1. Sformułowanie lokalne.

Opis konstrukcji przy pomocy równań różniczkowych, prowadzi do rozwiązań analitycznych.

Opis ciała $\overset{\overline{}}{B}$ w przestrzeni trójwymiarowej:

$$\overset{\overline{}}{B} = B \cup \partial B$$

$$\overset{\overline{}}{B} - cale\ cialo$$

B − wnetrze ciala

∂B − powierzchnia ograniczajaca

∂B = ∂Bu ∪ ∂Bp

∂Bu − powierzchnia podparta

∂Bp − powierzchnia nie podparta

Równania równowagi:

$$\frac{\partial\sigma_{11}}{\partial x_{1}} + \frac{\partial\sigma_{21}}{\partial x_{2}} + \frac{\partial\sigma_{31}}{\partial x_{3}} + \rho f_{1} = \rho\ddot{u_{1}}$$

$$\frac{\partial\sigma_{12}}{\partial x_{1}} + \frac{\partial\sigma_{22}}{\partial x_{2}} + \frac{\partial\sigma_{32}}{\partial x_{3}} + \rho f_{2} = \rho\ddot{u_{2}}$$

$$\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{1}} + \frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{2}} + \frac{\partial\sigma_{33}}{\partial x_{3}} + \rho f_{3} = \rho\ddot{u_{3}}$$

,t ∈ Bx < 0, ∞)

$$\frac{\partial\sigma_{\text{ij}}}{\partial x_{i}} + \rho f_{j} = \rho\ddot{u_{j}}\ \ \ \ \ \ i,j = 1,2,3$$

Równania geometryczne:

$$\varepsilon_{11} = \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}};\ \ \ \ \varepsilon_{22} = \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}};\ \ \ \ \varepsilon_{33} = \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}}$$

$$\varepsilon_{12} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}} + \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}} \right)$$

$$\varepsilon_{13} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}} + \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}} \right)$$

$$\varepsilon_{23} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}} + \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}} \right)$$

Ogólnie:

$$\varepsilon_{\text{ij}} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} \right)$$

,t ∈ Bx < 0, ∞)      i, j = 1, 2, 3

Równania konstytutywne (fizyczne/stanu)

σ_ij = C_ijkl • ε_kl

dla ciała izotropowego:

σ_ij = 2μ • ε_kl + λ_e • δ_ij

e = ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃

lub

$$\varepsilon_{\text{ij}} = \frac{1}{E}\lbrack\left( 1 + \upsilon \right)\sigma_{\text{ij}} - \upsilon\delta_{\text{ij}}\sigma_{\text{rr}}\rbrack$$

σ_rr = σ₁₁ + σ₂₂ + σ₃₃

σ_ij = 1 dla  i = j;        = 0 dla  i ≠ j

,t ∈ Bx < 0, ∞)      i, j = 1, 2, 3

Warunki brzegowe:

a) Typu statycznego:

p_i = σ_ij • n_j

,t ∈ ∂Bp x < 0, ∞)      i, j = 1, 2, 3

b) Typu kinematycznego:

$$u_{i} = \hat{u_{i}}$$

,t ∈ ∂Bp x < 0, ∞)      i = 1, 2, 3

c) Warunki początkowe:

u_i = u₀

$$\dot{u_{i}} = \dot{u_{0}} =_{0}$$

,t ∈ Bx < 0)      i = 1, 2, 3

2. Sformułowanie globalne.

Opis matematyczny zagadnienia np. przy pomocy równań całkowych. Jest bazą do stworzenia większości metod numerycznych (przybliżonych). Umożliwia skoncentrowanie w jednym wyrażeniu wielu równań opisujących badany problem. Najczęściej wykorzystuje się rachunek wariacyjny albo równania pracy wirtualnej (punktem wyjścia do wyprowadzenia równania pracy wirtualnej są różniczkowe równania równowagi i statyczne warunki brzegowe).

