dwie każdego typu. Jako czynniki przyjęto: typ zastawki „Typ” (4 poziomy), egzemplarz zastawki „Egzemplarz” (numer zastawki danego typu - 8 poziomów) oraz szybkość tętna „Tętno”(6 poziomów). Podać sposób przeprowadzenia analizy. Dane zestawiono w pliku „Zastawki”.

Zadanie 3.13 (Na podstawie danych zbioru DASL)

Reference: Moore, David S., and George P. McCabe (1989). Introduction to the Practice of Statistics. Original source: Lyle, Roseann M., et al., "Blood pressure and metabolic effects of calcium supplementation in normotensive white and black men," JAMA, 257(1987), pp. 1772-1776,

Zaobserwowano, że podawanie wapnia człowiekowi zmniejsza ciśnienie krwi (szczególnie u Amerykanów pochodzenia afrykańskiego). W celu weryfikacji tej hipotezy przeprowadzono eksperyment, w którym uczestniczyło 21 czarnoskórych mężczyzn. Przez 12 tygodni dziesięciu osobom podawano wapń, podczas gdy pozostałym jedenastu (grupa kontrolna) podawano placebo. Wszystkim osobom zmierzono ciśnienie przed i po tym 12-to tygodniowym okresie. Czy badania potwierdzają postawioną hipotezę?

Dane zestawiono w zbiorze “Calcium.sf3”

W badaniach wystąpiły następujące zmienne:

1. Treatment: Czy osoba badana otrzymywała wapno czy placebo

2. Begin: ciśnienie skurczowe osoby siedzącej przed kuracją leczniczą

3. End: ciśnienie skurczowe osoby siedzącej po okresie kuracji

4. Decrease: wartość obniżenia ciśnienia krwi (Begin - End)

Ćwiczenia 6-7.

Analiza korelacji i regresji wielokrotnej.

Cel.

Zrozumienie istoty badań siły związku oraz zależności funkcyjnych między zmiennymi. Poznanie technik obliczeniowych, wymaganych założeń oraz parametrów oceny trafności i dokładności wyznaczonej metodą regresji zależności funkcyjnej.

Wyrobienie praktyki i biegłości w wykonywaniu obliczeń statystycznych związanych z analizą korelacji i regresji przy użyciu aplikacji komputerowej.

Przebieg ćwiczenia.

Ćwiczenia polegają na wykonywaniu wybranych z załączonych zadań z pomocą prowadzącego. Część zadań przeznaczona jest do własnej pracy studenta, przygotowującej go do kolokwium.

Na wstępie wykonywane są następujące zadania z monografii [1]: przykłady ….

Ćwiczenia prowadzone przez wykładowcę

Zbadać zależność zużycia paliwa (zmienna mpg w pliku „cardata.sf3”) od wagi samochodu (zmienna „weight” w tym samym pliku). Przyjąć model liniowy.

Skorzytaj z opcji programu:

Relate → Simple regression

Na podstawie uzyskanej tabeli wyników odpowiedzieć na następujące pytania:

1. Czy współczynniki b₀ i b₁ są istotne i dlaczego?

2. Czy uzyskany model jest wiarygodny i dlaczego? Podać ocenę na podstawie oceny istotności modelu i uzyskanej korelacji. Odpowiedzi wyjaśnić graficznie.

3. Jaka część zmienności spowodowana jest błędami pomiaru

4. Obejrzeć i skomentować przedziały ufności

Zbadać zależność zużycia paliwa (zmienna mpg w pliku „cardata.sf3”) w funkcji następujących zmiennych: wagi samochodu (zmienna „weight” w tym samym pliku), mocy silnika (zmienna „horsepower”), przyspieszenie samochodu (wektor „accel”), skok tłoka (wektor „displace”).

Skorzystać z następujących opcji programu Relate → Multiply regression

Na podstawie wstępnych wyników uzyskanej zależności liniowej odpowiedzieć na następujące pytania:

1. Ocenić czy model regresji jest istotny?

2. Jaka część zmienności wyników wywołana jest regresją?

3. Przeanalizować i skomentować rozkład wyników badań względem modelu. Czy jest on losowy?, czy wskazuje na stałą wariancję ?

