Imię i nazwisko:	Ćwiczenie nr M5 Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną.
Kierunek i rok:	Ocena z kolokwium: ....................................... data ....................... podpis...........................	Ocena ze sprawozdania: ....................................... data ....................... podpis...........................	Ocena końcowa: ....................................... data ....................... podpis...........................
Nazwisko prowadzącego zajęcia:

Moment siły - wektorowa wielkość fizyczna będąca miarą oddziaływania między ciałami najczęściej w ruchu obrotowym i krzywoliniowym (choć do samego określenia momentu siły ruch nie jest w ogóle konieczny), definiowana względem ustalonego punktu lub osi obrotu. W opisie ruchu obrotowego odgrywa rolę analogiczną, jak siła w ruchu postępowym. Moment siły działający na punkt materialny jest równy iloczynowi wektorowemu wektora położenia r i siły F:

(Pseudo) wektor M_s jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory r i F, a jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. Wartość momentu siły jest równa:

p.160.

Jednostką momentu siły jest niutonometr (N∙m) - moment siły 1N względem punktu leżącego w odległości 1m od kierunku działania siły.

Moment bezwładności bryły (względem ustalonej osi) - wielkość charakteryzująca dynamiczne własności bryły w ruchu obrotowym wokół ustalonej osi obrotu. Spełnia rolę podobną do masy w ruchu postępowym. Jednak w przeciwieństwie do masy moment bezwładności zależy od wyboru osi obrotu:

r_i - odległość elementu bryły o masie m_i od osi obrotu.

Moment bezwładności jest wielkością pomocniczą i jego wprowadzenie zostało podyktowane względami prostoty opisu układu sztywno połączonych punktów materialnych.

Metody wyznaczania momentu bezwładności bryły:

* Wyznaczanie momentu bezwładności były metodą wahadła fizycznego. Każdą bryłę sztywną zawieszoną na osi przechodzącej powyżej środka masy możemy traktować jako wahadło fizyczne. Bryła, tak zawieszona, po wychyleniu z położenia równowagi porusza się ruchem wahadłowym z okresem:

I - moment bezwładności bryły względem osi wahań,

m - jej masa,

l - odległość środka masy od osi wahań.

* Wyznaczanie momentu bezwładności bryły metodą wahadła torsyjnego. Wahadłem torsyjnym nazywamy umocowaną na osi bryłę, która skręcona od położenia równowagi, porusza się ruchem wahadłowym, harmonicznym pod wpływem siły sprężystości.

I - moment bezwładności,

D - moment kirujący.

* Wyznaczanie momentu bezwładności bryły za pomocą stolika obrotowego Stolik obrotowy stanowi pozioma tarcza T umocowana w odpowiednim uchwycie na poziomej osi, obracającej się w łożyskach kulkowych z niewielkim tarciem. Na krążek osadzony na osi nawinięta jest nić, przełożona przez bloczek, a na jej końcu zawieszona jest szalka. Ciężar szalki, łącznie z ciężarem nałożonego odważnika stanowi siłę F_c, pod której działaniem rozpoczyna się ruch jednostajnie przyspieszony układu spadającego, oraz ruch obrotowy przyspieszony talerza T.

Twierdzenie Steinera (o osiach równoległych) - moment bezwładności osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy bryły wyraża się wzorem:

I₀ - moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy bryły,

d - odległość obu prostych,

m - masa.

Ruch bryły sztywnej.

Doskonale sztywnym nazywamy ciało, w którym odległość pomiędzy dowolnymi dwoma punktami jest stała niezależna od sił, działających na to ciało. Inaczej mówiąc, kształt i wymiary takiego ciała pozostają niezmienne.