$$\int_{B}^{}{\rho f_{i}\partial u_{i}\text{\ dB}} + \int_{\partial\text{Bp}}^{}{p_{i}\partial u_{i}\ d(\partial Bp)} - \int_{B}^{}{\rho\ddot{u_{i}}\delta u_{i}\text{\ dB}} = \int_{B}^{}{\sigma_{\text{ij}}\delta\varepsilon_{\text{ij}}\text{\ dB}}$$

Lewa strona równania przedstawia pracę sił zewnętrznych na wirtualnych przemieszczeniach, a prawa pracę sił wewnętrznych na wirtualnych odkształceniach. Do tego równania trzeba wprowadzić równania fizyczne i geometryczne i rozwiązać zagadnienie metodą sił lub przemieszczeń.

3. MRS.

Metoda różnic skończonych, jest to metoda przybliżonego wyznaczania równań różniczkowych bądź układów równań różnicowych. Pojedyncze równanie lub układ równań różniczkowych zamieniamy na (o wiele większy) układ równań algebraicznych. Im większa liczba równań algebraicznych, tym dokładniejsze rozwiązanie. Metoda ta jest efektywna tylko jeśli do jej rozwiązania używamy komputera.

I RS: $\frac{\partial f}{\partial x}\left( 0 \right) = \frac{fi}{x} = \frac{- f_{i - 1} + f_{i + 1}}{2\lambda}$

II RS: $\frac{\partial^{2}\text{fi}}{\partial x^{2}}\left( 0 \right) = \frac{^{2}\text{fi}}{x^{2}} = \frac{f_{i - 1} - 2f_{i} + f_{i + 1}}{\lambda^{2}}$

III RS: $\frac{\partial^{3}\text{fi}}{\partial x^{3}}\left( 0 \right) = \frac{^{3}\text{fi}}{x^{3}} = \frac{}{x} \bullet \left( \frac{^{2}\text{fi}}{x^{2}} \right) = \frac{- \left( \frac{^{2}f_{i - 1}}{x^{2}} \right) + \left( \frac{^{2}f_{i + 1}}{x^{2}} \right)}{2\lambda}$

Podstawy teoretyczne metody: Rozwinięcie funkcji w szereg Mclaurina.

f(x) – funkcja poszukiwana

$$f\left( x \right)\ = \frac{x^{0}}{0!}f\left( 0 \right) + \frac{x^{1}}{1!}\frac{\partial f(0)}{\partial x^{1}} + \frac{x^{2}}{2!}\frac{\partial^{2}f(0)}{\partial x^{1}} + \ldots + \frac{x^{n}}{n!}\frac{\partial^{n}f(0)}{\partial x^{n}}$$

WARUNEK :  |f(x)| < ∞

Przyjmując, że $\left| \frac{\partial f}{\partial x} \right| \ll 1\ $można uwzględnić tylko 3 pierwsze wyrazy rozwinięcia do obliczeń MRS dla belek.

Równania różniczkowe i różnicowe dla belki zginanej przy założeniu EJ≠const.

różniczkowe:

$$\varphi\left( x \right) = \frac{\partial w_{(x)}}{\partial x}$$

$$M\left( x \right) = - \text{EJ}_{(x)}\frac{\partial^{2}w_{(x)}}{\partial x^{2}}$$

$$T\left( x \right) = - \frac{\partial}{\partial x}\left( \text{EJ}_{(x)}\frac{\partial^{2}w_{(x)}}{\partial x^{2}} \right)$$

$$q\left( x \right) = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left( \text{EJ}_{(x)}\frac{\partial^{2}w_{(x)}}{\partial x^{2}} \right)$$

różnicowe:

$$\varphi_{i} = \frac{\Delta w_{i}}{\text{Δx}} = \frac{{- w}_{i - 1} + w_{i + 1}}{2\lambda}$$

$$M_{i} = - EJ\frac{\Delta^{2}\text{wW}_{i}}{\Delta x^{2}} = - EJ_{i}\frac{w_{i - 1} - 2w_{i} + w_{i + 1}}{\lambda^{2}}$$

