Ćwiczenie nr 4

Liniowe i nieliniowe elementy bierne obwodów elektrycznych.

Cel ćwiczenia:

Zapoznanie się ze sposobem opracowania wyników pomiarowych, obliczeniem niepewności wyniku pomiaru pośredniego. Zwrócenie uwagi na fakt, że niepewność pomiaru pośredniego zależy od niepewności pomiarów bezpośrednich i od mierzonej wielkości. Zapoznanie się z elementami liniowymi i nieliniowymi oraz wybranymi układami do pomiaru rezystancji.

Pomiary i obliczenia:

1. Pomiary:

Tab. 1. Wyniki pomiarów bezpośrednich i ich niepewności dla opornika.

L.p	I [mA]	∆I [mA]	δI [%]	(∆I ± I) [mA]	U[V]	∆U [V]	δU [%]	(∆U ± U) [V]
1.	1,981	0,009	0,45	1,981 ± 0,009	0,4311	0,0006	0,12	0,4311 ± 0,0006
2.	4,087	0,015	0,37	4,087 ± 0,015	0,8890	0,0007	0,08	0,889 ± 0,0007
3.	6,032	0,021	0,35	6,032 ± 0,021	1,3119	0,0010	0,07	1,3119 ± 0,0010
4.	8,081	0,027	0,34	8,081 ± 0,027	1,7577	0,0012	0,07	1,7577 ± 0,0012
5.	10,006	0,033	0,33	10,006 ± 0,033	2,1740	0,0014	0,06	2,174 ± 0,0014
6.	12,050	0,039	0,32	12,050 ± 0,039	2,6180	0,0016	0,06	2,618 ± 0,0016
7.	14,023	0,045	0,32	14,023 ± 0,045	3,0460	0,0018	0,06	3,046 ± 0,0018
8.	16,031	0,051	0,32	16,031 ± 0,051	3,4830	0,0020	0,06	3,483 ± 0,0020
9.	18,017	0,057	0,32	18,017 ± 0,057	3,9140	0,0023	0,06	3,914 ± 0,0023
10.	19,890	0,063	0,32	19,890 ± 0,063	4,3090	0,0025	0,06	4,309 ± 0,0025

I = (0,3% rdg+3dgt) mA

$I = \frac{0,3}{100}*1,981 + 0,003 = \ $0,008943 = 0,009 mA

δ I = $\frac{I}{I}*100\%$

δ I= $\frac{0,009}{1,981}*100 = 0,45\%\ \ $

∆U = (0,05% rdg + 3dgt) V

$U = \ \frac{0,05}{100}*0,4311 + 0,0003 = \ $0,000516 V = 0,0006 V

δ U= $\frac{U}{U}*100\%$

δ U= $\frac{0,0006}{0,4311}*100\% = 0,1$

Tab. 2. Wyniki pomiarów bezpośrednich i ich niepewności dla diody.

L.p	I [mA]	∆I [mA]	δI [%]	(∆I ± I) [mA]	U [V]	∆U [V]	δU [%]	(∆U ± U) [V]
1.	2,006	0,010	0,48	2,006 ± 0,010	0,5971	0,0006	0,10	0,5971 ± 0,0006
2.	4,125	0,015	0,37	4,125 ± 0,015	0,6392	0,0006	0,10	0,6392 ± 0,0006
3.	6,155	0,021	0,35	6,155 ± 0,021	0,6538	0,0006	0,10	0,6538 ± 0,0006
4.	7,951	0,027	0,34	7,951 ± 0,027	0,6785	0,0006	0,09	0,6785 ± 0,0006
5.	10,681	0,035	0,33	10,681 ± 0,035	0,6812	0,0006	0,09	0,6812 ± 0,0006
6.	12,417	0,040	0,32	12,417 ± 0,040	0,6885	0,0006	0,09	0,6885 ± 0,0006
7.	13,961	0,045	0,32	13,961 ± 0,045	0,6944	0,0006	0,09	0,6944 ± 0,0006
8.	16,331	0,052	0,32	16,331 ± 0,052	0,7020	0,0007	0,09	0,7020 ± 0,0007
9.	18,001	0,057	0,32	18,001 ± 0,057	0,7062	0,0007	0,09	0,7062 ± 0,0007
10.	19,832	0,062	0,32	19,832 ± 0,062	0,7091	0,0007	0,09	0,7091 ± 0,0007

