Akademia Górniczo-Hutnicza

im. Stanisława Staszica

WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ I ROBOTYKI

ANALIZA SYGNAŁÓW I IDENTYFIKACJA

PROJEKT

Identyfikacja obiektu z dwoma wejściami i jednym wyjściem

- zadanie nr 68

Wykonał:

Szymon Grochal

AiR, grupa 18

2012/2013

Temat zadania:

Identyfikacja obiektu dwuwejściowego przedstawionego schematycznie na rysunku 1.

Gdzie:

z - zakłócenie w postaci szumu o rozkładzie normalnym, lub skok jednostkowy,

u - wejście obiektu w postaci szumu o rozkładzie równomiernym, lub skok jednostkowy,

y - wyjście obiektu

Dane do projektu numer 68:

Tor wejściowy (G_u(s)) to układ RLC gdzie R_u=20 Ω

Tor wyjściowy (G_z(s)) to układ RC gdzie R_z=100 Ω

1. Wyznaczenie transmitancji układów RLC oraz RC:

a) RLC

Korzystając z II prawa Kirchoffa:

$U_{1} = R_{u} \bullet i + L \bullet \frac{\text{di}}{\text{dt}} + U_{2}$ $i = C \bullet \frac{du_{2}}{\text{dt}}$ $\frac{\text{di}}{\text{dt}} = C \bullet \frac{d^{2}u_{2}}{dt^{2}}$

$U_{1} = R_{u} \bullet C \bullet \frac{du_{2}}{\text{dt}} + L \bullet C \bullet \frac{d^{2}u_{2}}{dt^{2}} + U_{2}$ U₁ = R_u • C • U₂ • s + L • C • U₂ • s² + U₂

U₁ = U₂ • (R_u • C • s + L • C • s² + 1) $G\left( s \right) = \frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{1}{L \bullet C \bullet s^{2} + R_{u} \bullet C \bullet s + 1}$

b) RC

Korzystając z II prawa Kirchoffa:

U₁ = R_z • i + U₂ $i = C \bullet \frac{du_{2}}{\text{dt}}$ $U_{1} = R_{z} \bullet C \bullet \frac{du_{2}}{\text{dt}} + U_{2}$

U₁ = R_z • C • U₂ • s + U₂ U₁ = U₂ • (R_z • C • s + 1) $G\left( s \right) = \frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{1}{R_{z} \bullet C \bullet s + 1}$

2. Identyfikacja parametrów modelu na podstawie odpowiedzi na skok

jednostkowy.

Sygnał wejściowy u - skok jednostkowy.

Badanym układem jest układ RLC o transmitancji G_u(s).

Do obliczeń wykorzystamy inną postać

$$G\left( s \right) = \frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{1}{L \bullet C \bullet s^{2} + R_{u} \bullet C \bullet s + 1} = \frac{\frac{1}{L \bullet C}}{s^{2} + \frac{R}{L} \bullet s + \frac{1}{L \bullet C}} = \frac{\omega_{0}^{2}}{s^{2} + 2 \bullet \xi \bullet \omega_{0} \bullet s + \omega_{0}^{2}} = \frac{1}{T_{0}^{2} \bullet s^{2} + 2 \bullet \xi \bullet T_{0} \bullet s + 1}$$

gdzie:

$\frac{1}{L \bullet C} = \omega_{0}^{2}$ $L = \frac{R}{2 \bullet \xi \bullet \omega_{0}}$ $C = \frac{2 \bullet \xi}{R \bullet \omega_{0}}$ $\xi = \frac{\ln\frac{y_{1}}{y_{2}}}{\sqrt{\pi^{2} + \ln^{2}\frac{y_{1}}{y_{2}}}}$

T = (t₂ − t₁)•2

$\omega = \frac{2 \bullet \pi}{T}$

$\delta = \frac{\xi \bullet \omega}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}$

