Przykład

Jedna zmienna objaśniająca

Na podstawie danych statystycznych zamieszczonych w tablicy oszacować parametry strukturalne modelu produkcji

Y_t =  α₁X_1t +  α₀ +  ξ_t

gdzie

Y_t – produkcja (w tyś)

X_1t – zatrudnienie (osoby)

Kolumnowy wektor realizacji zmiennych endogenicznych oraz macierzy X realizacji zmiennych.

Interpretacja parametru:

Wzrost wielkości zatrudnienia X_1t o 1 osobę spowoduje wzrost przeciętnego poziomu produkcji o 1,3203 tyś. szt.

a₀ = 3,8483 tyś. szt. – taką średnią wartość przyjmuje wielkość produkcji Y_t. W przypadku gdy X_1t zatrudnienie będzie równe zero.

ZAGADNIENIE KOINCYDENCJI

Dany jest model

Y_t = 1, 3203X_1t + 3, 8483 + u_t

oraz współczynnik korelacji liniowej Pearsona między produkcją a zatrudnieniem r=0,9349

Wolnego parametru nie badamy pod względem koincydencji.

Zasada koincydencji głosi, że:

sgn(r_x, y)≡sgn(a₁)

Stąd wynika że:

sgn(r_x1t, yt)≡sgn(a₁)

Weryfikacja modelu

Wartości teoretyczne modelu dane są następującą formułą

Y_t^* = 1, 3202X_t + 3, 8483

Zatem mamy:

Y₁^* = 1, 3202 × 28 + 3, 8483 = 40.8174

Y₂^* = 1, 3202 × 24 + 3, 8483 = 35, 5361

⋮               ⋮             ⋮              ⋮                   ⋮

Y₂₀^* = 1, 3202 × 32 + 3, 8483 = 46, 0987

wektor zatrudnienia

Reszty modelu

Reszta modelu dana jest następującą formułą

u_t = y_t − y_t^* E(ξ)=0

Stąd

u₁ = 35, 2 − 40, 8174 = −5, 6174

u₂ = 33, 8 − 35, 5361 = −1, 7361

⋮            ⋮                ⋮                      ⋮

u₂₀ = 46, 8 − 46, 0987 = 0, 7013

wartość empiryczna wartość teoretyczna

reszta „ – ” modelu przeszacowanie

reszta „ + ” modelu niedoszacowanie

reszta „ 0 ” stan idealny

Stąd:

$$\sum_{t = 1}^{20}u_{t} = 0,0000$$

MIARY STRUKTURY STOCHASTYCZNEJ

Wariancja resztowa i odchylenie standardowe reszt

Przy spełnionych warunkach Metody Najmniejszych Kwadratów nieobciążonym estymatorem wariancji resztowej jest wariancja resztowa wyznaczona wg następującej formuły:

$$\text{Su}^{2} = \frac{1}{n - k}\ \sum_{i = 1}^{n}{(Y_{t} - Y_{t}^{*})^{2}} = \frac{1}{n - k}\sum_{t = 1}^{n}u_{t}^{2}$$

n – liczba obserwacji

k – liczba parametrów

n-k – stopnie swobody

Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej daje tzw. Odchylenie standardowe reszt, czyli:

$$Su = \sqrt{\text{Su}^{2}}$$

(Im większa wariancja tym lepiej – lepszy model )

Interpretacja odchylenia standardowego:

Odchylenie standardowe reszt informuje o ile średnio rzecz biorąc in plus bądź in minus odchylają się rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model.

Przykład:

n = 20 Su² = 0, 9930 (tys.szt.)²

Stąd:

k = 2 Su = 3, 1612 (tys.szt.)

Rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej Y_t (wielkość produkcji) odchylają się średnio rzecz biorąc in plus bądź in minus o 3,1612 (tyś. szt.) od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model.

Macierz wariancji i kowariancji oraz średnie błędy szacunku

(są to miary służące do badania precyzji modelu)

Przy spełnionych warunkach Metody Najmniejszych Kwadratów macierz wariancji i kowariancji dana jest następującą formułą:

D²(a) = S²(X^′X)⁻¹

gdzie S² = Su²

D²(a) = Su²(X^′X)⁻¹

$D^{2}\left( a \right) = \begin{bmatrix} \sqrt{} & \\ & \sqrt{} \\ \end{bmatrix}$

Wyciągając pierwiastek z głównej przekątnej otrzymujemy błędy oszacowania parametrów.