I = (0,3% rdg+3dgt) mA

$I = \frac{0,3}{100}*2,006 + 0,003 = \ $0,009018 = 0,010 mA

δ I = $\frac{I}{I}*100\%$

δ I = $\frac{0,010}{2,006}*100 = 0,48\%\ \ $

∆U = (0,05% rdg + 3dgt) V

$U = \ \frac{0,05}{100}*0,5971 + 0,0003 = \ $0,00059855 V = 0,0006 V

δ U = $\frac{U}{U}*100\%$

δ U = $\frac{0,0006}{0,5971}*100\% = 0,10\%$

Tab. 3. Wyniki pomiarów bezpośrednich i ich niepewności dla żarówki.

L.p	I [mA]	∆I [mA]	δI [%]	(∆I ± I) [mA]	U [V]	∆U [V]	δU [%]	(∆U ± U) [V]
1.	2,012	0,010	0,49	2,012 ± 0,009	0,0827	0,0004	0,48	0,0827 ± 0,0004
2.	4,019	0,015	0,37	4,019 ± 0,015	0,2417	0,0004	0,17	0,2417 ± 0,0004
3.	6,096	0,021	0,35	6,096 ± 0,021	0,4884	0,0005	0,11	0,4884 ± 0,0005
4.	8,088	0,027	0,34	8,088 ± 0,027	0,9491	0,0008	0,08	0,9491 ± 0,0008
5.	10,130	0,033	0,33	10,130 ± 0,033	1,2801	0,0009	0,07	1,2801 ± 0,0009
6.	12,059	0,039	0,32	12,059 ± 0,039	1,7446	0,0012	0,07	1,7446 ± 0,0012
7.	14,081	0,045	0,32	14,081 ± 0,045	2,3830	0,0015	0,06	2,383 ± 0,0015
8.	16,012	0,051	0,32	16,012 ± 0,051	2,9430	0,0018	0,06	2,943 ± 0,0018
9.	18,035	0,057	0,32	18,035 ± 0,057	3,4840	0,0020	0,06	3,484 ± 0,0020
10.	19,995	0,063	0,32	19,995 ± 0,063	4,4630	0,0025	0,06	4,463 ± 0,0025

I = (0,3% rdg+3dgt) mA

$I = \frac{0,3}{100}*2,012 + 0,003 = \ $0,009036 = 0,010 mA

δ I = $\frac{I}{I}*100\%$

δ I = $\frac{0,010}{2,012}*100 = 0,49\%\ \ $

∆U = (0,05% rdg + 3dgt) V

$U = \ \frac{0,05}{100}*0,0827 + 0,0003 = \ $0,0003413 V = 0,0004 V

δ R = $\frac{U}{U}*100\%$

δ R = $\frac{0,0004}{0,0827}*100\% = 0,48\%$

Wykr.1. Wykres zależności U(I).

1. Obliczanie rezystancji statycznych:

Tab.4. Wyniki pomiarów rezystancji stycznych dla opornika.

L.p	U[V]	I [A]	Rs [Ω]	∆Rs [Ω]	(Rs ± ∆Rs) Ω	δRs [%]
1.	0,4311	0,00198	217,617	1,243	217,6174 ± 1,243	0,57
2.	0,8890	0,00409	217,519	0,994	217,5190 ± 0,994	0,46
3.	1,3119	0,00603	217,490	0,919	217,4901 ± 0,919	0,42
4.	1,7577	0,00808	217,510	0,879	217,5102 ± 0,879	0,40
5.	2,1740	0,01001	217,270	0,856	217,2696 ± 0,856	0,39
6.	2,6180	0,01205	217,261	0,839	217,2614 ± 0,839	0,39
7.	3,0460	0,01402	217,215	0,828	217,2146 ± 0,828	0,38
8.	3,4830	0,01603	217,267	0,820	217,2665 ± 0,820	0,38
9.	3,9140	0,01802	217,239	0,813	217,2393 ± 0,813	0,37
10.	4,3159	0,01989	216,988	0,807	216,9884 ± 0,807	0,37

