ROZWÓJ METOD EKONOMETRYCZNYCH

- prawdopodobnym twórcą nazwy „ekonometria” był Frisch (1936 r.)

- „…unifikacja teorii ekonomii, statystyki matematyki”

1 era – era klasycznych metod najmniejszych kwadratów ;

równanie ruchu wahadła (funkcja ciągła gasnąca)

2 era – rozwój metod estymacji 2 MNK, 3 MNK, metoda zmiennych instrumentalnych.

Powstały modele Kleina, Kleina – Goldelberga:

Y_t = F(t) + β₁V_1t+ ….

3 era – zastosowanie maszyn mnożnikowych

4 era – wprowadzenie analizy spektralnej, Jerons, Moore.

5 era – powszechna komputeryzacja – powstają makro modele będące podstawą symulacji i prognozowania.

6 era – makro modelowanie gospodarek narodowych.

KONKLUZJE:

- ekonometria nie ma wyraźnie określonych granic,

- ekonometria nie weryfikuje empirycznie modeli, które tworzy.

Ekonometrię należy rozważać wraz z powiązaniami z:

- ekonomią matematyczną,

- teorią ekonomii,

- statystyką ekonomiczną.

Przedmiotem analizy są:

- konstrukcja modelu ekonometrycznego,

- estymacja parametrów modelu ekonometrycznego.

SPECYFIKACJA– MODELU EKONOMETRYCZNEGO INFORMACJA PRIORI

- istniejące teorie ekonomiczne;

- ogólnie znane zależności ekonomiczne typu rozrachunkowego lub bilansującego;

- informacje z poprzednio prowadzonych badań ekonometrycznych.

JEDNOWARTOŚCIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

Wybór zmiennych nazywa się specyfikacją modelu.

Rozpatrując budowę modelu można wyróżnić następujące jego części

Parametry strukturalne modelu – nie jesteśmy w stanie podać dokładnej wartości parametru, trzeba je oszacować.

α₀ – parametr wolny – jego interpretacja bywa niewłaściwa z punktu widzenia ekonomii

α₁ –ma interpretację przyczynowo – skutkową

Etapy budowy modelu

Etap 1 – określenie celu oraz zakresu badania

Etap 2 – specyfikacja modelu ekonometrycznego

Etap 3 – zgromadzenie odpowiednich danych statystycznych

Etap 4 – estymacja parametrów modelu ekonometrycznego

Etap 5 – weryfikacja oszacowanego modelu

Etap 6 – Praktyczne wykorzystanie modelu ekonometrycznego

Klasyfikacja modelu ekonometrycznego

Cele budowy modelu ekonometrycznego oraz typy modelu:

• Modele analityczno – opisowe

• Modele prognostyczne

• Symulacje i sterowania

Miary jakości modelu ekonometrycznego

• Stopień dopasowania modelu do danych empirycznych

• Dokładność parametrów modelu

• Wartość informacyjna modelu

• Sensowność interpretacji parametrów

• Wartość prognostyczna modelu

Klasy modeli:

• hiperboliczny,

• dynamiczny,

• kwadratowy niezupełny.

Modele:

• statystyczne,

• dynamiczne.

DOBÓR ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH DO MODELU EKONOMETRYCZNEGO

Metoda analizy współczynników korelacji – odnosi się do modeli liniowych

Badanie poziomu zróżnicowania zmiennych

• Współczynnik zmienności, dany następującą formułą

$$V_{i} = \ \frac{S_{i}}{{\overset{\overline{}}{x}}_{i}}$$

gdzie

S_i – odchylenie standardowe zmiennej

${\overset{\overline{}}{x}}_{i}$ - średnia arytmetyczna zmiennej

• Można przyjąć a priori pewien poziom krytyczny dla współczynnika zmienności

Zwykle jest to:

V^*=0,1

jeżeli ↓

V_i ‹ V^* ← wartość krytyczna współczynnika

↓

brak zróżnicowania – brak możliwości stosowania metod ilościowych MNK

Brak możliwości stosowania metod ilościowych.