$T_{i} = - \frac{\Delta}{\text{Δx}}\left( EJ_{i}\frac{\Delta^{2}w_{i}}{\Delta x^{2}} \right) = - \frac{E}{2\lambda^{3}}\left\lbrack - J_{i - 1}\left( w_{i - 2} - 2w_{i - 1} + W_{i} \right) + J_{i + 1}\left( w_{i} - 2w_{i + 1} + w_{i + 2} \right) \right\rbrack\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }$

$$q_{i} = - \frac{\Delta^{2}}{\Delta x^{2}}\left( EJ_{i}\frac{\Delta^{2}W_{i}}{\Delta x^{2}} \right)$$

$\frac{q_{i}x^{4}}{E} = J_{i - 1}w_{i - 2} - {2(J_{i - 1} + J_{i})w}_{i - 1} + \left( J_{i - 1} + 4J_{i} + J_{i + 1} \right)w_{i} - 2\left( J_{i} + J_{i + 1} \right)w_{i + 1} + J_{i + 1}w_{i + 2}$

Równania różniczkowe i różnicowe dla belki zginanej przy założeniu EJ=const.

różniczkowe:

$$\varphi\left( x \right) = \frac{\partial w_{(x)}}{\partial x}$$

$$M\left( x \right) = - EJ\frac{\partial^{2}w_{(x)}}{\partial x^{2}}$$

$$T\left( x \right) = - EJ\frac{\partial^{3}w_{(x)}}{\partial x^{3}}$$

$$q\left( x \right) = EJ\frac{\partial^{4}w_{(x)}}{\partial x^{4}}$$

różnicowe:

$$\varphi_{i} = \frac{{- w}_{i - 1} + w_{i + 1}}{2\lambda}$$

$$M_{i} = - EJ\frac{w_{i - 1} - 2w_{i} + w_{i + 1}}{\lambda^{2}}$$

$\text{\ T}_{i} = - \frac{\text{EJ}}{2\lambda^{3}}\left\lbrack {- w}_{i - 2} + 2w_{i - 1} - {2w}_{i + 1} + w_{i + 2} \right\rbrack\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }$

$q_{i}\frac{\lambda^{4}}{\text{EJ}} = w_{i - 2}{- 4w}_{i - 1} + {6w}_{i}{- 4w}_{i + 1}{+ w}_{i + 2}\text{\ \ \ }$

Kolejność postępowania dla belek w MRS.

- Dyskretyzacja belki.

- Zamiana obciążeń skupionych na rozłożone.

- Ustalenie istotnych parametrów (obciążenie i momenty bezwładności) w poszczególnych punktach dyskretnych.

- Ułożenie układu równań MRS z uwzględnieniem warunków brzegowych.

- Rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wielkości statycznych i geometrycznych.

- Zestawienie wyników i sporządzenie wykresów.

Dyskretyzacja belki.

Dzielimy belkę na fragmenty 𝛌_i = const. W punktach (węzłach) wyodrębnionych w wyniku dyskretyzacji wprowadzamy lokalne układy współrzędnych.

Rozkładamy tylko te obciążenia skupione, które nie znajdują się na krańcach belki, bo prościej wtedy wyznaczyć siły wewnętrzne.

W MRS obciążenia skupione mogą być przyłożone tylko w węzłach (pkt. dyskretyzacji), jeśli siła znajduje się między nimi to przesuwamy ją do najbliższego węzła, gdyż nie będzie to w znaczącym stopniu rzutowało na wynik. Ewentualnie jeśli przesunięcie byłoby zbyt duże możemy rozłożyć siłę na 2 inne składowe, przyłożone w węzłach (P=P₁+P₂).

4. Interpolacja.

Interpolacja polega na wyznaczaniu przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących węzłami oraz oszacowaniu błędów tych przybliżonych wartości. Zakładając, że w przedziale <a,b> danych jest (n+1) różnych punktów x_i , gdzie i=1,2,…,n (węzłów interpolacji) oraz wartości pewnej funkcji w tych punktach

f(x₀)=y₀; f(x₁)=y₁; … ; f(x_n)=y_n;

Interpolacja polega na wyznaczeniu takiej funkcji W(x) zwanej funkcją interpolacji, która w węzłach interpolacji przyjmuje takie same wartości jak funkcja f(x).

