Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej

Wytrzymałość Materiałów 2

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1

TEMAT: 7/8

Zadanie 1	Zadanie 2	Zadanie 3

Michał Kurzawa

Nr indeksu: 178332

Rok akademicki: 2010/2011

ZADANIE 1

Kształtownik 1: C120 A=17 cm^2 ez = 5,5-1,6=3,9 cm ey = 6 cm Iz = 364 cm^4 Iy = 43,2 cm^4 S = 5,5 cm Kształtownik 2: L200x100x10 A = 29,2 cm^2 ez = 20-6,93 = 13,07 cm ey = 2,01 cm Iz = 210 cm^4 Iy = 1219 cm^4 Iyz = 289 cm^4

Charakterystyki geometryczne

Środek ciężkośći

Współrzędne środków ciężkości kształtowników w układzie początkowym y1, z1:

y1^C =   − 6 cm z1^C =  3, 9 cm y1^L =  2, 01 cm z1^L =  13, 07 cm $$\mathbf{y}_{\mathbf{C}} = \ \frac{A^{L}*\ y_{1}^{L} + \ A^{C}*\ y_{1}^{C}}{A^{L} + \ A^{C}} = \ $$ $$\frac{29,2\ \text{cm}^{2}*2,02\ cm + \ 17\text{cm}^{2}*\left( - 6cm \right)}{29,2\text{cm}^{2} + 17\text{cm}^{2}}$$ = −0, 937 cm $$\mathbf{z}_{\mathbf{C}} = \ \frac{A^{L}*\ z_{1}^{L} + \ A^{C}*\ z_{1}^{C}}{A^{L} + \ A^{C}} = \ $$ $$\frac{29,2\ \text{cm}^{2}*13,07\ cm + \ 17\text{cm}^{2}*3,9\ cm}{29,2\text{cm}^{2} + 17\text{cm}^{2}}$$ = 9, 6957 cm

Centralne momenty bezwładności:

Współrzędne środków ciężkości kształtowników w centralnym układzie y₀, z₀

y₀^C =  y₁^C  −  y_c =   − 6 cm − (−0,937 cm) =   − 5, 063 cm

z₀^C =  z₁^C  −  z_c =  3, 9 cm − 9, 6957 cm =   − 5, 7957 cm

y₀^L =  y₁^L  −  y_c =  2, 01 cm − (−0,937 cm) =  2, 947 cm

z₀^L =  z₁^L  −  z_c =  13, 07 cm − 9, 6957 cm =  3, 3743 cm

I_y0 = 1219 cm⁴ + 29, 2cm² * (3, 3743cm)² + 43, 2 cm⁴ + 17 cm² * (−5,7957cm)² = 2165, 70 cm⁴

I_z0 = 210 cm⁴ + 29, 2cm² * (2, 947cm)² + 364 cm⁴ + 17 cm² * (−5,063cm)² = 1263, 374 cm⁴

I_y0z0 = 289 cm⁴ + 29, 2cm² * (2,947 cm) * (3,3743 cm) + 0 + 17 cm² * (−5,063cm) * ( − 5, 7957cm)=1078, 208 cm⁴

Główne centralne momenty bezwładności:

$$\tan\left( 2\varphi_{0} \right) = \ - \frac{2*I_{y0z0}}{I_{y0} - \ I_{z0}} = \ - \frac{2*1078,208\ \text{cm}^{4}}{2165,7\ \text{cm}^{4} - 1263,374\text{cm}^{4}} = \ - 2,389$$

2φ0 = arctan(−2,389) =   − 67, 2865  φ0 =   − 33, 643 $I_{1,2} = \ \frac{1}{2}\ \left( I_{y0} + \ I_{z0} \right)\ \pm \ \frac{1}{2}\ \sqrt{{(\ I_{y0} + \ I_{z0})}^{2} + 4*{I_{y0z0}}^{2}} = 1714,537\ \pm 1168,794$ I1=2883, 331 cm^4  I2=545, 743 cm^4 Iy0  >  Iz0  ≫   Iy =  I1,     Iz =  I2

Dopuszczalne obciążenie

Moment zginający

M_y0 max =   − 22, 5qa²             α = |φ₀| M_y = −M_y0 * cosα         M_z = −M_y0 * sinα