$\omega_{0} = \sqrt{\omega^{2} + \delta^{2}}$

$T_{0} = \frac{1}{\omega_{0}}$

Czas próbkowania dt=0.0001

Liczba próbek N=16000

Rezystancja R_u=20 Ω

Odczytano z wykresu:

y₁=0.6142 y₂=0.3773 T=0.195

Obliczono według wzorów z poprzedniej strony:

ξ=0.1533 ω=32.2215 δ=4.9986 ω₀=32.6069 T₀=0.0307

Zidentyfikowana transmitancja obiektu:

$$\mathbf{G}_{\mathbf{u}}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{0.00}\mathbf{09405 \bullet}\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 0.009403 \bullet s + 1}}$$

Wyliczone parametry układu:

L=2.0006 H C=0.00047014 F=0.47014 mF

3. Identyfikacja parametrów modelu na podstawie odpowiedz impulsowej.

Sygnał wejściowy u - skok jednostkowy.

Badanym układem jest układ RLC o transmitancji G_u(s).

Różniczkując odpowiedź skokową układu otrzymujemy odpowiedź impulsową. Następnie dokonujemy transformaty Fouriera z otrzymanej poprzednio odpowiedzi oraz wygładzamy wykres. Otrzymaliśmy w ten sposób krzywą Nyquista.

Kolejnym krokiem jest znalezienie ω₁ i ω₂.

Wyznaczamy częstotliwość dla których część urojona równa się rzeczywistej (ω₁) oraz część rzeczywista się zeruje (ω₂). Pierwsza próbka leży na przecięciu otrzymanej charakterystyki i prostej nachylonej o kąt 45° od osi Re (ω) i przechodzącej przez punkt (0,0). Druga znajdziemy

w miejscu przecięcia się wykresu z osią urojoną.

Pierwsza próbka: nr 714

Druga próbka: nr 832

ω = nr_probki • df • 2 • π gdzie: $df = \frac{1}{dt \bullet Ns}$

Czas próbkowania dt=0.0001

Liczba próbek N=16000

Rezystancja R_u=20 Ω

Liczba próbek odpowiednio zwiększona, zależy od stopnia wygładzenia wykresu. N_s=N∙100=1600000

ω₁=28.0387 ω₂=32.6726

Niezbędne obliczenia:

$\xi = \frac{1}{2} \bullet \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} \bullet \left( 1 - \frac{\omega_{1}^{2}}{\omega_{2}^{2}} \right) = 0.1535$

Zidentyfikowana transmitancja obiektu:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 2 \bullet \xi \bullet}\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet s +}\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1067}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 10.03 \bullet s + 1067}}$$

Wyznaczamy parametry układu:

$L = \frac{R}{2 \bullet \xi \bullet \omega_{0}} = 1.9933\ H$

$C = \frac{2 \bullet \xi}{R \bullet \omega_{0}} = 0.00046996\ F = 0.46996\ mF$

4. Identyfikacja parametrów modelu obiektu SISO.

Sygnał wejściowy u - sygnał losowy w postaci szumu o rozkładzie równomiernym.

Sygnał wyjściowy y

Badanym układem jest układ RLC o transmitancji G_u(s).

Należy wyznaczyć współczynniki modelu na podstawie funkcji gęstości widmowych mocy własnej i wzajemnej.

Gęstość widmową mocy wyznaczamy na podstawie przekształceń Fouriera sygnałów czasowych u(t) i y(t).

Następnie wyznaczamy gęstość widmową mocy:

- własną

S_uu(jω) = U(jω) • U(jω)^*

- wzajemną

S_uy(jω) = U(jω)^* • Y(jω)

Aby wyznaczyć charakterystykę Nyquista:

$G\left( \text{jω} \right) = \frac{S_{\text{uy}}\left( \text{jω} \right)}{S_{\text{uu}}\left( \text{jω} \right)}$

Otrzymujemy:

Wykres ten jest nieczytelny i nieużyteczny. Postanowiłem zmniejszyć ilość próbek o połowę, interpolując wykres i wyświetlając przedział 1:1500.