W zależności od rodzaju przesunięć różnych punktów ciała doskonale sztywnego dzielimy jego ruchy na:

Ruchem postępowym ciała doskonale sztywnego nazywamy ruch, w którym dowolna prosta sztywno związana z ciałem przemieszcza się równolegle do samej siebie. Schemat ruchu postępowego pokazuje rysunek:

r.1.10.s.26

W ruchu postępowym ciała doskonale sztywnego tory AA' i BB' dowolnych dwóch jego punktów są identyczne: można je doprowadzić do całkowitego przystawania przez równoległe przesunięcie wzdłuż prostej AB. Dlatego przyrosty promieni wodzących wszystkich punktów ciała w dowolnym momencie czasu mają jednakowe prędkości i przyspieszenia.

Obrotem lub ruchem obrotowym ciała doskonale sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała zakreślają okręgi o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Os jest prostopadła do płaszczyzn tych okręgów. Ruch obrazuje rysunek:

r.1.11.s.26.

Punkty ciała doskonale sztywnego, leżące w różnych odległościach od osi obrotu, w jednakowym czasie zakreślają okręci o różnej długości i dlatego mają różną prędkość liniową. Jednocześnie, jak wynika z określenia ruchu obrotowego ciała doskonale sztywnego, wszystkie promienie wodzące, łączące punkty ciała z środkami zakreślanych okręgów, obracają się w tym samym czasie o taki sam kąt. W przeciwnym wypadku zmieniłyby się odległości między różnymi punktami ciała.

Każde rozbić myślowo na tak wielką liczbę n małych części, żeby ich rozmiary były bardzo małe w porównaniu z rozmiarami całego ciała. Dlatego ciało możemy zawsze uważać za układ n punktów materialnych, których suma mas równa się masie m ciała:

m_i - masa i-tego punktu materialnego.

Jeżeli ciało jest doskonale sztywne, to odległość między dowolnymi dwoma jego punktami materialnymi nie zmienia się podczas ruchu ciała.

Rozpatrzymy prawidłowość ruchu ciała sztywnego zamocowanego w nieruchomym punkcie O, dookoła którego ciało może się swobodnie obracać. Punkt O nazywamy środkiem obrotu ciała sztywnego. Umieśćmy w tym punkcie początek nieruchomego układu współrzędnych. Położenie i-tego punktu ciała w przestrzeni w zupełności wyznacza promień wodzący r_i poprowadzony z punktu O do rozważanego punktu. Niech F_ik oznacza siłę, z jaką k-ty punkt ciała działa na jego punkt i-ty, a F_i wypadkową wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do punktu i-tego. Zgodnie z drugą zasadą Newtona równanie ruchu tego punktu materialnego ma postać:

v_i = dr_i /dt - prędkość i-tego punktu.

Wskaźnik k przybiera wszystkie wartości od 1 do n, z wyjątkiem k = i, ponieważ punkt i-ty nie może działać sam na siebie.

Pomnóżmy wektorowo obie strony tego równania przez r_i:

Łatwo zauważyć, że znak pochodnej względem czasu po lewej stronie równania można wyłączyć przed znak iloczynu wektorowego. Rzeczywiście:

dlatego, że:

jako iloczyn wektorowy dwóch jednakowo skierowanych wektorów.

Wobec tego równanie wyjściowe przyjmie postać:

Opierając się na pewnych zależnościach:

możemy zapisać następujące równanie:

Wynik tych przekształceń nazywamy podstawową zasadą dynamiki ruchu obrotowego ciała zamocowanego w jednym punkcie nieruchomym. Sformułować można ją słownie: szybkość zmian momentu pędu ciała obracającego się dookoła punktu nieruchomego równa się wypadkowemu momentowi względem tego punktu wszystkich sił zewnętrznych, przyłożonych do ciała.

Załóżmy teraz, że ciało sztywne jest zamocowane w dwóch punktach nieruchomych O i O₁ w taki sposób, że może obracać się dookoła nieruchomej osi Oz przechodzącej przez te punkty. W ty przypadku składowe momentu M względem punktu O skierowane wzdłuż osi Ox i Oy są zrównoważone przez odpowiadające im momenty sił reakcji w punkcie zamocowania O₁. Dlatego obrót ciała dookoła osi Oz odbywa się pod działaniem składowej M_z momentu sił zewnętrznych względem punktu O. Rzutują powyższe równanie na oś Oz otrzymamy równanie ruchu:

K_z - moment pędu ciała,

M_z - wypadkowy moment sił zewnętrznych względem osi Oz.