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Wartości współczynnika korelacji Pearsona zawierają się w przedziale [-1,1] i dany jest następującą formułą

$r_{\text{jl}} = \frac{\text{cov}_{\text{jl}}}{S_{j}S_{l}}$

cov_jl - kowariancja

S_jS_l – odchylenie standardowe

Dodatnia zależność liniowa między zmiennymi:

Wzrost X powoduje wzrost Y – często to pewien ułamek

Ujemna zależność liniowa między zmiennymi:

Wzrost X powoduje spadek Y – służy do badania zależności popytowych

Brak zależności

Zależność krzywoliniowa

Badanie istotności współczynnika korelacji liniowej

H_o : r_xy = 0

Hipoteza zerowa – brak zależności

H₀ : r_xy ≠ 0

Sprawdzeniem hipotezy zerowej jest statystyka testu studenta dana formułą:

n – liczba obserwacji

α=0,05 – 5% - oznacza, że poziom istotności głosi, że na 100 podjętych decyzji 5 będzie błędnych.

Interpretacja

Jeżeli t_α ≥ t (wartość krytyczna) – nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej – brak istotnej korelacji

Jeżeli t_α ‹ t – to hipotezę zerową należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej

Przykład

$$R = \begin{bmatrix} 1 & 0,3 & 0.7 \\ 0,3 & 1 & 0,8 \\ 0,7 & 0,8 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

Sprawdźmy czy korelacji między zmienną X₁, X₂ jest istotna

Przyjmijmy poziom istotności α = 0,05 n=20

Wartość krytyczna do α = 0,05 oraz n-2=18 (18 stopni swobody)

Współczynnik korelacji na n=20 obserwacji;

t_α = 2,101

Hipotezy dane są jako:

H₀ : r_x1x2=0 H₁ : r_x1x2≠0

Statystyka testowa dana jest jako

$t = \frac{0,3}{\sqrt{1 - {0,3}^{2}}}\sqrt{20 - 2} = \sqrt{20 - 2} = 1,3343\ \rightarrow t_{\alpha} > t$ hipoteza zerowa - nie ma korelacji

Wektor $R = \begin{bmatrix} \text{ISTOTNE} \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix}$ Macierz $R = \begin{bmatrix} 1 & \cdots & \\ \vdots & 1 & \vdots \\ & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix}$

Wartość krytyczna współczynnika korelacji liniowej

Dana jest

$$r^{*} = \ \sqrt{\frac{t_{\alpha}^{2}}{t_{\alpha}^{2} + n - 2}}$$

• Współczynniki korelacji mniejsze od wartości krytycznej j są statystycznie nieistotne

• Współczynniki korelacji równe bądź większe od wartości krytycznej są statystycznie istotne

t_α – wartość krytyczna odczytana z tablic t studenta na poziomie istotności α (0,05) przy n-2 stopnia swobody (n - liczba obserwacji)

Przykład:

Na podstawie 30 obserwacji obliczono następujące współczynniki korelacji

$R_{0} = \begin{bmatrix} 0,87 \\ 0,52 \\ - 0,2 \\ - 0,45 \\ \end{bmatrix}$ $R = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 0,01 & - 025 \\ & 1 & 0,7 \\ & & 1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0,45 \\ - 0,56 \\ 0,6 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} & & \begin{matrix} & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

Wybrać zmienne objaśniające do modelu ekonometrycznego przyjmując poziom istotności 0,05

Zatem:

n=30 n-2=28

Wartość krytyczna odczytana z tablic wartości krytycznych rozkładu t - studenta jest następująca

t_α = 2,048

Stąd wartość krytyczna współczynnika korelacji wynosi

$$r^{*} = \sqrt{\frac{{2,048}^{2}}{{2,048}^{2} + 30 - 2} = 0,36}$$

r^* = 0, 36

Zatem

$R_{0} = \begin{bmatrix} 0,87 \\ 0,52 \\ - 0,2 \\ - 0,45 \\ \end{bmatrix}$ $R = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 0,01 & - 025 \\ & 1 & 0,7 \\ & & 1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0,45 \\ - 0,56 \\ 0,6 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} & & \begin{matrix} & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

Na podstawie analizy samego wektora wnioskujemy , że x₃ jest nieistotne.

Pozostałe zmienne x_1,x_2,x₄ kandydują na zmienne do modelu

0,87 – istotne

0,52 – istotne

-0,2 – nie jest istotne i nie będzie uwzględniana w dalszej analizie

-0,45 – istotne

Zatem kandydatkami na zmienne objaśniające są X_1t, X_2t, X_4t → korelacja z Y jest istotna

I z tego wynika , że gdyby był x₄ to nie mogłyby być ani x_1, ani x_2, .Ale gdyby  x₄ było mocno skorelowane z y , to byśmy tylko na tej podstawie budowali model , jednak w tym zadaniu jest nisko skorelowany , a x_1,x_2, bardziej to je właśnie wybieramy (będziemy dokładniejsi).