Uzyskałem:

Czas próbkowania dt=0.0001

Liczba próbek N=30000

Rezystancja R_u=20 Ω

Liczba próbek odpowiednio zwiększona, zależy od stopnia czytelności

i wygładzenia wykresu. N_s=(N∙50 (interpolacja))/10=150000

Pierwsza próbka: nr 661

Druga próbka: nr 776

Numer próbki zmniejszamy 10-krotnie ze względu na interpolację.

Transmitancje modelu wyznaczamy w analogiczny sposób jak poprzednio.

ω₁=27.6879 ω₂=32.5050

$\xi = \frac{1}{2} \bullet \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} \bullet \left( 1 - \frac{\omega_{1}^{2}}{\omega_{2}^{2}} \right) = 0.1611$ $T_{0} = \frac{1}{\omega_{2}} = 0.0308$

Zidentyfikowana transmitancja obiektu:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet}\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 2 \bullet \xi \bullet}\mathbf{T}_{\mathbf{0}}\mathbf{\bullet s + 1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{0.0009465 \bullet}\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 0.009912 \bullet s + 1}}$$

Wyznaczamy parametry układu:

L=1.9098 H

C=0.00049558 F=0.49558 mF

5. Identyfikacja parametrów modelu obiektu MISO.

Sygnał wejściowy u - sygnał losowy w postaci szumu o rozkładzie równomiernym.

Sygnał zakłóceniowy z - sygnał losowy w postaci szumu o rozkładzie normalnym.

Sygnał wyjściowy y - sygnał na wyjściu sumatora

W torze głównym sygnału wejściowego znajduje się układ RLC

o transmitancji G_u(s).

W torze zakłócenia znajduje się układ RC o transmitancji G_z(s).

Należy wyznaczyć współczynniki modelu na podstawie funkcji gęstości widmowych mocy własnej i wzajemnej.

Najpierw wszystkie sygnały poddajemy transformacie Fouriera.

Następnie wyznaczamy gęstości widmowe mocy własnej i wzajemniej.

- własną

S_uu(jω) = U(jω) • U(jω)^*

S_zz(jω) = Z(jω) • Z(jω)^*

- wzajemną

S_uy(jω) = U(jω)^* • Y(jω)

S_zy(jω) = Z(jω)^* • Y(jω)

S_uz(jω) = U(jω)^* • Z(jω)

S_zu(jω) = Z(jω)^* • U(jω)

Transmitancje toru głównego G₁(jω) oraz toru zakłócenia G₂(jω):

$$G_{1}\left( \text{jω} \right) = \frac{S_{\text{zz}}\left( \text{jω} \right) \bullet S_{\text{uy}}\left( \text{jω} \right) - S_{\text{uz}}\left( \text{jω} \right) \bullet S_{\text{zy}}\left( \text{jω} \right)}{S_{\text{uu}}\left( \text{jω} \right) \bullet S_{\text{zz}}\left( \text{jω} \right) - S_{\text{uz}}\left( \text{jω} \right) \bullet S_{\text{zu}}\left( \text{jω} \right)}$$

$$G_{2}\left( \text{jω} \right) = \frac{S_{\text{uu}}\left( \text{jω} \right) \bullet S_{\text{zy}}\left( \text{jω} \right) - S_{\text{zu}}\left( \text{jω} \right) \bullet S_{\text{uy}}\left( \text{jω} \right)}{S_{\text{uu}}\left( \text{jω} \right) \bullet S_{\text{zz}}\left( \text{jω} \right) - S_{\text{uz}}\left( \text{jω} \right) \bullet S_{\text{zu}}\left( \text{jω} \right)}$$

Z transmitancji widmowych możemy wykreślić charakterystyki amplitudowo – fazowe a mając je wyznaczyć transmitancje obiektu.

