Wydział FMiIS	Łukasz Sokół	Zespół: 3	Data
Grupa: 11	Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną	Nr. Ćwiczenia 5	Ocena

1. Wprowadzenie

Ciała stałe poddawane działaniu niezrównoważonych sił lub momentów sił ulegają odkształceniom. Jeżeli po usunięciu siły ciało odzyskuje pierwotny rozmiar i kształt, mówimy o jego właściwościach sprężystych.

Naprężenie mechaniczne pojawiające się w materiale jednorodnym, pochodzące od sił oddziaływania międzycząsteczkowego, równoważy siły zewnętrzne wywołujące odkształcenie materiału. Jeżeli kierunek sił odkształcających jest prostopadły do powierzchni ciała, to mówimy wtedy o naprężeniu normalnym σ, które określamy jako stosunek siły normalnej F_n do pola powierzchni S:

σ = (F_n / S)

Naprężenie nazywamy stycznym lub ścinającym, gdy działająca siła jest styczna do powierzchni. Jeżeli wartości sił działających na ciało są dostatecznie małe, to przesunięcie względne poszczególnych punktów materiału, czyli odkształcenie sprężyste, jest do nich proporcjonalne. Własność ta nosi nazwę prawa Hooke’a. Prawo Hooke’a zapisane dla naprężeń normalnych i obejmujące naprężenia dodatnie (ściskanie) i ujemne (rozciąganie) ma postac:

σ = Eε ,

gdzie miarą odkształcenia: ε = Δl/l jest wydłużenie względne. Współczynnik proporcjonalności E nazywa się modułem Younga. Prawo Hooke’a dla naprężeń stycznych wyraża się wzorem:

τ = Gα

gdzie odkształceniem względnym jest w tym wypadku kąt ścinania α. Współczynnik proporcjonalności G nazywa się modułem sztywności. Moduł ten (jak również E) jest dla danego materiału zależny od temperatury.

Jak wynika z teorii sprężystości, za pomocą tych dwóch niezależnych stałych można określić wszystkie własności sprężyste jednorodnego i izotropowego ciała. Na przykład przy zginaniu belki mamy do czynienia z czystym rozciąganiem i czystym ściskaniem opisywanym przez moduł E.

Moduł G charakteryzuje odkształcenia powstające przy skręcaniu pręta, ponieważ każdy element skręcanego drutu ulega odkształceniu typu prostego ściskania. Jeżeli jeden koniec cylindrycznego pręta o długości l i promieniu r jest zamocowany nieruchomo, a drugi skręcony o kąt φ, to wartość momenty sił sprężystych M pręta, dążącego do przywrócenia równowagi, jest proporcjonalna do kąta skręcenia φ, a stała proporcjonalności zależy od długości pręta, jego promienia oraz własności materiału:

.

Powyższy wzór jest dogodny do wyznaczania modułu sztywności G. Metoda statyczna polegałaby na pomiarze wielkości występujących we wzorze. W metodzie dynamicznej wyznacza się moduł sztywności z pomiaru okresu drgań wahadła torsyjnego. W tym celu pręt, którego moduł sztywności G mamy wyznaczyć, zawieszamy pionowo, a na jego końcu umieszczamy symetryczne ciało o znanym momencie bezwładności I. Gdy drut skręcimy i puścimy swobodnie, wibrator na jego końcu wykonuje drgania torsyjne, opisywane zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego równaniem:

I – moment bezwładności wibratora

- wektor przyspieszenia kątowego

M – wektor momentu sił działających na pręt

Równanie ruchu względem osi obrotu przechodzącej przez oś pręta ma postać równania oscylatora harmonicznego:

Gdzie wartość momentu kierującego: D=Gπr⁴/2l , a częstość drgań tego ruchu ω spełnia warunek: ω²=D/I.

Pręt wykonuje zatem drgania harmoniczne o okresie:

Mierząc okres T wahadła o momencie bezwładności I można wyznaczyć moduł sztywności G pręta.