Miary struktury stochastycznej (wariancja resztowe oraz macierz wariancji i kowariancji) modelu związane są ze składnikiem losowym.

Miaryą precyzji parametrów strukturalnych są średnie błędy szacunku.

Kwadraty błędów szacunku znajdują się na głównej przekątnej macierzy wariancji i kowariancji. Pierwiastek wariancji estymatora daje zatem średni błąd szacunku dla danego parametru.

Przykład:

$$(X^{'}X) = \begin{bmatrix} 18537 & 597 \\ 597 & 20 \\ \end{bmatrix}$$

$(X^{'}X)^{- 1} = \begin{bmatrix} 0,0014 & - 0,0417 \\ - 0,0417 & 1,2939 \\ \end{bmatrix}$ ← macierz pomnożona przez Su²

$D^{2}(a) = \begin{bmatrix} 0,0139 & - 0,4163 \\ - 0,4163 & 12,9258 \\ \end{bmatrix}$ główna przekątna musi być dodatnia

(kowariancja – miara zależności, nie jest unormowana na żadnym przedziale)

Z głównej przekątnej wyciągamy pierwiastki.

Odchylenie standardowe estymatora = średnie błędy szacunku

$$D\left( a_{1} \right) = \sqrt{0,0139} = 0,1181$$

$$D\left( a_{2} \right) = \sqrt{12,9258} = 3,5952$$

Błąd szacunku podpisuje się pod parametrem

Y_t = 1, 3203X_1t + 3, 8483 + u_t

(0,1181) (3,5952)

MIARY DOPASOWANIA MODELU DO DANYCH EMPIRYCZNYCH

Współczynnik zbieżności

Dany jest następującą formułą

$$\varphi^{2} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}{(Y_{t} - Y_{t}^{*})^{2}}}{\sum_{t = 1}^{n}{(Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y})^{2}}}$$

Miara φ² przyjmuje wartości z przedziału [0,1]. Im wartość współczynnika zbieżności jest bliższa jedności bądź równa 1 tym gorzej model dopasowany jest do rzeczywistości.

Ogólna interpretacja

Współczynnik zbieżności informuje w jaki stopniu wariancja zmiennej endogenicznej Y_t (zmienność Y_t) nie została wyjaśniona przez model ekonometryczny.

Współczynnik determinacji

Jest miarą alternatywną w stosunku do współczynnika zbieżności i dany jest formułą

R² = 1 − φ²

Przyjmuje wartości z przedziału [0,1]. Im współczynnik determinacji jest bliższy jedności lub równy 1 tym lepiej model dopasowany jest do rzeczywistości.

Interpretacja faktyczna

Współczynnik determinacji informuje w jakim stopniu wariancja zmiennej endogenicznej Y_t została wyjaśniona przez model ekonometryczny.

Wady:

Jego wartość rośnie wraz ze wzrostem liczby zmiennych objaśniających modelu.

Skorygowany współczynnik determinacji

$${\tilde{R}}^{2} = 1 - \frac{n - 1}{n - m - 1}(1 - R^{2})$$

liczba obserwacji liczba zmiennych objaśniających

Między współczynnikiem determinacji i współczynnikiem skorygowanym determinacji zachodzi następująca nierówność:

$$R^{2} > {\tilde{R}}^{2}$$

Można tylko stosować dla modeli liniowych

Współczynnik zmienności losowej

Dany jest formułą:

$$Vs = \frac{\text{Su}}{\overset{\overline{}}{Y}} \times 100\%$$

średnia arytmetyczna z realizacji Y zmiennej endogenicznej

Im niższa wartość Vs tym lepiej dopasowany model, im wyższe Vs tym gorzej dopasowany model.

Współczynnik zmienności losowej informuje jaką część średniego poziomu zmiennej endogenicznej stanowią wahania przypadkowe.