Powyższe równanie wyraża podstawowa zasadę dynamiki ciała obracającego się dookoła nieruchomej osi: szybkość zmian momentu pędu ciała względem nieruchomej osi obrotu równa się wypadkowemu momentowi względem tej osi wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało.

Ze wzoru:

że podstawowe równanie dynamiki ciała obracającego się dookoła nieruchomej osi można przedstawić w postaci:

Moment bezwładności ciała doskonale sztywnego I_z nie zależy od czasu, a więc:

ε - przyspieszenie kątowe ciała.

Z powyższego równania wynika, że przyspieszenie kątowe ciała sztywnego, obracającego się dookoła nieruchomej osi Oz, jest wprost proporcjonalne do wypadkowego momentu względem tej osi wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności ciała względem tej osi.

Odkształcenia i prawo Hooke'a.

Odkształcenie jest to chwilowa lub trwała zmiana wymiarów ciała lub jego dowolnych części. Zmiany zachodzące w odkształconym ciele mają charakter ciągły i do pewnego momentu zachowana jest ciągłość struktury materiału ( nie pojawiają się pęknięcia ). Intensywność odkształcenia będącą miarą odkształcenia określają :

• zmiany wymiarów długości ,

• względne wydłużenie ciała ,

• zmiany wymiarów kąta skręcenia ,

• odkształcenia postaci ciała.

Zmiana odległości jest wynikiem rozluźnienia struktury ciała, a zmiana postaci wynikiem poślizgu (przesunięcia się warstw atomów po sobie).

Jednostkowy przyrost objętości prostopadłościennego elementu:

Odkształcenie czysto objętościowe:

Odkształcenie czysto postaciowe:

Prawo Hooke'a:

- wydłużenie względne,

E - moduł Younga,

- naprężenie.

Wyznaczanie modułu Younga metodą jednostronnego rozciągania.

Korzystamy tutaj z zależności:

E - moduł Younga (sprężystości podłużnej),

F - siła obciążająca,

- odkształcenie bezwzględne,

A - powierzchnia przekroju pręta,

l - długość początkowa.

Badany drut umocowany jest w specjalnym uchwycie przytwierdzonym do sztywnego rozpornika stalowego, przymocowanego do ściany. Na dolnym końcu drutu zawieszona jest szalka, na którą kładziemy ciężarki. Na szalce tej umieszczamy na stałe ciężar ok. 1/2 kg. prostujący badany drut i usuwający zgięcia. Jeżeli obciążymy drut dodatkowym ciężarkiem, wówczas nie tylko drut się wydłuży, ale również obniży się zawieszenie, do którego jest on przymocowany. Aby mierzyć tylko samo wydłużenie, posługujemy się dwoma znaczkami A i B umieszczonymi w górnej i dolnej części drutu w odległości l od siebie. Te znaczki (rysy) obserwujemy za pomocą dwóch stałych mikroskopów M1 i M2, które zaopatrzone są w okulary mikrometryczne z podziałkami. Obraz rysy A i B w okularze odpowiedniego mikroskopu przesuwa się na tle podziałki: gdy podziałka jest wyzerowana możemy wyznaczyć wartość przesunięcia. Wydłużenie odpowiadające obciążeniu F znajdujemy jako różnicę przesunięć rys A i B w polu widzenia mikroskopów M1 i M2.

Wyznaczanie modułu Younga metodą zginania pręta.

Metodę tę stosujemy dla prętów grubych, o przekroju jednego lub kilku . W metodzie tej obciążamy siłą F pręt zamocowany na jednym końcu lub podparty w dwu miejscach w pobliżu jednego z końców.

Korzystamy tu z zależności:

h - grubość liczona w kierunku siły F,

l - długość pręta od jednej krawędzi podparcia do drugiej.