X₁ oraz X₂ – nie są istotnie skorelowane między sobą ‹ r^*

X₁ oraz X₄ – istotnie skorelowane bo › r^*

X₂ oraz X₄ – istotnie skorelowane bo › r^*

Do modelu wejdzie zmienna X₁, X₂

1. Analiza wektorowa

0,2 ‹ r^* = 0,36

1. Sprawdzenie powiązań między kandydatkami

Y_t =  α₁X_1t + α₂X_2tα₀ + α₀ + ξ_t

Y_t =  α₁X_4t + α₀ + ξ_t bardzo słaba korelacja z Y_t

Estymacja parametrów strukturalnych modelu ekonometrycznego

Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK)

Jest to metoda liniowa.

Idea KMNK:

Wyznaczenie ocen a₁, a₂, …, a_k parametrów strukturalnych parametrów α₁, α₂, …, α_k strukturalnych aby suma kwadratów odchyleń zaobserwowanych wartości zmiennej endogenicznej Y_t od jej wartości teoretycznych obliczonych na odstawie oszacowanego modelu była najmniejsza

Y_t =  α₁X_1t + α₀ + ξ_t po oszacowaniu przyjmuje wartość

↓

Y_t =  a₁X_1t + a₀ + u_t

Dany jest model ekonometryczny o dowolnej liczbie zmiennych objaśniających

Y_t =  α₁X_1t + α₂X_2t + … + α_k − 1X_k − 1t + α_k + ξ_t

t = 1, 2, …, n

przy czym k-ta zmienna objaśniająca przyjmuje zawsze wartość 1 (tak więc parametr występujący przy niej jest nazywany parametrem wolnym.

Kryterium metody najmniejszych kwadratów ma następującą postać

$$\Psi = \ \sum_{t = 1}^{n}{(y_{1} - a_{1}X_{1t\ } - a_{2}X_{2t} - \ \ldots - a_{k - 1}X_{k - 1t} - a_{k})^{2}}$$

→ minimum

Y_t =  α₁X_1t + α₀ + ξ_t

Y_t =  a₁X_1t + a₀ + u_t

świat rzeczywisty: ma być najmniejsze

$$\Psi = \ \sum_{t = 1}^{n}{(y_{t} - a_{1}X_{1t\ } - a_{o})^{2}}$$

Świat teoretyczny:

Y_t^* =  α₁X_1t + α₀

Minimum - ma być najmniejsze

$$\Psi = \ \sum_{t = 1}^{n}{(Y_{t} - Y_{t}^{*})^{2}}$$

Reszta modelu (zmienna losowa)

u_t =  Y_t −  Y_t^*

Minimum

$$\Psi = \ \sum_{t = 1}^{n}u_{t}^{2}$$

Y_t^* = a₁X_1t +  a₂X_2t +  …+ a_k − 1X_k − 1t +  a_k

Ostateczne postać funkcji kryterium KMNK dana jest jako:

$$\Psi = \ \sum_{t = 1}^{n}{(y_{t} - y_{t}^{*})^{2}}$$

↓

(y_t−y_t^*) −  u_t (t = 1,  2,  …, n) 

↑

reszta równania

Układ macierzowy

$$y = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \\ \end{bmatrix}$$

y – wektor kolumnowy (n*1) relacji zmiennej endogenicznej

x₁ x₂ x x_{k ŚLEPA}

x₁₁ x₂₁ … x_k-11 1

x₁₂ x₂₂ … x_k-12 1

x = … … … … 1

… … … … 1

x_1n x_2n … x_k-1n 1

α₁ α_{2 …} α_k α₀

X macierz (n*k) realizacji zmiennych objaśniających

kolumny oznaczają poszczególne zmienne objaśniające

Y_t =  α₁X_1t + α₂X_2t + α₀ + ξ_t

Y_t =  α₀ + α₁X_1t + α₂X_2t + +ξ_t

α – kolumnowy wektor parametrów strukturalnych modelu (k*1)

$\alpha = \begin{bmatrix} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{k} \\ \end{bmatrix}$ $a = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{k} \\ \end{bmatrix}$

wektor kolumnowy (k*1) ocen parametrów strukturalnych modelu

Kolumnowy wektor składnika losowego modelu (n*1)

$$\xi = \begin{bmatrix} \xi_{1} \\ \xi_{2} \\ \vdots \\ \xi_{n} \\ \end{bmatrix}$$