$R_{s} = \ \frac{U_{V}}{I_{A}}$ Ω

$R_{s} = \ \frac{0,4311}{0,00198} = \ $217,617 Ω

$${R}_{s} = \left| \frac{\partial R}{\partial U}*U \right| + \left| \frac{\partial R}{\partial I}*I \right| = \ \left| \frac{1}{I}*U \right| + \left| U*( - \frac{1}{I^{2}})*I \right|$$

R_s= $\frac{0,0006}{0,00198} + \frac{0,4311}{{0,00198}^{2}}*\ 0,009*10^{- 3} = 1,243\ \Omega$

δ R = $\frac{R}{R}*100\%$

δ R = $\frac{1,243}{217,617}*100\% = 0,57\%$

Tab.5. Wyniki pomiarów rezystancji stycznych dla diody.

L.p	U [V]	I [A]	Rs [Ω]	∆Rs [Ω]	(Rs ± ∆Rs) Ω	δRs [%]
1.	0,5971	0,002006	297,657	1,637	297,657 ± 1,637	0,55
2.	0,6392	0,004125	154,958	0,728	154,958 ± 0,728	0,47
3.	0,6538	0,006155	106,223	0,472	106,223 ± 0,472	0,44
4.	0,6785	0,007951	85,335	0,369	85,335 ± 0,369	0,43
5.	0,6812	0,010681	63,777	0,269	63,777 ± 0,269	0,42
6.	0,6885	0,012417	55,448	0,232	55,448 ± 0,232	0,42
7.	0,6944	0,013961	49,739	0,206	49,739 ± 0,206	0,41
8.	0,7020	0,016331	42,986	0,177	42,986 ± 0,177	0,41
9.	0,7062	0,018001	39,231	0,161	39,231 ± 0,161	0,41
10.	0,7091	0,019832	35,755	0,146	35,755 ± 0,146	0,41

$R_{s} = \ \frac{U_{V}}{I_{A}}$ Ω

$R_{s} = \ \frac{0,5971}{0,002006} = \ $297,657 Ω

$${R}_{s} = \left| \frac{\partial R}{\partial U}*U \right| + \left| \frac{\partial R}{\partial I}*I \right| = \ \left| \frac{1}{I}*U \right| + \left| U*( - \frac{1}{I^{2}})*I \right|$$

R_s= $\frac{0,0006}{0,002006} + \frac{0,5971}{{0,002006}^{2}}*\ 0,010*10^{- 3} = 1,637\ \Omega$

δ R = $\frac{R}{R}*100\%$

δ R = $\frac{1,637}{297,657}*100\% = 0,55\%$

Tab.6. Wyniki pomiarów rezystancji stycznych dla żarówki.

L.p	U [V]	I [A]	Rs [Ω]	∆Rs [Ω]	(Rs ± ∆Rs) Ω	δRs [%]
1.	0,0827	0,002012	41,103	0,354	41,103 ± 0,354	0,86
2.	0,2417	0,004019	60,139	0,330	60,139 ± 0,330	0,55
3.	0,4884	0,006096	80,118	0,369	80,118 ± 0,369	0,46
4.	0,9491	0,008088	117,347	0,491	117,347 ± 0,491	0,42
5.	1,2801	0,01013	126,367	0,509	126,367 ± 0,509	0,40
6.	1,7446	0,012059	144,672	0,567	144,672 ± 0,567	0,39
7.	2,3830	0,014081	169,235	0,650	169,235 ± 0,650	0,38
8.	2,9430	0,016012	183,800	0,696	183,800 ± 0,696	0,38
9.	3,4840	0,018035	193,180	0,725	193,180 ± 0,725	0,38
10.	4,4630	0,019995	223,206	0,830	223,206 ± 0,830	0,37