Wahadłem fizycznym nazywamy bryłę wykonującą drgania wokół osi nie przechodzącej przez środek ciężkości bryły.

Wahadło fizyczne

Wzór :

określa okres drgań wahadła fizycznego. Jeżeli wahadło zawiesimy w taki sposób, by jego oś była pozioma i wychylimy o mały kąt α z położenia równowagi, to wykonuje ona oscylacje. Ruch wahadła fizycznego dla małych wartości kąta α jest ruchem harmonicznym prostym.

Moment siły M dla wahadła wyraża się wzorem:

M = - mgd sin α

d - odległość środka ciężkości od punktu podparcia.

Ze względu na małą wartość kąta α moment siły możemy wyrazić wzorem:

M = - mgd α.

Moment kierujący wyrazi się wzorem:

D = mgd.

Z twierdzenia Steinera moment bezwładności możemy przedstawić równaniem:

I = I_S + md²

I_S - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości równoległej do osi oscylacji.

Podstawiają wzory na moment kierujący i moment bezwładności do równania:

otrzymamy następujący wzór na okres oscylacji:

Znając okres oscylacji bryły o regularnych kształtach i znanej masie m, możemy obliczyć przyspieszenie ziemskie.

Wyznaczanie modułu sztywności na skręcanie.

1.Metoda statyczna. Pręt zamocowany na jednym końcu poddajemy działaniu znanego momentu skręcającego i wyznaczamy kąt skręcenia , po czym obliczmy wartość momentu kierującego zgodnie z powyższym wzorem. Moment kierujący jest równy momentowi skręcającemu, który odpowiada skręceniu jednostkowemu:

Ponieważ , to mając wyznaczoną wartość D oraz znane wymiary pręta (promień r i długość l) możemy obliczyć wartość współczynnika sztywności .

2.Metoda dynamiczna (dla cienkich prętów). Na druciku o znanej długości l i średnicy 2r zawiesza się bryłę tzw. wibrator, o momencie bezwładności . Skoro obrócimy wibrator w płaszczyźnie poziomej o pewien kąt, to jednocześnie drut skręci się o ten sam kąt. W drucie powstanie moment obrotowy sił sprężystych , które po oswobodzeniu wibratora nadawać mu będą ruch drgający o okresie

- jest momentem kierującym drutu,

- moment bezwładności.

Wahadło torsyjne:

Wahadło torsyjne.

Na rysunku przedstawiony jest krążek zawieszony w środku masy. Drut na którym wisi krążek jest sztywno zamocowany z obydwu stron. Jeśli krążek obrócimy w płaszczyźnie poziomej to drut zostanie skręcony. Wtedy na krążek działa moment siły skręconego drutu i stara się przywrócić krążek do położenia równowagi. Jest on proporcjonalny do wartości skręcenia, czyli do kątowego przemieszczenia, zatem . Stałą nazywamy stałą skręcenia lub momentem kierującym. Znak `-` wskazuje, że moment siły ma zwrot przeciwny niż przemieszczenie kątowe. Równanie ruchu dla takiego układu ma postać:

Po podstawieniu do równania otrzymujemy , , gdzie jest maksymalnym przemieszczeniem kątowym, czyli amplitudą drgań.

Okres drgań wynosi .

Znając i mierząc T możemy wyznaczyć moment bezwładności drgającego ciała sztywnego. Natomiast znając I i mierząc T mamy możliwość wyznaczenia stałej dla dowolnego drutu. Wiele przyrządów laboratoryjnych zawiera w sobie wahadło torsyjne, np. galwanometry. Innym przykładem kątowego ruchu harmonicznego jest ruch balansu w zegarkach

Wyprowadzenie wzoru na moduł sztywności:

τ - naprężenie,

l - długość drutu,

s - długość łuku,

G - moduł sztywności.

r' - promień wewnętrzny.

F_s - siła styczna,

S - pole przekroju.

M - moment siły.

D - moment kierujący.