Wielomian uogólniony:

W_(x) = _(x)•

=⁻¹•

−macierz wspolczynnikow

−macierz bazowa

⁻¹ − macierz interpolacyjna

−macierz wartosci f_(x) 

w wezlach inerpolacji

W_(x) = _(x) • ⁻¹•

Typy interpolacji:

Interpolacja Taylor’a.

Jest to przypadek interpolacji z wielomianem algebraicznym stopnia n, gdy znamy wartości funkcji, i jej n – pierwszych pochodnych, tylko w pierwszym węźle. Powoduje to ograniczenie takiego użycia przybliżenia, do sytuacji, gdy interesuje nas dostatecznie małe otoczenie punktu x₀.

Funkcje bazowe:

1,x,x²,x³,…,xⁿ;

Warunki interpolacyjne:

y_k=f^k(x₀), gdzie k =0,1,2,…,n

Ogólna postać funkcji interpolacyjnej:

W_n(x)=$\sum_{k = 0}^{n}{a_{k} \bullet x^{k}}$

Interpolacja Lagrange’a (Newtona).

Jest to przypadek interpolacji z wielomianem algebraicznym stopnia n w sytuacji, gdy znamy wartości funkcji w (n+1) węzłach.

Funkcje bazowe:

1,x,x²,x³,…,xⁿ;

Warunki interpolacyjne:

y_k=f(x_k), gdzie k =0,1,2,…,n

Ogólna postać funkcji interpolacyjnej:

W_n(x)=$\sum_{k = 0}^{n}{a_{k} \bullet x^{k}}$

Interpolacja Hermite’a.

Przypadek interpolacji wielomianem algebraicznym stopnia n w sytuacji, gdy znamy wartości funkcji i jej pochodnych w (n+1) węzłach, przy czym w każdym węźle znamy α_t pochodną.

Funkcje bazowe:

1,x,x²,x³,…,xⁿ;

Warunki interpolacyjne:

y_k=f^s(x₀), gdzie k =0,1,2,…,n

s=0,1,2,…, α_t

Ogólna postać funkcji interpolacyjnej:

W_n(x)=$\sum_{k = 0}^{n}{a_{k} \bullet x^{k}}$

Interpolacja Lagrange’a i Taylora są szczególnymi przypadkami interpolacji Hermite’a.

m=n, α_t=0 int. Lagrange’a;

m=0, α_t=n int. Taylora.

Interpolacja wielomianami tryg.

Funkcje bazowe:

1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosmx,sin mx;

Warunki interpolacyjne:

y_k=f(x₀), gdzie k =0,1,2,…,n=2m

Ogólna postać funkcji interpolacyjnej:

W_n(x)= $a_{b} + \sum_{k = 1}^{m}\left( a_{k} \bullet coskx + b_{k}\text{sinkx} \right)$

Interpolacja wykładnicza.

Funkcje bazowe:

e^c₀x, e^c₁x, …, e^c_nx;   c₀, …, c_n ∈ R

c_i ≠ c_j  dla   i ≠ j

Warunki interpolacyjne:

y_k=f(x_k), gdzie k =0,1,2,…,n

Ogólna postać funkcji interpolacyjnej:

W_n(x)= $\sum_{k = 0}^{n}{a_{k} \bullet e^{c_{k}x}}$

Interpolacja wielomianowa.

Baza:

φ₀(x) = 1,  φ₁(x) = x, …, φ_n(x) = xⁿ,  

 W(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ

Warunki interpolacyjne:

a₀ + a₁x₀ + a₂x₀² + … + a_nx₀ⁿ = y₀

a₀ + a₁x₁ + a₂x₁² + … + a_nx₁ⁿ = y₁

a₀ + a₁x₂ + a₂x₂² + … + a_nx₂ⁿ = y₂

Interpolacja taka nie jest zbyt efektywna, gdyż macierz X nie jest macierzą pełną (nie jest diagonalna).

