Biegunami układu (si) – w przestrzeni liczb zespolonych transmitancja, której mianownik jest wielomianem stopnia n-tego ma dokładnie n biegunów– niektóre z nich mogą być wielokrotne;Charakterystyka amplitudowo-fazowa to wykres transmitancji widmowej G(jω) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej, przy czym na osi rzeczywistej odkładamy część rzeczywistą transmitancji P(ω), a na osi urojonej część urojoną Q(ω) transmitancji widmowej.Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów rzeczywistych, dla których stopień wielomianu licznika transmitancji jest niższy od stopnia wielomianu mianownika, dążą do początku układu współrzędnychCharakterystyka czasowa jest przebiegiem w czasie odpowiedzi układu dynamicznego y(t) na określone wymuszenie u(t). Charakterystyki częstotliwościowe to różne postacie zależności (wykresów) transmitancji widmowej układu w funkcji pulsacji ω. Charakterystyki częstotliwościowe: - charakterystyka amplitudowo-fazowa, -charakterystyka amplitudowa i charakterystyka fazowa, -charakterystyka logarytmiczna modułu (amplitudowa) i charakterystyka logarytmiczna fazy, -charakterystyka logarytmiczna amplitudowo-fazowa. Człon inercyjny pierwszego rzędu-Równanie wiążące sygnał wyjściowy y(t) z sygnałem wejściowym u(t) jest liniowym równaniem różniczkowym, zawierającym pochodną rzędu pierwszego (reprezentuje więc dynamiczną zależność wyjścia od wejścia). Człon proporcjonalny (bezinercyjny) Jest to najprostszy człon, będący elementem układów dynamicznych. Jest zwyczajowo zaliczany do członów dynamicznych, chociaż równanie wiążące sygnał wyjściowy z sygnałem wejściowym jest równaniem algebraicznym Elementy schematów blokowych: 1)Elementarne bloki dynamiczne – reprezentują operacje matematyczne wykonywane na sygnałach wejściowych, w wyniku których są wytwarzane odpowiednie sygnały wyjściowe. Elementarne bloki dynamiczne są przedstawiane w postaci prostokątów; wewnątrz prostokąta umieszcza się informacje dotyczące właściwości bloku – w układach liniowych zwykle podaje się transmitancję operatorową. 2) Węzły zaczepowe (informacyjne) – umożliwiają przekazanie tego samego sygnału (informacji) do kilku różnych punktów schematu blokowego. Węzeł zaczepowy ma jedno wejście i co najmniej dwa wyjścia.3) Węzły sumacyjne – umożliwiają algebraiczne sumowanie kilku sygnałów. Węzeł sumacyjny ma co najmniej dwa wejścia (z oznaczeniami znaku sygnałów wejściowych) oraz jedno wyjście. Sygnał wyjściowy jest sumą algebraiczną lub różnicą sygnałów dochodzących do węzła sumacyjnego. Informacja- wartość lub kształt przebiegu sygnału. Logarytmiczna charakterystyka modułu (amplitudowa) przedstawia wykres zależności między logarytmem dziesiętnym modułu transmitancji widmowej A(ω) i logarytmem dziesiętnym pulsacji ω. Logarytm dziesiętny modułu transmitancji widmowej Lm(ω) = 20logA(ω) podaje się w decybelach [dB]. przedstawia wykres zależności argumentu transmitancji widmowej φ(ω) od logarytmu dziesiętnego pulsacji ω.

Model to reprezentacja badanego obiektu w innej postaci, niż ta, w której występuje on w rzeczywistości. Model jest to uproszczona reprezentacja rzeczywistości.Model matematyczny to skończony zbiór symboli i relacji matematycznych oraz ścisłych zasad operowania nimi. Modelowanie matematyczne to użycie języka matematyki do opisania zachowania układu, w sposób niezbędny do przeprowadzenia analizy działania obiektu i/lub syntezy układu Obiekt sterowania– każdy obiekt fizyczny (np. grzejnik, zbiornik z cieczą, reaktor chemiczny, samolot), na który można wywierać wpływ przez sterowanie. Obiekt pozostaje pod wpływem rozmaitych oddziaływań zewnętrznych– otoczenia Połączenie równoległe Jest to takie połączenie, w którym ten sam sygnał wejściowy działa równocześnie na kilka bloków, zaś sygnał wyjściowy układu bloków połączonych równolegle jest sumą algebraiczną sygnałów wyjściowych z poszczególnych bloków.