$R_{s} = \ \frac{U_{V}}{I_{A}}$ Ω

$R_{s} = \ \frac{0,0827}{0,002012} = \ $41,103 Ω

$${R}_{s} = \left| \frac{\partial R}{\partial U}*U \right| + \left| \frac{\partial R}{\partial I}*I \right| = \ \left| \frac{1}{I}*U \right| + \left| U*( - \frac{1}{I^{2}})*I \right|$$

R_s= $\frac{0,0004}{0,002012} + \frac{0,0827}{{0,002012}^{2}}*\ 0,010*10^{- 3} = 0,354\ \Omega$

δ R = $\frac{R}{R}*100\%$

δ R = $\frac{0,354}{41,203}*100\% = 0,86\%$

Wykr.2. Wykres zależności R_s(I_A).

1. Obliczanie rezystancji przyrostowych dla dwóch sąsiednich oraz niesąsiednich punktów pomiarowych:

Tab.7. Wyniki pomiarów rezystancji przyrostowych dla sąsiednich punktów pomiarowych - opornik.

L.p	Ip [mA]	Up [V]	Rp [Ω]	δ Rp[%]	∆Rp [Ω]	(Rp+Rp)
1.	3,034	0,660	217,426	1,42	3,097	217,426 ± 3,097
2.	7,057	1,535	206,393	2,86	5,911	206,393 ± 5,911
3.	11,028	2,396	218,102	4,20	9,166	218,102 ± 9,166
4.	15,027	3,265	207,321	5,72	11,853	207,321 ± 11,853
5.	18,954	4,115	237,053	7,45	17,670	237,053 ± 17,670

$$I_{p} = \frac{I_{1} + \ I_{2}}{2}$$

$$I_{p} = \ \frac{0,00198 + \ 0,00409}{2} = 0,003035\ A = \ 0,0031\ A$$

$$U_{p} = \frac{U_{1} + U_{2}}{2}$$

$U_{p} = \ \frac{0,4311 + 0,8890}{2} =$0,660 V

$$R_{p} = \frac{U_{2} - U_{1}}{I_{2} - \ I_{1}}$$

$$R_{p} = \frac{0,8890 - 0,4311}{0,00409 - 0,00198} = \ 217,426\ \Omega$$

$$\delta R_{p} = \left( \left| \frac{U_{1} + U_{2}}{U_{2} - U_{1}} \right| + \left| \frac{{I}_{1} + I_{2}}{I_{2} - I_{1}} \right| \right)*100\%$$

$$\delta R_{p} = \left( \left| \frac{0,0006 + 0,0007}{0,8890 - 0,4311} \right| + \left| \frac{0,009 + 0,015}{4,087 - 1,981} \right| \right)*100\% = \ 1,42\ \%$$

$$\delta R_{p} = \frac{R_{p}}{R_{p}}*100\%\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ R_{p} = \ \frac{\delta R_{p}*R_{p}}{100\%}$$

$$R_{p} = \ \frac{1,42\%*217,426\ \Omega}{100\%} = \ 3,097\Omega$$

Tab.8. Wyniki pomiarów rezystancji przyrostowych dla niesąsiednich punktów pomiarowych - rezystor.

L.p	Ip [mA]	Up [V]	Rp [Ω]	δ Rp[%]	∆Rp [Ω]	(Rp ± ∆Rp) [Ω]
1.	4,007	0,872	217,428	0,91	1,976	217,428 ± 1,976
2.	6,084	1,323	217,501	1,29	2,796	217,501 ± 2,796
3.	12,015	2,610	217,077	2,31	5,019	217,077 ± 5,019
4.	14,041	3,051	217,282	2,69	5,842	217,282 ± 5,842
5.	16,020	3,480	217,326	3,03	6,578	217,326 ± 6,578
6.	17,961	3,899	215,833	3,49	7,529	215,833 ± 7,529

Tab.9. Wyniki pomiarów rezystancji przyrostowych dla sąsiednich punktów pomiarowych - dioda.