Tabela wyników pomiarów nr 1 (dla pierwszego drutu):

Lp.	2r [m]	r [m]	20 T0 [s]	T0 [s]	20 T1 [s]	T1 [s]	l [m]
1	0,00115	0,000585	110	5,50	129,2	6,46	1,530
2	0,00116	0,000580	112	5,60	122,4	6,12	1,528
3	0,00114	0,000570	112	5,60	129,2	6,46	1,527
4	0,00115	0,000575	111	5,55	126,4	6,32	1,526
Wartości średnie	0,001155	0,0005775	111,25	0,5625	126,8	6,34	1,528

Tabela wyników pomiarów nr 2:

Lp.	2r1 [m]	2r2 [m]	r1 [m]	r2 [m]	mi [kg]	m [kg]
1	0,045	0,0044	0,0225	0,0022	0,0960	0,766
2	0,045	0,0040	0,0225	0,0020	0,0954
3	0,042	0,0040	0,0210	0,0020	0,0964
4	0,042	0,0040	0,0210	0,0020	0,0955
5	0,043	0,0050	0,0215	0,0025	0,0970
6	----	-----	----	-----	0,0962
7	----	-----	----	-----	0,0955
8	----	-----	----	-----	0,0940
Wartości średnie	0,0434	0,00428	0,0217	0,00214	0,09575

Tabela wyników pomiarów nr 3 (dla drugiego drutu):

Lp.	2r [m]	r [m]	20 T0 [s]	T0 [s]	20 T1 [s]	T1 [s]	l [m]
1	0,00114	0,000570	121,4	6,07	138	6,90	1,833
2	0,00112	0,000560	121,8	6,09	139,8	6,99	1,831
3	0,00113	0,000565	122,0	6,10	139,2	6,96	1,829
Wartości średnie	0,00113	0,000565	121,73	6,09	139,0	6,95	1,831

a = 0,055 m

π = 3,14

∆a = ± 0,001 m

∆r = ± 0,00001 m

∆T_0,1 = ± 0,01 s

∆l = ± 0,0005 m

∆r_1,2 = ± 0,00002 m

∆m = ± 0,0005 kg

Obliczam wartość momentu bezwładności krążków:

I₁ = 0,00249925 [kg·m²]

Obliczam maksymalna niepewność momentu bezwładności:

∆I_! = ± 0,0000862565962 [kg·m²]

Obliczam niepewność procentową momentu bezwładności:

Np = ± 3,45%

Obliczam wartość modułu sztywności dla pierwszego drutu:

G = 9,3198·10¹⁰ [kg/m·s²]

Obliczam maksymalną niepewność modułu sztywności dla pierwszego drutu:

∆G = ± 1,20997508·10¹⁰ [kg/m·s²]

Obliczam niepewność procentową modułu sztywności dla pierwszego drutu:

Np = ± 12,98%

Obliczam wartość modułu sztywności dla drugiego drutu:

G = 10,058838·10¹⁰ [kg/m·s²]

Obliczam maksymalną niepewność modułu sztywności dla drugiego drutu:

∆G = ± 1,295964094·10¹⁰ [kg/m·s²]

Obliczam niepewność procentową modułu sztywności dla drugiego drutu:

Np = ± 12,88%

WNIOSKI I UWAGI:

W wyniku badań uzyskała następujące wyniki:

* dla pierwszego drutu: G = (9,3198 ±1,20997508)·10¹⁰ [kg/m·s²]

*dla drugiego drutu: G = (10,058838 ± 1,295964094)·10¹⁰ [kg/m·s²].

Wyniki moich pomiarów obarczone są pewnymi niepewnościami. Jest to spowodowane wieloma czynnikami, w większym lub mniejszym stopniu zależnymi ode mnie. Niedokładność wykonywanych czynności jest spowodowana niedokładnością moich zmysłów, panującymi warunkami otoczenia, wadami sprzętu pomiarowego itp. Mimo tych przeszkód moje wyniki obarczone są dopuszczalną niepewnością (drut pierwszy - ± 12,98%, a drut drugi - ± 12,88%).

---