Połączenie szeregowe (kaskadowe, łańcuchowe) Jest to takie połączenie, w którym sygnał wyjściowy jednego bloku jest jednocześnie sygnałem wejściowym do następnego bloku. Transmitancja wypadkowa członów połączonych szeregowo jest równa iloczynowi transmitancji tych członów. Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym Jest to takie połączenie, w którym sygnał wyjściowy z bloku znajdującego się w torze głównym sterowania oddziałuje wstecznie (w ogólnym przypadku – poprzez inny blok dynamiczny) na sygnał wejściowy tego bloku.Przestrzeń stanów to n-wymiarowa przestrzeń, w której każdy stan może być przedstawiony przez punkt w tej przestrzeni.Rodzaje sterowania:- ręczne (przy pomocy człowieka), - automatyczne (za pomocą urządzenia technicznego– sterownika lub regulatora).Rodzaje wymuszenia: - impuls Diraca δ(t) (funkcja wagi układu) - mówimy wówczas o odpowiedzi impulsowej g(t:)u(t)=δ(t)=0dla t≠0, +∞ dla t=0 - skok jednostkwy 1(t) (tzw. funkcja Heaviside’a) - mówimy wówczas o odpowiedzi skokowej h(t):u(t)=1(t)= 0 dla t<0, 1dla t≥0 Równania stanu W przypadku ogólnym– gdy układ liniowy nie jest stacjonarny elementy macierzy są funkcjami czasu.Równanie różniczkowe- równanie wyznaczające zależność między nieznaną funkcją a jej pochodnymi. 1.W przypadku ogólnym– opis dynamicznego układu ciągłego o stałych skupionych ma postać funkcji nieliniowej o zmiennych w czasie.2. Jeżeli układ jest liniowy, ale nie jest stacjonarny, opis jest liniowym równaniem różniczkowym o współczynnikach, które mogą być zmienne w czasie.3. Opis układu ciągłego, liniowego i stacjonarnego ma postać liniowego równania różniczkowego o stałych w czasie współczynnikach. Schematy blokowe układów: 1)są graficznym opisem transformacji, które wykonuje każdy element układu sterowania na sygnałach wejściowych tego elementu; 2)dostarczają informacji o powiązaniach pomiędzy poszczególnymi elementami układu sterowania; 3) zawierają informacje o zachowaniu dynamicznym układu, lecz nie zawierają informacji o jego fizycznej konstrukcji – jakkolwiek bloki mogą odpowiadać fizycznie „rozróżnialnym” elementom układu.Stabilność układu sterowania jest jego najważniejszą cechą –układ stabilny ma zdolność do wykonywania zadań, dla których został zbudowany, układ niestabilny tej zdolności nie ma. stabilność globalna -stabilność punktu równowagi dla dowolnie dużych warunków początkowych (dowolnie dużego promienia ρ); globalny punkt równowagi jest jednocześnie lokalnym, ale nie odwrotnie! stabilność lokalna -stabilność układu w pewnym (zwykle niewielkim) otoczeniu punktu równowagi; Stabilność układu sterowania automatycznego (automatycznej regulacji) to właściwość układu polegająca na: -powrocie do stanu równowagi trwałej (stałej) po ustaniu działania wymuszenia, które wytrąciło układ z tego stanu, -osiągnięciu nowego stanu równowagi trwałej (stanu ustalonego), jeśli wymuszenie pozostało na stałym poziomie. stan równowagi jest asymptotycznie stabilny, jeżeli każda trajektoria startująca z wnętrza kuli (wielowymiarowego obszaru hipersferycznego) jest zbieżna do punktu równowagi x = 0 dla czasu t → ∞; stan równowagi jest niestabilny, gdy dla dowolnie dużego ε i pewnego dowolnie małego ρ istnieje zawsze taki punkt początkowy, dla którego trajektoria wychodzi poza granice kuli (hipersfery) o promieniu ε. Sterowanie (regulacja) polega na takim celowym oddziaływaniu na obiekt sterowania, za pomocą sygnałów wejściowych, aby jego sygnały wyjściowe osiągnęły pożądaną wartość. Sygnał– przebieg w czasie dowolnej wielkości fizycznej (fizykalnej) występującej w układzie sterowania, będącej nośnikiem informacji.Sygnałem deterministycznym jest sygnał, którego wartość w każdej chwili czasu jest jednoznacznie określona za pomocą zależności matematycznych. Dzielimy na: okresowe, gdy f(t) = f(t+T), nieokresowe Sygnał harmoniczny jako sygnał wymuszający (pobudzający) na wejściu elementu liniowego jest istotny ze względu na: - dość częste występowanie w wielu układach, - użyteczność w analizie – możliwość rozkładu innych sygnałów o charakterze okresowym na szereg Fouriera złożony z funkcji harmonicznych.