Współczynnik zbieżności

$$\overset{\overline{}}{Y} = 43,26\ \left( tys.szt. \right)$$

$$\sum_{t = 1}^{20}{(y_{t} - \overset{\overline{}}{Y})^{2} = 1429,008}\ $$

$$\sum_{t = 1}^{20}{u_{t}^{2} = 179,8743}\ $$

stąd

φ² = 12, 59% wysoki poziom

Interpretacja

12,59% wariancji zmiennej endogenicznej Y_t (wielkość produkcji) nie zostało wyjaśnione przez model ekonometryczny.

Zatem:

Współczynnik determinacji wynosi:

R² = 87, 41%

87,41% wariancji zmiennej endogenicznej Y_t (wartość produkcji) zostało wyjaśnione przez model ekonometryczny.

Współczynnik zmienności losowej wynosi

Vs = 7, 31%

7,31% przeciętnego poziomu zmiennej endogenicznej Y_t stanowią wahania przypadkowe.

Przykład:

Na podstawie danych statystycznych w tablicy oszacować model:

Y_t =  α₁X_1t +  α₀ +  ξ_t

Yt	X1t	Y1^*	Ut^2	$$(Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y})^{2}$$
1	2	0,542	0,2089	0,062
0	0	1,17	1,3722	1,562
2	-2	0,2	0,04	0,562
2	-2	0,514	0,2644	0,562
	1,8857	2,75

Szacowanie parametrów strukturalnych

$Y = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ $X = \left\lbrack \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \\ - 1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right\rbrack$

$(X^{'}X)^{- 1} = \begin{bmatrix} 0,114 & 0,028 \\ 0,028 & 0,257 \\ \end{bmatrix}$ $X^{'}Y = \begin{bmatrix} - 4 \\ 5 \\ \end{bmatrix}$

$$a = \begin{bmatrix} - 0,31 \\ 1,17 \\ \end{bmatrix}$$

↓

Y₁ = −0, 31X_1t + 1, 17 + u_t

Wzrost X o 1 jednostkę spowoduje przeciętny spadek zmiennej endogenicznej Y_t o 0,31 jednostki.

Wartości teoretyczne modelu

Y₁^* = −0, 31 × 2 + 1, 17 = 0, 542

Y₂^* = −0, 31 × 0 + 1, 17 = 1, 17

⋮               ⋮          ⋮         ⋮              ⋮

Y₄^* = −0, 31 × ( − 1)+1, 17 = 1, 485

Wariancja resztowa

$Su^{2} = \frac{1}{n - k}\sum_{}^{}{(Y_{t} - Y_{t}^{*})^{2}}$ - wyniki w tabeli

n = 4 k = 2

↓

$$Su^{2} = \frac{1}{4 - 2} \times 1,8857 = 0,9428$$

Odchylenie standardowe reszt

$$Su = \sqrt{0,9428} = 0,971$$

Macierz wariancji i kowariancji oraz średnie błędy szacunku.

D²(a) = Su²(X^′X)⁻¹

$$D^{2}\left( a \right) = 0,9428 \times \begin{bmatrix} 0,114 & 0,028 \\ 0,028 & 0,257 \\ \end{bmatrix} = 0,32$$

Stąd średnie błędy szacunku dane są jako:

$$D^{2}\left( a_{1} \right) = \sqrt{0,1077} = 0,32$$

$$D^{2}\left( a_{*} \right) = \sqrt{0,2424} = 0,49$$

Model zapisany jako

Y₁ = −0, 31X_1t + 1, 17 + u_t

(0,32) (0,49)

Dopasowanie modelu do danych empirycznych

Współczynnik zbieżności

$\varphi^{2} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}{(Y_{t} - Y_{t}^{*})^{2}}}{\sum_{t = 1}^{n}{(Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y})^{2}}}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \frac{1,8857}{2,75} = 0,6857$ → φ² = 68, 57%

Średnia zmiennej endogenicznej wynosi:

$$\overset{\overline{}}{Y} = 1,25$$

Współczynnik determinacji:

R² = 1 − φ² = 1 − 0, 6857 = 0, 3143

↓

R² = 31, 43

Współczynnik zmiennej losowej

$Vs = \frac{\text{Su}}{\overset{\overline{}}{Y}} \times 100\%$ → $Vs = \frac{0,9428}{1,25} \times 100\% = 77,68$

WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW

1. Estymator nieobciążony

Estymator jest nieobciążony jeżeli jego wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) jest równa estymowanemu parametrowi.