Oś obojętna

$$\sigma = \frac{M_{y}*z}{I_{y}} - \frac{M_{z}*y}{I_{z}} = 0\ $$

$$z = \frac{M_{z}}{M_{y}}*\frac{I_{y}}{I_{z}}*y = \ \frac{{- M}_{y0}*\text{sinα}}{{- M}_{z0}*\text{cosα}}*\frac{I_{y}}{I_{z}}*y = \frac{\sin\left( 33,643 \right)}{\cos\left( 33,643 \right)}*\frac{2883,33}{545,743}*y = \mathbf{3,516}\mathbf{y}$$

Naprężenia normalne

Dla punktu 1

y₁ = 0 cm

z₁ = 20 cm

y₀ = y₁ − y_c = 0 − (−0,937cm) = 0, 937 cm

z₀ = z₁ − z_c = 20 cm − 9, 6957 cm = 10, 3043 cm

y =  y₀cosφ₀ +  z₀sinφ₀ = 0, 937cm * cos(−33,643) + 10, 3043 * sin(−33,643) = −4, 929 cm

z =   − y₀sinφ₀ +  z₀cosφ₀ = −0, 937cm * sin(−33,643) + 10, 3043 * cos(−33,643) = 9, 0975 cm

$$\sigma_{x}^{1} = \frac{M_{y}*z}{I_{y}} - \frac{M_{z}*y}{I_{z}} = \ \frac{{- M}_{y0}*cos\alpha*z}{I_{y}} - \frac{{- M}_{y0}*sin\alpha*y}{I_{z}} = {- M}_{y0}*\left( \frac{cos\alpha*z}{I_{y}} - \frac{sin\alpha*y}{I_{z}} \right) = {- M}_{y0}*\left( \frac{\cos\left( 33,643 \right)*9,0975cm}{2883,331\ \text{cm}^{4}} - \frac{\sin\left( 33,643 \right)*\left( - 4,929\ cm \right)}{545,743\ \text{cm}^{4}} \right) = {- M}_{y0}*7,6304*10^{- 3}\ \frac{1}{\text{cm}^{3}} = \ {- M}_{y0}*7,6304*10^{3\ }\ \frac{1}{m^{3}}\ $$

Dla punktu 2

y₁ = 1 cm

z₁ = 0 cm

y₀ = y₁ − y_c = 1 − (−0,937cm) = 1, 937 cm

z₀ = z₁ − z_c = 0 − 9, 6957 cm = −9, 6957 cm

y =  y₀cosφ₀ +  z₀sinφ₀ = 1, 937cm * cos(−33,643) + ( − 9, 6957cm)*sin(−33,643) = 6, 984 cm

z =   − y₀sinφ₀ +  z₀cosφ₀ = −1, 937cm * sin(−33,643) + (−9,6957cm) * cos(−33,643) = −6, 999  cm

$$\sigma_{x}^{2} = \frac{M_{y}*z}{I_{y}} - \frac{M_{z}*y}{I_{z}} = \ \frac{{- M}_{y0}*cos\alpha*z}{I_{y}} - \frac{{- M}_{y0}*sin\alpha*y}{I_{z}} = {- M}_{y0}*\left( \frac{cos\alpha*z}{I_{y}} - \frac{sin\alpha*y}{I_{z}} \right) = {- M}_{y0}*\left( \frac{\cos\left( 33,643 \right)*\left( - 6,999cm \right)}{2883,331\ \text{cm}^{4}} - \frac{\sin\left( 33,643 \right)*6,984\ cm}{545,743\ \text{cm}^{4}} \right) = {- M}_{y0}* - 9,1107*10^{- 3}\ \frac{1}{\text{cm}^{3}} = \ {- M}_{y0}* - 9,1107*10^{3\ }\ \frac{1}{m^{3}}$$

Wyznaczenie q _dop

Największe naprężenia są w punkcie 2

|σ_x| ≤ K_g = 215 MPa

$$\sigma_{x}^{\max} = \ {- M}_{y0}* - 9,1107*10^{3\ }\frac{1}{m^{3}} = 204990,75*q\ \leq 215\ MPa\ $$

$$\mathbf{q}_{\mathbf{\text{dop}}} = \ \frac{215*10^{6}\frac{N}{m^{2}}}{204990,75\ \frac{1}{m}} = 1048,83\ \frac{N}{m} = \mathbf{1,0488\ }\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}}$$

ZADANIE 2

Rozwiązanie ogólne metodą obciążeń wtórnych

Wykres M_yo