L.p	Ip [mA]	Up [V]	Rp [Ω]	δ Rp[%]	∆Rp [Ω]	(Rp  ±  Rp) [%]
1.	3,066	0,618	19,868	3,69	0,734	19,868 ± 0,734
2.	7,053	0,666	13,753	6,73	0,925	13,753 ± 0,925
3.	11,549	0,685	4,205	19,65	0,826	4,205 ± 0,826
4.	15,146	0,698	3,207	19,09	0,612	3,207 ± 0,612
5.	18,917	0,708	1,584	48,01	0,760	1,584 ± 0,760

$$I_{p} = \frac{I_{1} + \ I_{2}}{2}$$

$$I_{p} = \ \frac{2,006 + 4,125\ }{2} = \ 3,066mA = \ 0,003066\ A$$

$$U_{p} = \frac{U_{1} + U_{2}}{2}$$

$U_{p} = \ \frac{0,5971 + 0,6392}{2} =$0,618 V

$$R_{p} = \frac{U_{2} - U_{1}}{I_{2} - \ I_{1}}$$

$$R_{p} = \frac{0,6392 - 0,5971}{4,125 - 2,006} = \ 19,868\ \Omega$$

$$\delta R_{p} = \left( \left| \frac{U_{1} + U_{2}}{U_{2} - U_{1}} \right| + \left| \frac{{I}_{1} + I_{2}}{I_{2} - I_{1}} \right| \right)*100\%$$

$$\delta R_{p} = \left( \left| \frac{0,0006 + 0,0006}{0,6392 - 0,5971} \right| + \left| \frac{0,010 + 0,015}{4,125 - 2,006} \right| \right)*100\% = \ 3,69\ \%$$

$$\delta R_{p} = \frac{R_{p}}{R_{p}}*100\%\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ R_{p} = \ \frac{\delta R_{p}*R_{p}}{100\%}$$

$R_{p} = \ \frac{6,39\%*19,8686\ \Omega}{100\%} = \ 0,73$4Ω

Tab.10. Wyniki pomiarów rezystancji przyrostowych dla niesąsiednich punktów pomiarowych - dioda.

L.p	Ip [mA]	Up [V]	Rp [Ω]	δ Rp[%]	∆Rp [Ω]	(Rp ± ∆Rp) [Ω]
1.	4,081	0,625	13,666	2,90	0,396	13,666 ± 0,396
2.	6,038	0,659	10,272	4,31	0,442	10,272 ± 0,442
3.	12,321	0,688	4,024	12,19	0,491	4,024 ± 0,491
4.	14,374	0,695	3,449	11,95	0,412	3,449 ± 0,412
5.	15,981	0,700	2,921	13,54	0,396	2,921 ± 0,396
6.	18,082	0,706	2,028	21,66	0,439	2,028 ± 0,439

Tab.11. Wyniki pomiarów rezystancji przyrostowych dla sąsiednich punktów pomiarowych - żarówka.

L.p	Ip [mA]	Up [V]	Rp [Ω]	δ Rp[%]	∆Rp [Ω]	Rp ± ∆ Rp [Ω]
1.	3,016	0,162	79,223	1,33	1,054	79,223 ± 1,054
2.	7,092	0,719	231,275	1,69	3,919	231,275 ± 3,919
3.	11,095	1,115	240,798	2,44	5,879	240,798 ± 5,879
4.	15,047	2,663	290,005	3,10	8,991	290,005 ± 8,991
5.	19,015	3,974	499,490	3,60	17,978	499,490 ± 17,978