4. Które ze współczynników regresji są istotne a które nie i dlaczego?

5. Ocenić wartości statystyki F odpowiadające współczynnikom regresji. Porównać z odpowiednimi wartościami statystyki T.

Podjąć próbę znalezienia modelu nieliniowego dla podanych zmiennych ewentualne włączając inne zmienne pliku „cardata.sf3”. Proponowana jest następująca zabawa: Studenci dzielą się na grupy 3-4 osobowe. Zabawa polega na współzawodnictwie między utworzonymi grupami. Celem jest znalezienie modelu regresji nieliniowej dla zmiennej wyjściowej „mpg”.

Zwycięża ten zespół który zaproponuje model charakteryzujący się najwyższą wartością skorygowanego współczynnika R w kwadracie.

Zadanie 4.1. (Na podstawie danych zbioru DASL).

Reference: Moore, David S., and George P. McCabe (1989). Introduction to the Practice of Statistics, p. 179.

Rząd brytyjski przeprowadził badania średnich tygodniowych wydatków gospodarstw domowych na papierosy oraz na napoje alkoholowe w 11 regionach Wielkiej Brytanii [Moore i inni 1979]. Badania te wykazały dodatnią korelacje pomiędzy obiema zmiennymi.

Wyznaczyć współczynnik korelacji. Wyniki badań zawarto w pliku „Alkohol i papierosy.doc”

Zmienne występujące w badaniach:

1. Region: Region Wielkiej Brytanii

2. Alcohol: Tygodniowe wydatki na alkochol w funtach

3. Tobacco: Tygodniowe wydatki na wyroby tytoniowe w funtach

Zadanie 4.2 (Na podstawie danych zbioru DASL)

Reference: Moore, David S., and George P. McCabe (1989). Introduction to the Practice of Statistics. Original source: Occupational Mortality: The Registrar General's Decennial Supplement for England and Wales, 1970-1972, Her Majesty's Stationery Office, London, 1978.

Rząd Anglii przeprowadził badania związku pomiędzy paleniem papierosów a zapadalnością na raka płuc. Badania przeprowadzono na 25 grupach zawodowych na próbie kilku tysięcy osób. Jako zmienną niezależną ustalono ilość wypalanych dziennie papierosów przez ankietowana osobę w danej grupie zawodowej w stosunku do wartości średniej w tej grupie badanych. Wyniki badań zestawiono w pliku „Palenie a rak płuc.doc”.Czy badania wskazują na istotną korelację pomiędzy zapadalnością na raka płuc a ilością wypalanych papierosów ?

Nazwy zmiennych:

1. Occupational_Group: Grupa zawodowa

2. Smoking: “Współczynnik palenia” (100 oznacza średnią)

3. Mortality: Współczynnik umieralności na raka płuc (100 oznacza średnią)

Regresja

Zadanie 4.3

Badania odkształcenia x w funkcji twardości y tworzywa dały następujące rezultaty. Podać model zależności y(x)

x y

6 68

9 67

11 65

13 53

22 44

26 40

28 37

33 34

35 32

Zadanie 4.4.

Wyznaczyć model regresji przydatny do numerycznej korekcji nieliniowości rezystancji termistora w funkcji temperatury, celem użycia go jako czujnika w elektronicznym termometrze pracującym w temperaturach dodatnich. Wymagana dokładność pomiaru temperatury to ok.0,05˚C w zakresie od 15˚C do 35˚C. Specyfikacja producenta zmian rezystancji w funkcji temperatury podana jest poniżej (fragment) i w pliku „Specyfikacja termistora.doc”.

˚C F W



-80 -112 1664003

-79 -110,2 1521796

-78 -108,4 1392741

-77 -106,6 1275536

-76 -104,8 1169011

-75 -103 1072124

-74 -101,2 983938

-73 -99,4 903615

-72 -97,6 830402

-71 -95,8 763622

-70 -94 702671

-69 -92,2 646999

. . .

. . .

