Tunelowanie

Zjawisko tunelowania- zjawisko kwantowe polegające na przenikaniu cząstek przez obszar, barierę potencjału, który jest niedostępny z klasycznego punktu widzenia. Sytuacja taka występuje gdy wysokość bariery jest większa niż całkowita energia cząstki. Przejście cząsteczki przez barierę potencjalną. Rozważmy cząsteczkę poruszającą się w kierunku bariery potencjalnej o pewnej wysokości Uο i szerokości a. ( rysunek

Załóżmy, że energia cząsteczki E<Uο. Według mechaniki klasycznej cząsteczka ta nie powinna przejść na drugą stronę bariery, ponieważ podczas przechodzenia przez barierę musiała by mieć energię kinetyczną, co jest niemożliwe. Rozważmy to zagadnienie zgodnie z prawami MECHNIKI KWANTOWEJ. W tym celu skorzystamy zrównania Schrödingera. ∇²Ψ+(8Π2m/h²)*[E-U(x,y,z)]Ψ=0. Równanie Schrödingera bez czasu dla cząstki o masie m. Gdzie: ∇²Ψ-Laplasian funkcji Ψ, E-energia całkowita cząstki, U(x,y,z)-energia potencjalna cząstki zależna od jej położenia .-ħ/2m*d²Ψ/dx²+U(x)Ψ=EΨ, gdzie: ħ=h/2Π. Zapisy dla każdego z obszarów; obszar pierwszy: U(x)=0 dla x<0;obszar drugi: U(x)=Uο dla 0< --> x[Author:u] ≤a; obszar trzeci; U(x)=0 dla x>a. W obszarach pierwszym i trzecim równanie Schrödingera przybiera postać: -ħ/2m*d²Ψ/dx²= EΨ. Natomiast w obszarze drugim przybiera postać: -ħ/2m*d²Ψ/dx²=(E-Uο)Ψ. Rozwiązując te równania otrzymujemy następujące równania na funkcję Ψ. W obszarze pierwszym Ψ1=A1e(ikx)+B1e(-ikx),w obszarze drugim Ψ2=Α2e(xx)+B2e(-xx), w obszarze trzecim Ψ3=Α3e(ikx)+B3e(-ikx). Gdzie: k=2Π/λ=2ΠΡ/h=2Π/h*√2m*E. Gdzie: x,k liczby falowe. B3e(-ikx) oznaczono falę bignącą w kierunku równym osi x. Cząstka podająca na barierę z lewej strony ma się od niej odbic na granicy obszarów pierwszego i drugiego oraz drugiego i trzeciego. Natomiast po przejściu bariery, gdy cząstka znajdzie się w obszarze trzecim, proces odbicia cząstki zajść może, a więc cząstka nie może wytworzyć fali biegnącej w ujemnym kierunku. Funkcja Ψbędzie opisywać przejścia cząsteczki przez barierę potencjalną wówczas, jeżeli funkcja ta oraz jaj pochodna będą ciągle w punktach x=0 i x=a. Warunki te możemy zapisać następująco:

(Ψ1)dlax=0 =(Ψ2)dlax=0 =>(dΨ1/dx)dlax=0 =(dΨ2/dx)dlax=0, oraz (Ψ2)dlax=a =(Ψ3)dlax=a =>(dΨ2/dx)dlax=a =(dΨ3/dx)dlax=a. Skąd wynika: A1+B1=A2=B2, A2e(xa)+B2e(-xa)=A3e(ika), ikA1-ikB1=xA2-xB2, xA2e(xa)-xB2e(-xa)=ikA3e(ika).

Wynoszenie (A3/A1)²= można interpretować jako prawdopodobieństwo tego, że cząstka padająca na barierę przejdzie przez nią. D (A2/A1)= WSPÓLCZYNNIK TRANSMISJI (przejścia). D=(A3/A1)²= 16k²x²/(k²+x²)²*(e(xa)-e(-xa))+16k²x², gdzie: k=2Π/h*√2mE, x=2Π/h√2m(Uο-E). Prawdopodobieństwo tego, że cząsteczka odbije się od bariery nazywamy współczynnikiem odbicia, R=1-D. Jeżeli bariera jest tak wysoka i tak szeroka że xa>>1 toD~~16k²x²/(k²-x²)²*e(-2xa). Im większy jest iloczyn x*a tym prawdopodobieństwo przejścia przez barierę jest mniejsze. Efekt tunelowy tłumaczy wiele zjawisk fizyki atomowej i jądrowej, np.: emisja elektronów z materii.

---