Wektor kolumnowy składników resztowych modelu (n*1)

$$u = \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \\ \end{bmatrix}$$

Wektor kolumnowy wartości teoretycznych (n*1)

$$y = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \\ \end{bmatrix}$$

Model dany jako (rachunek skalarny)

Y_t =  α₁X_1t + α₂X_2t + … + α_k − 1X_k − 1t + α_k + ξ_t

Natomiast w zapisie macierzowym ma postać

y = Xα + ξ

Wektor wartości teoretycznych zmiennej endogenicznej y ma postać

y *   =  Xa

Funkcja kryterium KMNK dana jest jako (minimum)

Ψ = (y−Xa)^′(y − Xa)

(y - Xa)’ – transpozycja w macierzach

$$\begin{matrix} & \\ & \\ & \\ \end{matrix}*\ \begin{matrix} & & \\ & & \\ \end{matrix}$$

Wykonując iloczyn otrzymujemy (minimum)

Ψ = y^′y − yXa − a^′X^′y + a′X′Xa

Po przekształceniu otrzymujemy:

y = y^′y − 2a^′X^′y + a′X′Xa

Wyznaczamy pochodne cząstkowe względem wektora A i przyrównujemy do zera czyli:

$$\frac{\text{δY}}{\text{δa}} = - 2X^{'}y + 2\left( X^{'}X \right)a = 0$$

↓

(X^′X)a = X^′y

Wyznacznik macierzy:

det(X^′X)>0

Po przekształceniu otrzymujemy kolumnowy wektor ocen parametrów strukturalnych modelu, czyli:

a = (X^′X)⁻¹X′Y - WZÓR

Zastosowanie KMNK wymaga spełnienia następujących założeń (założenia klasyczne):

• Postać modelu jest liniowa względem parametrów (bądź sprowadzalna do liniowej)

• Zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi

• Zmienne objaśniające nie wykazują współliniowości – co oznacza brak dokładnej zależności liniowej

• Składnik losowy → ξ→ E(ξ) = 0

D²(ξ)= δ²

wariancja składnika losowego jest stała w czasie

• Nie występuje autokorelacja (zależność od czynników zdarzeń ekstremalnych) składnika losowego

E(ξ_iξ_j) = 0 dla i≠j

Kowariancja składnika losowego nie zależy od zmiennych objaśniających składnik losowy nie jest skorelowany ze zmiennymi objaśniającymi.

SKŁADNIK LOSOWY:

- wartość oczekiwana 0

- nie wykazuje autokorelacji (nie zależy sam od siebie).

Przykład:

Jedna zmienna objaśniająca.

Na podstawie danych statystycznych zamieszczonych w tablicy oszacować parametry strukturalne modelu o postaci:

Y_t =  α₁X_1t + α₀ + ξ_t

yt	X1t
3	2
2	2
2	1
1	1
1	0

Wykres rozrzutu jest następujący:

Zależność dodatnia. Przy zależności dodatniej parametr przy X będzie dodatni

Kolumnowy wektor realizacji zmiennej endogenicznej oraz macierz X realizacji zmiennych objaśniających dane są jeżeli

$y = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ $x = \left\lbrack \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right\rbrack$

Stosując formułę na wektor ocen parametrów strukturalnych czyli:

a = (X^′X)⁻¹X′Y

↓ (transponujemy macierz X)

Iloczyn transponowanej macierzy X

$$X'X = \begin{bmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 5 \\ \end{bmatrix}$$

Ma 3 podstawowe własności:

• Jest kwadratowa

• Jest symetryczna względem głównej przekątnej

• Główna przekątna jest dodatnio określona (nie ma własności ujemnej)

det (X’X)=14

$X'X^{- 1} = \begin{bmatrix} 0,36 & - 0,34 \\ - 0,46 & 0,71 \\ \end{bmatrix}$ $X_{4}^{'} = \begin{bmatrix} 13 \\ 9 \\ \end{bmatrix}$

$$a = \begin{bmatrix} 0,78 \\ 0,86 \\ \end{bmatrix} \rightarrow Y_{t} = 0,78X_{1t} + 0,86 + u_{t}$$

Interpretacja parametrów

Wzrost X_1t o 1 jednostkę spowoduje przeciętny wzrost zmiennej endogenicznej y_t o 0,78 jednostki.

Przeciętny poziom zmiennej endogenicznej y_t wynosi 0,86 jednostki pod warunkiem, że zmienna objaśniająca X_1t będzie równa 0 z dokładności do u_t

Wzrost X o 1 – Wzrost y o 0,78