Macierz X nie zawsze jest dobrze uwarunkowana, w szczególnym przypadku może być macierzą osobliwą.

5. Aproksymacja.

Aproksymacja (przybliżenie) funkcji polega na wyznaczeniu takiej funkcji F(x), która przybliża funkcję f(x) w przedziale <x₁,x_n> przy określonym kryterium:

Q = ∥f(x)−F(x)∥

Wyróżnia się różne normy do obliczania aproksymacji, m. In.:

Norma Czebyszewa

∥f(x)−F(x)∥ = |f(x)−F(x)|

N. dla aproksymacji integralnej:

$$\left\| f\left( x \right) - F\left( x \right) \right\| = \left( \int_{x1}^{\text{xn}}\left( {f\left( x \right) - F\left( x \right)}^{2}\text{dx} \right) \right)^{\frac{1}{2}}$$

N. dla aproksymacji punktowej:

$$\left\| f\left( x \right) - F\left( x \right) \right\| = \left( \sum_{i = 1}^{n}\left( f\left( x_{i} \right) - F\left( x_{i} \right) \right)^{2} \right)^{\frac{1}{2}}$$

Przykładowe metody aproksymacji to np.:

- apr. wielomianowa met. Najmniejszych kwadratów;

- apr. szeregami potęgowymi.

Metody przybliżonego znajdowania wartości opisanych metodami różniczkowymi:

- Metoda Ritza;

- Metoda wariacyjna Raylegha-Ritza;

- Metoda rezydiów ważonych: a)met. pkt. kollokacji;

b)met. podobszarów kollokacji; c)met. najmniejszych kwadratów; d)met. Galerkina.

Wszystkie powyższe metody to metody całkowe, gdyż opierają się na formach całkowych.

Opis matematyczny f(T(x))=0 opisuje dogodne zagadnienie w przestrzeni Ω T- funkcja zmian jakiegoś parametru (np. temperatury); Ω -jest obszarem działania funkcji T przez prawa zdefiniowane za pomocą operatora różniczkowego EJW∂⁴(x)/∂x⁴=q; EJ*W∂⁴(x)/∂x⁴-q=0; +warunki brzegowe, węzły aproksymacji:x₁,x₂…,x_n; y=f(x) w tych punktach.

6. Czym się różni MES od innych metod aproksymacyjnego rozwiązywania?

MES opiera się bezpośrednio na równaniach różniczkowych a inne metody oparte są metodach całkowych. W MES zastępujemy równania różniczkowe równaniami algebraicznymi (im więcej równań tym dokładniejszy wynik). W pozostałych metodach problemem jest trafny wybór funkcji bazowej oraz współczynnika a_i przy f. bazowej (im więcej funkcji bazowych tym dokładniejszy wynik) .

7. Wielomian uogólniony i funkcja bazowa.

Wielomian uogólniony:

$$W_{(x)} = \sum_{i = 0}^{n}{a_{i} \bullet \varphi_{i}(x)}$$

φ₀(x),  φ₁(x), φ₂(x)…φ_n(x) – funkcje bazowe – są to takie funkcje, które dobieramy sami tak, aby spełnić warunki brzegowe.

8. Residuum.

Residuum jest pewną różnicą lub resztą przy działaniach na całkach rzeczywistych. Jest liczbą zespoloną opisującą zachowanie całek po konturach analitycznej funkcji f(x).

R(x; a_i)

9. Interpolacja przy pomocy funkcji sklejania.

Jest to alternatywne podejście do przybliżenia dowolnej funkcji w przedziale domkniętym, polegając na podziale tego przedziału na podprzedziały i skoncentrowaniu różnych elementów interpolacyjnych dla każdego z nich.

Interpolacja funkcjami sklejania stopnia trzeciego.