2. Tabele Pomiarowe

Tabela 1.

l[m]	2r [m]	4m [kg]	2R[m]	D[m]	Φ[m]	t0[s]	t1[s]
0,38	0,00240	0,03162	0,049	0,231	0,00237	27,6	42,2
	0,00239			0,231		28,0	44,0
	0,00241			0,230		27,6	42,6
	0,00241			0,231		29,0	42,8
	0,00241			0,231		29,0	44,0
	0,00239			0,230		29,2	42,2
	0,00239			0,230		29,2	42,6
	0,00236			0,230		28,0	42,8
	0,00240			0,231		29,0	45,0
	0,00241			0,231		28,4	43,2

$\overset{\overline{}}{r} = 12 \bullet 10^{- 4}$m

$\overset{\overline{}}{R} = 0,0049$m

$\overset{\overline{}}{d} =$0,23 m

$$\overset{\overline{}}{t_{0}} = 28,5\ s$$

$$\overset{\overline{}}{t_{1}} = 28,9\ s$$

2. Obliczenia

Obliczenie wartości odległości osi krążków od osi obrotu wibratora:

Obliczenie wartości T, T₀

Wyznaczenie ze wzoru wartości momentu bezwładności pojedynczego krążka I₁:

• Obliczenie wartości modułu sztywności G dla drutu mosiężnego:

Dyskusja Błędu

r = 0, 01mm = 0, 01 • 10⁻³ m

m = 0, 01g = 0, 0110⁻³kg

R = 0, 01mm = 0, 01 • 10⁻³ m

a = 0, 01mm = 0, 01 • 10⁻³m

l = 0, 02mm = 0, 02 • 10⁻³m

(T₁−T₀) = (T₁+T₀) = T₁ + T₀

$$I_{1} = \left| \frac{\delta I_{1}}{\text{δm}} \right|m + \left| \frac{\delta I_{1}}{\text{δR}} \right|R + \left| \frac{\delta I_{1}}{\text{δa}} \right|a = \left( \frac{1}{2} \bullet 6,00 \bullet 10^{- 6} + 135,310^{- 4} \right)0,01 \bullet 10^{- 3} + 7,905 \bullet 10^{- 3} \bullet 2,45 \bullet 10^{- 3} \bullet 0,01 \bullet 10^{- 3} + 2 \bullet 7,905 \bullet 10^{- 3} \bullet 11,63 \bullet 10^{- 2} \bullet 0,01 \bullet 10^{- 3} = 15391 \bullet 10^{- 11} = 0,16 \bullet 10^{- 6} = 0,0002 \bullet 10^{- 3}\left\lbrack kg \bullet m^{2} \right\rbrack$$

$$\frac{I_{1}}{I_{1}} = \frac{0,0002 \bullet 10^{- 3}}{1,16 \bullet 10^{- 3}}0,0002$$

$$G = 735 \bullet 10^{- 4} \bullet 0,64 \bullet 10^{11} = 470 \bullet 10^{7} = 0,05 \bullet 10^{11}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$

$$G = \left( 0,64 \mp 0,05 \right) \bullet 10^{11}\frac{N}{m^{2}}$$

Lp.	T0i[s]	T0i - T0i[s]	(T0-T0i)^2[s^2]	T0i[s]	T1i – T1i[s]	(T1-T1i)^2[s^2]
1	0,92	0,03	9 • 10^−4	1,40	0,03	9 • 10^−4
2	0,93	0,02	4 • 10^−4	1,46	-0,03	9 • 10^−4
3	0,92	0,03	9 • 10^−4	1,42	0,01	1 • 10^−4
4	0,96	-0,01	1 • 10^−4	1,42	0,01	1 • 10^−4
5	0,96	-0,01	1•10^−4	1,46	-0,03	9 • 10^−4
6	0,97	-0,02	4•10^−4	1,40	0,03	9 • 10^−4
7	0,97	-0,02	4 • 10^−4	1,42	0,01	1 • 10^−4
8	0,93	0,02	4 • 10^−4	1,42	0,01	1 • 10^−4
9	0,96	-0,01	1 • 10^−4	1,50	-0,07	49 • 10^−4
10	0,94	0,01	1 • 10^−4	1,44	-0,01	1 • 10^−4

$$\sum_{i = 1}^{10}{{(T_{0} - T_{\text{oi}})}^{2} = 34} \bullet 10^{- 4}\text{\ \ }s^{2}$$

$$T_{0} = \sqrt{\frac{34 \bullet 10^{- 4}}{90}} = 0,6 \bullet 10^{- 2} = 0,006\ s$$

$$\sum_{i = 1}^{10}{{(T_{1} - T_{1i})}^{2} = 90} \bullet 10^{- 4}\text{\ \ }s^{2}$$

$$T_{0} = \sqrt{\frac{90 \bullet 10^{- 4}}{90}} = 0,01\ s$$