Wykresy Nyquista zostały wygładzone, zmniejszona została ilość próbek.

Postanowiłem go również interpolować oraz wyświetlić ograniczony przedział.

Czas próbkowania dt=0.0001

Liczba próbek N=30000

Rezystancja G₁(jω) R_u=20 Ω

Rezystancja G₂(jω) R_z=100 Ω

Charakterystyka amplitudowo-fazowa toru głównego z obiektem RLC

o transmitancji G₁(jω).

Charakterystyka amplitudowo-fazowa toru zakłócenia z obiektem RC

o transmitancji G₂(jω).

Wyznaczanie transmitancji obiektu z toru głównego - RLC

Pierwsza próbka: nr 128

Druga próbka: nr 151

Numer próbki zmniejszamy 10-krotnie ze względu na interpolację.

Transmitancje modelu wyznaczamy w analogiczny sposób jak poprzednio.

ω₁=26.8083 ω₂=31.6254

$\xi = \frac{1}{2} \bullet \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} \bullet \left( 1 - \frac{\omega_{1}^{2}}{\omega_{2}^{2}} \right) = 0.1660$ $T_{0} = \frac{1}{\omega_{2}} = 0.0316$

Zidentyfikowana transmitancja obiektu:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet}\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 2 \bullet \xi \bullet}\mathbf{T}_{\mathbf{0}}\mathbf{\bullet s + 1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{0.0009998 \bullet}\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 0.0105 \bullet s + 1}}$$

Wyznaczamy parametry układu:

L=1.9048 H

C=0.0005249 F=0.5249 mF

Odpowiedź skokowa obiektu RLC znajdującego się w torze głównym U.

Wyznaczanie transmitancji obiektu z toru zakłócenia - RC

Pierwsza próbka: nr 53

Numer próbki zmniejszamy 10-krotnie ze względu na interpolację.

Obiekt ten jest obiektem inercyjnym I rzędu. Wystarczy nam ω₁

ω₁=11.1003 $T_{0} = \frac{1}{\omega_{1}} = 0.09009$

Zidentyfikowana transmitancja obiektu:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{R}_{\mathbf{z}}\mathbf{\bullet C \bullet s + 1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}_{\mathbf{o}}\mathbf{\bullet s + 1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{0.09009 \bullet s + 1}}$$

Wyznaczamy parametry układu:

C=0.0009 F

Odpowiedź skokowa obiektu RC znajdującego się w torze zakłócenia Z.

6. Identyfikacja metodami parametrycznymi korzystając z System Identification Toolbox.

Identyfikujemy dla SISO - G₁ (RLC), dla MISO - G₁ (RLC) i G_{2 )}(RC)

R_z=100 Ω R_u=20 Ω

a) Dla układu SISO u - wejście, y - wyjście

Wyznaczyć transmitancję metodami: ARX, IV, ARMAX, OE, BJ.

Odpowiedzi skokowe zidentyfikowanych transmitancji porównujemy

z uzyskaną w poprzednim punkcie dla obiektu z toru głównego - RLC.

Transmitancja G₁ otrzymana metodą ARX:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{- 0.3051 \bullet s + 639.7}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 674.6 \bullet s + 1.269 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}}$$

Wyznaczone parametry układu:

ω₀=25.2923 ξ=13.3361

L=0.0296 H C=0.0527 F

Transmitancja G₁ otrzymana metodą IV:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{- 0.1515 \bullet s + 734.1}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{- 11.01 \bullet s + 1347}}$$

Wyznaczone parametry układu:

ω₀=27.2923

Brak tłumienia (ξ) - nie da się wyznaczyć L i R

Transmitancja G₁ otrzymana metodą ARMAX:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{- 0.2996 \bullet s + 653.9}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 731.8 \bullet s + 1.357 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}}$$