Niech funkcja f będzie określona w zbiorze <a; b> oraz a₀ = x₀ < x₁ < … < x_n = b

Funkcją sklejania stopnia trzeciego nazywamy funkcję S, która spełnia warunki:

- S jest wielomianem co najmniej stopnia trzeciego na przedziale <x_j; x_j + 1> oznaczonym S_j     j ∈ {0;1;…;n}

- S(x_j)=f(x_j)     dla kazdego j ∈ <1; n> wartość funkcji interpolującej pokrywa się z f. interpolowaną

- S(x) jest dowolnie różniczkowalna w sposób ciągły w każdym z węzłów

- Spełnia:

S^″(x₀) = S^″(x_n) = 0 końce wolne

lub

S^′(x₀) = f^′(x₀) oraz S^′(x_n) = f^′(x_n) końce związane

1. Rozwiazywanie układów równan liniowych

• Metody bezpośrednie

• Metoda eliminacji Gaussa

• Metoda Gaussa-Jordana

• Rozkład LU

• Macierzy odwrotnej

1. Metody iteracyjne ( znamy rozwiązania przybliżone, które poprawiamy zbliżając się do dokładnego rozwiązania )

• Metoda iteracji prostych

• Metoda sukcesywnych poprawek

• Metoda Jacobiego

• Metoda Gaussa-Seidla

1. Metody mieszane

   Opisanie kilku metod:

1. Metoda eliminacji Gaussa

   A11x1+a12x2+a13kx=b1 [1]

   A21x1+a22x2+a23x3=b2 [2]

   A31x1+a32x2+a33x3=b3 [3]

   [1]*(-a21/a11)-[2]--------------> [2]

   [1]*(-a31/a11)+[3]--------------> [3]

   A11x1+a12x2+a13kx=b1

   a22’x2+a23’x3=b2’

   a32’x2+a33’x3=b3’

   [2]*(-a32’/a22’)+[3]--------------> [3]

   A11x1+a12x2+a13kx=b1 -> x1

   a22’x2+a23’x3=b2’ -> x2

   a33’’x3=b3’’ -> x3

2. Metoda eliminacji Gaussa-Jordana

   Proces eliminacji prowadzi się dalej niz w metodzie Gaussa do uzyskania równan w postaci :

   1x1+0x2+0x3=b1*

   0x1+1x2+0x3=b1*

   0x1+0x2+1x3=b1*

   I • X=B*

3. Metoda rozkładu LU

   A•X = B

   A=L•U

   L*U*X=B

   U*X=D ---------------> X

   L*D=B ---------------> D

4. Metoda macierzy odwrotnej

   A*X=B

   A----> A⁻¹

   X=A⁻¹*B

5. Metody bezpośrednie- nie trzeba znać rozwiązania wstępnego:

• Przekształcenie układu równan

• Obliczenie konkretnych wartości

1. Metoda sukcesywnych poprawek

   A11x1+a12x2+a13kx=b1

   A21x1+a22x2+a23x3=b2

   A31x1+a32x2+a33x3=b3

2. Metoda iteracyjna-metoda Jacobiego

   AX-B

   A=L+I+U

   Gdzie:

   L-macierz trójatna dolna z 0 na głownej przekątnej

   U- mcierz trójkątna górna z 0 na głównej przekątnej

   A*X=(L+I+U)X=B

   JX=B-(L+U)X

   X=B-(L+U)*X⁰

   Musimy znać rozwiązanie początkowe przybliżone X⁰. Aby tok obliczen był zbieżny to macierz A musi być silnie diagonalnie dominująca lub silnie diagonalnie dominująca kolumnowo.

   Macierz dominująca diagonalnie

a_ii ≥ a_ik

Macierz silnie dominująca diagonalnie

a_ii > a_ik-elementy poza główną przekątną

Macierz diagonalnie dominująca kolumnowo

Elementy leżące na głównej przekątnej-a_ii ≥ a_ik-elementy leżące w jednej kolumnie

1. Metoda iteracyjna – metoda Gaussa-Seidla

2. Rozwiązywanie układów rownan nieliniowych- metody numeryczne.

   Dany jest układ n równan z n niewiadomymi tworzący wektor x=[x1,x2,x3….].