$$I_{p} = \frac{I_{1} + \ I_{2}}{2}$$

$$I_{p} = \ \frac{2,012 + 4,019\ }{2} = \ 3,016mA = \ 0,003016\ A$$

$$U_{p} = \frac{U_{1} + U_{2}}{2}$$

$U_{p} = \ \frac{0,0827 + 0,2417}{2} =$0,162 V

$$R_{p} = \frac{U_{2} - U_{1}}{I_{2} - \ I_{1}}$$

$$R_{p} = \frac{0,2417 - 0,0827}{4,019 - 2,012} = \ 79,223\ \Omega$$

$$\delta R_{p} = \left( \left| \frac{U_{1} + U_{2}}{U_{2} - U_{1}} \right| + \left| \frac{{I}_{1} + I_{2}}{I_{2} - I_{1}} \right| \right)*100\%$$

$$\delta R_{p} = \left( \left| \frac{0,0004 + 0,0004}{0,2417 - 0,0827} \right| + \left| \frac{0,010 + 0,015}{4,019 - 2,012} \right| \right)*100\% = \ 1,33\ \%$$

$$\delta R_{p} = \frac{R_{p}}{R_{p}}*100\%\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ R_{p} = \ \frac{\delta R_{p}*R_{p}}{100\%}$$

$$R_{p} = \ \frac{1,33\%*79,223\ \Omega}{100\%} = \ 1,054\Omega$$

Tab.12. Wyniki pomiarów rezystancji przyrostowych dla niesąsiednich punktów pomiarowych - żarówka.

L.p	Ip [mA]	Up [V]	Rp [Ω]	δ Rp[%]	∆Rp [Ω]	(Rp ± ∆Rp) [Ω]
1.	4,054	0,286	99,339	0,96	0,954	99,339 ± 0,954
2.	6,054	0,595	173,851	1,21	2,102	173,851 ± 2,102
3.	12,106	1,832	279,145	2,21	6,171	279,145 ± 6,171
4.	14,036	2,344	303,162	2,53	7,663	303,162 ± 7,663
5.	16,058	2,934	278,452	2,91	8,101	278,452 ± 8,101
6.	18,004	3,703	381,622	3,15	12,005	381,622 ± 12,005

Wykr.3. Wykres zależności Rp (Ip).

Wnioski:

Charakterystyka napięciowo-prądowa: z charakterystyki tej widać liniową zależności napięcia od prądu dla opornika. Wynik ten zgodny jest z zasadami prawa Ohma, które przedstawia proporcjonalności pomiędzy napięciem i natężeniem prądu. Skokowy wzrost napięcia dla niewielkich zmian prądu, po którym napięcie nieznacznie się zmienia obserwujemy dla diody. Dla żarówki widać wyraźnie, jak wartość napięcia rośnie wraz ze wzrostem natężenia, lecz nie zauważa się w tym przypadku zależności liniowej. Wraz ze wzrostem natężenia rośnie wartość napięcia prądu. Na podstawie wykresu ilustrującego otrzymane wyniki możemy wywnioskować, że dioda i żarówka są elementami nieliniowymi natomiast opornik jest elementem liniowym układu.

Charakterystyka rezystancji statycznej w funkcji natężenia prądu: dla opornika rezystancja statyczna utrzymuje się w granicach stałej wartości ok. 217 Ω – potwierdzając w ten sposób prawo Ohma. Dla diody jest ona malejąca, z kolei dla żarówki rezystancja statyczna rośnie. Niepewności obliczone dla otrzymanych wyników są niewielkie, co świadczy o dokładności uzyskanych pomiarów i wyników.

Charakterystyka rezystancji przyrostowej w funkcji natężenia prądu przyrostowego: rezystancja przyrostowa dla poszczególnych elementów zachowuje się podobnie jak w przypadku rezystancji statycznej. Dla opornika jest ona na stałym poziomie wynoszącym ok. 217Ω. W przypadku diody jest ona malejąca, a dla żarówki rosnąca. Niepewności uzyskane w przypadku rezystancji przyrostowej są większe niż w przypadku rezystancji stycznej, świadczy to o mniejszej dokładności uzyskanych wyników.