[czyli modelujemy na poziome przeciętnym (średnim)

Y_t = Y_t^* → $\overset{\overline{}}{Y} = \overset{\overline{}}{Y^{*}}$

Przeciętny poziom świata teoretycznego jest taki sam jak przeciętny poziom świata rzeczywistego wtedy estymator jest nieobciążony]

E(a)=α

poziom średniej

Dla modelu danego jako

y = Xα + ξ

(model ekonometryczny macierzowy dla dowolnego modelu z wieloma zmiennymi objaśniającymi)

Wektor parametrów strukturalnych dany jest jako

a = (X^′X)⁻¹ X′Y

Jest estymatorem nieobciążonym czyli

E(a) = E[(X^′X)⁻¹X^′Y] = E[(X^′X)⁻¹X^′(Xα+ξ)] 

Ponieważ zmienne X (objaśniające) są nielosowe, więc:

E(α) = α

E(ξ) = 0 (wartość oczekiwana składnika losowego =0)

Stąd estymator parametrów strukturalnych jest nieobciążony jeżeli:

1. zmienne objaśniające są nielosowe – kowariancja składnika losowego nie zależy od zmiennych objaśniających

E(Xξ) = 0

1. składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zero

E(ξ) = 0

1. Estymator zgodny

Estymator parametru α jest zgodny jeżeli jest stochastycznie zbieżny do szacowanego niezgodnego parametru α. Oznacza to, że przy wzroście liczby obserwacji do nieskończoności jego wartość dąży stochastycznie do prawdziwej wartości parametru

p{|a−α|<ε} = 1

Jeżeli wraz ze wzrostem liczebności próby oczekiwana wartość rozkładu estymatora zmierza do wartości szacowanego parametru, a jednocześnie wariancja estymatora zmierza do zera, to estymator taki jest zgodny

1. Estymator efektywny

Przy danych kilku estymatorach zgodnych i nieobciążonych estymatorem najefektywniejszym jest ten, który posiada najmniejszą wariancję.

Jeżeli spełnione są założenia klasyczne Metody Najmniejszych Kwadratów (dotyczące składnika losowego oraz zmiennych objaśniających) to estymator:

a = (X^′X)⁻¹ X′Y

jest estymatorem najefektywniejszym spośród estymatorów liniowych, gdzie jego wariancja dana jest następującą formułą:

D²(a) = δ(X^′X)⁻¹

Założenie klasyczne Metody Najmniejszych Kwadratów w odniesieniu do własności estymatorów:

1. Jeżeli zmienne objaśniające są współliniowe, to nie istnieje estymator dany formułą:

a = (X^′X)⁻¹  X′Y

ponieważ nie istnieje macierz odwrotna do macierzy X’X ponieważ wyznacznik macierzy jest równy zero czyli:

det(X^′X) = 0.

1. Jeżeli wariancja składnika losowego nie jest stała w czasie to:

a = (X^′X)⁻¹  X′Y

jest nieobciążony i zgodny, ale nie jest już najefektywniejszy.

1. Jeżeli składnik losowy jest zależny

cov(ξ_t, ξ_t + τ)≠0

a w zbiorze zmiennych objaśniających nie ma zmiennej endogenicznej opóźnionej w czasie to:

a = (X^′X)⁻¹  X′Y

jest nieobciążony i zgodny, ale nie jest już najefektywniejszy.

1. Jeżeli składnik losowy jest zależny

cov(ξ_t, ξ_t + τ)≠0

a w zbiorze zmiennych objaśniających istnieje zmienna endogeniczna opóźniona w czasie to:

a = (X^′X)⁻¹  X′Y

nie jest zgodny.

1. Jeżeli wariancja składnika losowego jest funkcją zmiennych objaśniających to estymator

a = (X^′X)⁻¹  X′Y

nie jest zgodny.