   Układ równan jest układem nieliniowym. Można go zapisac w następującej postaci:

   F1(x1,x2,x3,x4….xn) = F1(x)=0

   F2(x)=0

   Fn(x)=0

3. Metoda iteracji prostych

   I etap- przekształcamy układ równan

   X1=f1(x2,x3,x4….)

   X2=f2(x1,x3,x4…)

   Xn=fn(x1,x2,x3…x_n − 1)

   Dalszy tok postepowania jak w metodzie Gaussa-Seidla.

4. Metoda iteracyjna ze zmiennym parametrem

   Jest stosowana wtedy , gdy nie jesteśmy w stanie określić rozwiązania początkowego.

   Fi(x)=0

   Gi(x)=0

   i=1,2,3..n

   Gi(x)+[Fi(x)-Gi(x)]*k/N = 0

   N-narzucony przez nas parametr, liczba całkowita, okresla w ilu krokach rozwiążemy układ Fi.

   k- liczby 1,2,3…N

   dla k=0 -------------> G1(x)=0

   dla k=N---------------->Fi(x)=0

   dla k=1 rozwiazaniem początkowym jest rozwiązanie układu Gi(x)=0

   dla k=2 Gi(x)-[Fi(x)-Gi(x)]*1/N=0

5. Metoda Newtona

   Znamy rozwiązania początkowe x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾…….

   X=[x₁⁽⁰⁾ + x₁, x₂⁽⁰⁾ + x₂ ….]

   Fi(x)-rozwijamy w szeregi Tatlora.

   INTERPOLACJA

   X0,x1…- węzły interpolacji

   f(x)-funkcja interpolowana

   f(x0)=y0….

   W(x)-f. interpolująca

   W(xi)=yi , i=0,1,2…

   W(x) , x należy < xo, xn>

   Zdefiniowany typ interpolacji to tzw. Interpolacja Lagrange’a (Newtona)-odnosząca się wyłącznie do wartości funkcji interpolowanej. Inne przykłady zagadnien interpolacyjnych to np. interpolacja Tayora. Interpolacja Tayora jest to rodzaj interpolacji w sytuacji, gdy znamy wartość funkcji interpolowanej oraz wartość n 1. Pochodnych f. interpolowanej tylko w 1 węzle. Powoduje to ograniczenie uzycia f.interpolacyjnej tylko do małego otoczenia wezła.

   Interpolacja Hermite`a- w określonej liczbie węzłów znamy wartość funkcji interpolowanej oraz wartość t 1.pochodnych. Interpolacja Lagrange’a i Tayora SA szczególnymi przypadkami interpolacji Hermite’a.

   F. interpolująca najczęściej przyjmuje się w postaci wielomianu uogólnionego:

   Interpolacja wielomianowa- jako funkcje bazowe przyjmuje się jednomiany, w związku z tym wielomian interpolujący przyjmuje postać:

   Interpolacja funkcjami sklejanymi

   Alternatywnym podejściem do przyblizania danej funkcji na domknietym przedziale jest podzial tego przedzialu na podprzedzialy i skonstruowanie odrębnych wielomianów interpolacyjnych dla każdego podprzedziału. Takie zagadnienie nazywamy interpolacja przedziałami wielomianowa lub interpolacja funkcjami sklejanymi. Najprostszym rodzajem takiej interpolacji jest interpolacja przy pomocy f.liniowych.

   Interpolacja tego typu jest przydatna tylko w sytuacjach gęstego podziału przedziału interpolacji nad podprzedziały oraz wtedy gdy nie wykorzystujemy pochodnych funkcji interpolujących. Możliwe jest stosowanie w poszczególnych oidprzedziałach interpolacji funkcjami kwadratowymi. Podprzedziały miedzy 2 kolajnymi wezłami interpolacji:

   Najbardziej przydatna i najczęściej stosowana – interpolacja splajnem sześciennym (interpolacja f.sklejanymi stopnia trzeciego).