Sygnał harmoniczny: u(t) = A₁ * (cos(ωt)+jsin(ωt)) = A₁(ω)e^jωt; W stanie ustalonym układ liniowy nie zmienia charakteru (kształtu) sygnału wymuszającego! Sygnały losowe są to sygnały, które opisujemy za pomocą procesów stochastycznych. Dzielimy na: stacjonarne, niestacjonarne. Sygnały wejściowe– wielkości fizyczne (np. prąd, napięcie, przepływ, temperatura, ciśnienie), za pomocą których otoczenie oddziałuje na obiekt. Oddziaływanie to ma dwojaką postać:-sterowania, które ma charakter zamierzony,- zakłócenia, które ma charakter przypadkowy (niezamierzony) i wywiera niekorzystny wpływ na obiekt. Sygnały wyjściowe– wielkości fizyczne, za pomocą których obiekt oddziałuje na otoczenie, bądź informacje o przebiegu procesów zachodzących w obiekcie. Transmitancja operatorowa- (funkcja przejścia, G(s) – stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu przy zerowych warunkach początkowych Transmitancja widmowa G(jω) jest stosunkiem transformaty sygnału wyjściowego Y(jω) do transformaty Fouriera harmonicznego sygnału wejściowego U(jω), wyznaczanych w stanie ustalonym, przy zerowych warunkach początkowych. Twierdzenie Hurwitza- wielomian charakterystyczny M(s) ma wszystkie miejsca zerowe o ujemnych miejscach rzeczywistych wtedy i tylko wtedy gdy: - wszystkie współczynniki M(s) nie są zerowe i mają ten sam znak; -wszystkie podwyznaczniki Δ₁, …, Δ_n − 1 są dodatnie Δ_n = a₀*_n − 1. Twierdzenie Nyquista- jeśli układ otwarty jest stabilny to układ zamknięty też jest stabilny, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa G(jw) nie obejmuje punktu -1+jo Twierdzenie o stabilności wg Lapunowa można również sformułować następująco: -stan równowagi jest stabilny, jeżeli dla każdego promienia ε istnieje pewien promień ρ, taki, że jeżeli pewna trajektoria startuje z punktu x0, znajdującego się wewnątrz kuli o promieniu ρ, to będzie ona potem stale pozostawać wewnątrz kuli o promieniu ε; Układz otwarty: urządzenie sterujące nie otrzymuje informacji o aktualnej wartości wielkości wyjściowej. Cechy: pobudza się wejście u nie obserwując tego, co dzieje się na wyjściu y. nie wykorzystuje się informacji wyjściowej y, wymaga znajomości „zachowania” sterowanego obiektu. Można podzielić na: układy z kompensacją zakłóceń, programowe( wartość zadana jest określoną funkcją) Układ sterowania- co najmniej: obiekt sterowania+ element sterujący. Zazwyczaj w układzie automatycznym:elementy nastawcze+ regulatory+ elem. wykonawcze+ elem. pomiarowe. Układ zamknięty- urządzenie sterujące otrzymuje informację o aktualnej wartości zmiennej wyjściowej. Osiąga się to dzięki zastosowaniu pętli sprzężenia zwrotnego. Cechy: porównuje się wartości sygnałów wyjściowych y z sygnałami zadanymi w, porównanie jest realizowane przez ujemne sprzężenie zwrotne, układ reaguje na zmiany sygnałów wyjściowych y Wektor stanu określa jednoznacznie stan (t) układu w chwili t ≥ t 0 , gdy stan początkowy jest znany oraz jest określony sygnał wejściowy u(t). Właściwości transmitancji operatorowej: 1.Transmitancja układu dynamicznego jest jego modelem matematycznym; 2jest własnością niezmienniczą samego układu, niezależną od wielkości i postaci sygnału wejściowego; 3. przedstawia związki pomiędzy sygnałami wyjściowym i wejściowym, nie dostarcza informacji o fizycznej strukturze układu; 4. jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s, tzn. można ją przedstawić za pomocą ilorazu licznika i mianownika Zerami układu (s_j⁰) nazywamy – w przestrzeni liczb zespolonych wielomian stopnia m-tego ma dokładnie m zer – niektóre z nich mogą być wielokrotne; Związek pomiędzy transmitancją a równaniami stanu Równania stanu w postaci wektorowo-macierzowej: $\dot{x}\left( t \right) = \text{Ax}\left( t \right) + \text{Bu}\left( t \right);x\left( 0 \right) = x_{0}$ - równanie stanu; y(t)= Cx(t) + Du(t) równanie wyjścia. Po transformacji równanie stanu: sX(s) = AX(s) + BU(s); równanie wyjść Y(s) = CX(s) + DU(s).