Wyznaczone parametry układu:

ω₀=25.5715 ξ=14.3089

L=0.0273 H C=0.0560 F

Transmitancja G₁ otrzymana metodą OE i BJ:

W TYM PRZYPADKU OTRZYMANO IDENTYCZNE TRANSMITANCJE

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{0.1227 \bullet s + 1077}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 9.956 \bullet s + 1062}}$$

Wyznaczone parametry układu:

ω₀=32.8177 ξ=0.1517

L=2.0088 H C=0.00046221 F=0.46221 mF

b) Dla układu MISO u - wejście 1, z -wejście 2, y - wyjście

Wyznaczyć transmitancję metodami: ARX, IV, ARMAX, OE, BJ.

Odpowiedzi skokowe zidentyfikowanych transmitancji porównujemy

z uzyskaną w poprzednim punkcie dla obiektu z toru głównego - RLC

oraz toru zakłócenia - RC.

Transmitancja G₁ otrzymana metodą ARX:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{- 0.05922 \bullet s + 1100}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 88.03 \bullet s + 347.7}}$$

Wyznaczone parametry układu:

ω₀=33.1662 ξ=1.3271

L=0.2272 H C=0.004 F

Transmitancja G₂ otrzymana metodą ARX:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{214.7 \bullet s - 2.57 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 88.03 \bullet s + 347.7}}$$

Wyznaczone parametry układu:

T=0.2532 C=0.0025 F

Transmitancja G₁ otrzymana metodą IV:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{- 0.05446 \bullet s + 1067}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 46.81 \bullet s - 3.517 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}}$$

Wyznaczone parametry układu:

ω₀=32.6650 ξ=0.7165

L=0.4273 H C=0.0022 F

Transmitancja G₂ otrzymana metodą IV:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{215.1 \bullet s + 3.618 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 46.81 \bullet s - 3.517 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}}$$

Transmitancja G₁ otrzymana metodą ARMAX:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{- 0.05876 \bullet s + 1097}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 88.5 \bullet s - 343.5}}$$

Wyznaczone parametry układu:

ω₀=33.1210 ξ=1.3360

L=0.2260 H C=0.004 F

Transmitancja G₂ otrzymana metodą ARMAX:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{214}\mathbf{.7 \bullet s - 2.573 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 88.5 \bullet s + 343.5}}$$

Wyznaczone parametry układu:

T=0.2576 C=0.0026 F

Transmitancja G₁ otrzymana metodą OE i BJ:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{- 0.05323 \bullet s + 1064}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 9.899 \bullet s + 1064}}$$

Wyznaczone parametry układu:

ω₀=32.6190 ξ=0.1517

L=2.0204 H C=0.00046518 F=0.46518 mF

Transmitancja G₂ otrzymana metodą OE i BJ:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{215.1 \bullet s + 9978}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 261.5 \bullet s + 9978}}$$

Wyznaczone parametry układu:

T=0.0262 C=0.00026208 F=0.26208 mF

MODELE OE i BJ DAJĄ DOKŁADNIE TAKIE SAME WYNIKI!

Porównanie otrzymanych wyników
Lp.
-
-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Komentarz do punktu 6 (zadanie 5):

W tym przypadku najlepsze wyniki osiągnięto poprzez zastosowanie modelu błędu wyjściowego (OE) i Boxa-Jenkinsa (BJ). Rozwiązania uzyskane tymi dwoma metodami są taki same. Otrzymane transmitancje, charakterystyki i parametry opisujące układ są zbliżone do rzeczywistych. Nie oznacza to jednak, że pozostałe modele są niepoprawne, błędne. Przy tych danych po prostu lepiej sprawdziły się wcześniej wymienione OE i BJ. Zmianę, poprawę wyników można uzyskać poprzez modyfikowanie rzędu modelu identyfikacyjnego (np. [2 2 1] zmienić na [4 4 1]).