Zadanie 4.5

Przeprowadzono 3 pomiary czułości przyrządu pomiarowego w funkcji temperatury otrzymując wyniki:

Temp	10	20	30
Czułość	992	1000	1000

Otrzymano równanie regresji postaci: k=992+0,3T

Sprawdzić na 95% poziomie ufności jego istotność i adekwatność, jeżeli niepewność rozszerzona pomiaru czułości wyznaczona na podstawie 3 pomiarów wynosi 3s=2

Ćwiczenie 8.

Wstęp do planowania doświadczeń.

Cel.

Zrozumienie istoty technik związanych z planowaniem eksperymentu. Poznanie technik obliczeniowych, pozwalających na właściwe ustalanie planu doświadczenia. Wyrobienie praktyki i biegłości w wykonywaniu obliczeń statystycznych związanych z planowaniem doświadczeń przy użyciu aplikacji komputerowej.

Przebieg ćwiczenia.

Ćwiczenia polegają na wykonywaniu wybranych z załączonych zadań z pomocą prowadzącego. Część zadań przeznaczona jest do własnej pracy studenta, przygotowującej go do kolokwium.

Polecane są następujące zadania z monografii [1]: przykłady 17.1, 17.2, 17.6.

Przykład wstępny

Ref.; Polański „Planowanie eksperymentu” str. 90.

Celem badań doświadczalnych jest określenie funkcji obiektu postaci
, przy czym wartości wielkości wejściowych są następujące;
,
,
;
. Z analizy merytorycznej zagadnienia, wynika że omawiana funkcja jest liniowa postaci
a interakcje pomiędzy zmiennymi niezależnymi rzędu wyższego niż 2 są pomijalne. Zaproponuj plan doświadczenia i przeprowadź odpowiednią analizę celem wyznaczenia współczynników
.

Rozwiązanie: ustalamy plan doświadczenia 2⁴.

W pakiecie Statgraphics korzytamy z opcji; Special → Eksperiment design → Create design.

W oknach wprowadzania danych wprowadzamy:

No. of Response Variables: 1,

No. of Experimental Factors: 4,

No. of blocks:1

Wprowadzając poziomy zmiennych wybieramy kodowanie do wartości np -1, i +1

Właściwy plan możemy odnaleźć w oknach: Screening designs→ Create design options

Plan ten wystąpi pod nazwą Factorial ; 2^{^4} postaci:

Var_1

1,0 1,0 1,0 1,0 23,2

-1,0 -1,0 -1,0 1,0 20,8

-1,0 -1,0 -1,0 -1,0 16,2

-1,0 1,0 1,0 -1,0 7,1

1,0 -1,0 -1,0 1,0 22,6

1,0 1,0 -1,0 -1,0 2,8

-1,0 1,0 -1,0 -1,0 9,6

-1,0 1,0 1,0 1,0 21,0

-1,0 1,0 -1,0 1,0 18,3

-1,0 -1,0 1,0 1,0 18,6

1,0 1,0 1,0 -1,0 8,3

1,0 -1,0 1,0 -1,0 9,4

-1,0 -1,0 1,0 -1,0 8,2

1,0 -1,0 -1,0 -1,0 17,4

1,0 -1,0 1,0 1,0 19,2

1,0 1,0 -1,0 1,0 20,2

W bocznej kolumnie oznaczonej Var_1 podano wartości zmiennej wyjściowej otrzymane dla podanych punktów w przestrzeniu unormowanych zmiennych niezależnych. Wartości te wprowadzamy do programu wybierając opcje: Special → Eksperiment design → Analyse experiment.

Po wybraniu w opcjach analizy interakcji 1-go rzędu (czyli tylko oddziaływań głównych) wyznaczamy współczynniki regresji dla danych unormowanych i odpowiadający im model postaci:

Aby uzyskać model regresji dla zmiennych rzeczywistych podstawiamy do powyższego wyrażenia zamiast zmiennych unormowanych wzory je definiujące z użyciem podanym w założeniach wartości minimalnych i maksymalnych tych zmiennych.