Klasyczne założenia dotyczące składnika losowego

Dana jest macierz wariancji i kowariancji składnika losowgo

$$E\left( \xi\xi^{'} \right) = \left\lbrack \begin{matrix} D^{2}\left( \xi_{1} \right) \\ E(\xi_{2}\xi_{1}) \\ \ldots \\ E(\xi_{n}\xi_{1}) \\ \end{matrix}\begin{matrix} E\left( \xi_{1}\xi_{2} \right) \\ D^{2}\left( \xi_{2} \right) \\ \ldots \\ E(\xi_{n}\xi_{2}) \\ \end{matrix}\begin{matrix} E\left( \xi_{1}\xi_{3} \right) \\ E\left( \xi_{2}\xi_{3} \right) \\ \ldots \\ E(\xi_{n}\xi_{3}) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \end{matrix}\begin{matrix} E\left( \xi_{1}\xi_{n} \right) \\ E\left( \xi_{2}\xi_{n} \right) \\ \ldots \\ D^{2}\left( \xi_{n} \right) \\ \end{matrix} \right\rbrack$$

Macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest: (główna przekątna jest wariancją)

- macierzą kwadratową, symetryczną o wymiarach (n^*n)

- na głównej przekątnej znajdują się wariancje składników losowych poszczególnych okresów (w przypadku szeregów czasowych) natomiast poza główną przekątną znajdują się kowariancje między składnikami losowymi poszczególnych okresów

Cztery sytuacje ze względu na macierz wariancji i kowariancji składnika losowego

Sytuacja 1.

Spełnione założenia Metody Najmniejszych Kwadratów

- wariancja jest jednorodna:

D²(ξ₁) = D²(ξ₂) = … = D²(ξ_n) = δ²

- brak autokorelacji, czyli składnik losowy jest niezależny:

E(ξ_tξ_t + τ) = 0 dla każdego τ > 0

wówczas macierz wariancji i kowariancji ma następującą postać:

$$E\left( \xi\xi^{'} \right) = \left\lbrack \begin{matrix} \delta^{2} \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ \text{\ δ}^{2} \\ \ldots \\ 0 \\ \end{matrix}\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ \ldots \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \ldots \\ \delta^{2} \\ \end{matrix} \right\rbrack = \delta^{2}1n$$

δ² - wariancja składnika losowego

δ²1n - macierz jednostkowa

Sytuacja 2.

Nie jest spełnione założenie o jednorodności wariancji składnika losowego

Oznacza to iż:

D²(ξ₁) ≠ D²(ξ₂) ≠ … ≠ D²(ξ_n) ≠ δ²

a składnik losowy jest niezależny (nie występuje autokorelacja składnika losowego) tzn.

E(ξ_tξ_t + τ) = 0 dla każdego τ > 0

wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą diagonalną i ma postać:

$$E\left( \xi\xi^{'} \right) = \left\lbrack \begin{matrix} D^{2}\left( \xi_{1} \right) \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ D^{2}\left( \xi_{2} \right) \\ \ldots \\ 0 \\ \end{matrix}\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ \ldots \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \ldots \\ D^{2}\left( \xi_{n} \right) \\ \end{matrix} \right\rbrack$$

Sytuacja 3.

Jeżeli spełnione jest założenie o jednorodności wariancji składnika losowego, czyli:

D²(ξ₁) = D²(ξ₂) = … = D²(ξ_n) = δ²

a składnik losowy jest zależny (występuje autokorelacja składnika losowego)

wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą symetryczną i ma postać:

$$E\left( \xi\xi^{'} \right) = \left\lbrack \begin{matrix} \delta^{2} \\ \rho_{21} \\ \ldots \\ \rho_{n1} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \rho_{12} \\ \text{\ δ}^{2} \\ \ldots \\ \rho_{n2} \\ \end{matrix}\ \begin{matrix} \rho_{13} \\ \rho_{23} \\ \ldots \\ \rho_{n3} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ \ldots \\ \end{matrix}\begin{matrix} \rho_{1n} \\ \rho_{2n} \\ \ldots \\ \delta^{2} \\ \end{matrix} \right\rbrack$$