Zadaniem do samodzielnego wykonania przez studentów jest wykonanie następujących analiz:

1. Wyznaczenie ostatecznego modelu regresji przy użyciu modułu Eksperiment design i wprowadzeniu do programu zmiennych nieunormowanych.

2. Wykonanie analogicznej analizy przy użyciu modułu Multiply Regression

Zadanie 5.1.

Poszukujemy funkcji postaci
. Wiadomo, że oprócz oddziaływań głównych (liniowych) występują dwa współdziałania pierwszego rzędu:
oraz
. Pozostałe współdziałania można pominąć. Ustalić plan doświadczenia odpowiedni do wyznaczenia powyższej funkcji regresji. Podać strukturę zamienników planu.

Zadanie 5.2.

Jakiego typu funkcję regresji
można wyznaczyć stosując plan:

1. ortogonalny dwuwartościowy z jądrem w postaci planu frakcyjnego z równaniem charakterystycznym
   

2. frakcyjny z równaniem charakterystycznym
   

Zadanie 5.3.

Podać przykład macierzy danych unormowanych dla planu rotalnego przy p = 2, z jądrem w postaci planu kompletnego 2².

Zbiór pytań przygotowawczych do kolokwium:

Statystyka opisowa

1. Wyjaśnić zależność kształtu rozkładu od współczynnika skośności

2. Wyjaśnić zależność kształtu rozkładu od współczynnika kurtozy

3. Podać definicję mediany, oraz mediany empirycznej

4. Podać definicję mody, oraz mody empirycznej

5. Na czym polega sekwencyjne testowanie hipotez

6. Czy przedział ufności dla wartości oczekiwanej jest przedziałem losowym?

7. Czy wartość oczekiwana jest zmienną losową?

8. Zdefiniuj graficznie przedział ufności

9. Jak zmniejszyć równocześnie bład pierwszego rodzaj (ryzyko wytwórcy ) oraz błąd drugiego rodzaju (ryzyko odbiorcy) ?

ANOVA

1. Wymień źródła zmienności w analizie wariancyjnej z powtórzeniami

2. Wymień niezbędne złożenia do stosowania analizy wariancji

3. Jaka jest różnica pomiędzy planem czynnikowym a×b×c a kwadratem łacińskim

4. Czy kwadrat grecko-łaciński jest planem kompletnym doświadczenia

5. Podaj przykład czynnika o charakterze stałym i losowym w analizie wariancji

6. Wyjaśnij istotę planów gniazdowych

7. Podaj hipotezę zerową w modelach I i II analizy wariancji

8. Podaj ogólną statystykę testową która jest miarą istotności wpływu czynnika na obiekt badany.

9. ANOVA dwuczynnikowa powtórzeniami- podaj możliwe hipotezy statystyczne, plan doświadczenia, model matematyczny wyniku.

10. Na czym polega randomizacja planów kwadratowych

Regresja wielokrotna

1. Podaj postać modelu regresji wielokrotnej

2. Czy przy użyciu modelu regresji wielokrotnej można wyznaczyć współczynniki regresji wielokrotnej w postaci funkcji trzeciego stopnia z interakcjami ?

3. Co jest podstawą metody sumy najmniejszych kwadratów

4. Wymień i przedstaw graficznie źródła zmienności brane pod uwagę w analizie regresji

5. Pokaż graficznie różnicę pomiędzy regresją a korelacją

6. Podaj znaczenie (definicję) współczynnika determinacji.

7. Jakich założeń wymaga statystyczna ocena przyjętego modelu regresji ?

8. Co to jest istotność przyjętego modelu regresji i przy pomocy jakich parametrów się ją określa ?

9. Podaj parametry oceny istotności współczynników regresji

10. Czym się różni przedział ufności dla przeciętnej obserwacji od przedziału predykcji?

11. W jakim punkcie modelu przedziały ufności dla regresji są najmniejsze?

12. Co to jest adekwatność modelu regresji ? wymień parametry jej oceny.

Literatura:

http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles

Marek Dobosz „Wspomagana komputerowo statystyczna analiza wyników badań „Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT ,Warszawa 2001

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

31/31

---