Analiza sygnałów i identyfikacja

Projekt

Wykonał:

Szymon Stawowy

grupa 08

wariant 11

Tematem zadanie jest identyfikacja obiektu dwuwejściowego przedstawionego schematycznie na rysunku. Transmitancje Gu(s) i Gz(s) opisują obiekty RLC lub RC

z-zakłócenie w postaci szumu o rozkładzie normalnym lub skok jednostkowy

u-wejście obiektu w postaci szumu o rozkładzie równomiernym lub skok jednostkowy

y-wyjście obiektu

1. Identyfikacja parametrów modelu na podstawie odpowiedzi skokowej.

Schemat układu RLC i RC:

$$G_{u}(s) = \frac{1}{L \bullet C1 \bullet s^{2\ } + R1 \bullet C1 \bullet s + 1}$$

$$G_{z}(s) = \frac{1}{R2 \bullet C2 \bullet s + 1}$$

Dane:

Ru=R1=120 Ω

Rz=R2=1100 Ω

Do obliczeń układu RLC korzystam z innej postaci transmitancji takiego układu:

• Odpowiedź skokowa układu - wykres ys(t):

Z wykresu odczytałem, że:

• y1=0.774

• y2=0.6

• Tosc=0.00935

Następnie używając poniższych wzorów wyliczyłem potrzebne parametry:

$$\omega = 671.998\frac{\text{rad}}{s}$$

ζ = 0.081

δ = 54.611

$$\omega_{o} = 674.21\frac{\text{rad}}{s}$$

T_o = 0.00148s

Transmitancja Gu(s) przyjmuje postać:

$$G_{u}(s) = \frac{1}{2.1904*10^{- 6}s^{2} + 2.3976*10^{- 4}s + 1}$$

Możemy teraz wyliczyć C1 oraz L.

C1=1.998*10⁻⁶F

L=1.096H

Wyniki otrzymane w Matlabie:

• Porównanie wykresów:

1. Identyfikacja parametrów modelu na podstawie odpowiedzi impulsowej.

Aby z odpowiedzi skokowej wyznaczyć odpowiedź impulsową należy uzupełnić odpowiedź zerami oraz dokonać operacji różniczkowania.

Aby zidentyfikować model na podstawie odpowiedzi impulsowej, wyznaczam krzywą Nyquista stosując przekształcenie Fouriera i na podstawie punktów przecięcia krzywej z osiami układu współrzędnych wyznaczam współczynniki w mojej transmitancji.

Aby łatwiej znaleźć interesujące mnie punkty część rzeczywistą oraz odbicie względem osi OX części urojonej zaprezentowałem na jednym wykresie.

Odczytuję numery próbek dla których wykresy przecinają się(P_Od1),

oraz dla Re=0(P_Od2):

P_Od1=997

P_Od2=1077

Odczytane numery próbek podstawiam do wzorów pozwalających obliczyć mi parametry występujące w transmitancji:

ω_{1 = 2 * π * P_Od1}

ω_{2 = 2 * π * P_Od2}

Transmitancja obliczona w Matlabie:

Oraz stałe C1[F] i L[H]:

Dla sprawdzenia poprawności wyznaczonych parametrów porównujemy odpowiedzi skokowe układu:

Możemy wywnioskować, że wyliczone parametry mają prawidłowe wartości, gdyż wykresy nie odbiegają ode siebie znacząco.

1. Identyfikacja parametrów modelu obiektu SISO

Identyfikacja tą metodą polega na wykorzystaniu transformat Fouriera sygnałów wyjściowego i wejściowego, wyznaczeniu gęstości widmowej mocy sygnału wejściowego oraz gęstości widmowej mocy wzajemnej wejścia i wyjścia. Jest to potrzebne do wyznaczenia charakterystyki amplitudowo-fazowej i odczytania z niej charakterystycznych wartości częstotliwości.

Otrzymana charakterystyka Nyquista:

Odczytuję numery próbek dla których wykresy przecinają się(P_Od1),

oraz dla Re=0(P_Od2):

P_Od1=99

P_Od2=106

Odczytane numery próbek podstawiam do tych samych wzorów jak w punkcie 2 pozwalających obliczyć mi parametry występujące w transmitancji:

Transmitancja obliczona w Matlabie:

Oraz stałe C1[F] i L[H]:

Dla sprawdzenia poprawności wyznaczonych parametrów porównuję odpowiedzi skokowe układu:

Po wykresach wnioskuję, że model został poprawnie zidentyfikowany.

1. Identyfikacja parametrów modelu obiektu MISO

Podobnie jak poprzednio identyfikacja tą metodą polega na wykorzystaniu transformat Fouriera sygnałów wyjściowego i wejściowego, wyznaczeniu gęstości widmowej mocy sygnałów wejściowego i zakłócającego oraz gęstości widmowej mocy wzajemnej osobno wejść (do obiektu i zakłócającego) i wyjścia, w celu wyznaczenia charakterystyki amplitudowo-fazowej modelu obiektu oraz zakłóceń i odczytania z niej charakterystycznych wartości częstotliwości: ω2 dla Re = 0 oraz ω1 dla Re = - Im

u - wejście obiektu (sygnał losowy o rozkładzie równomiernym)

z - wejście zakłócające (sygnał losowy o rozkładzie normalnym)

y - wyjście obiektu.

Za pomocą funkcji gęstości widmowych mocy własnej i wzajemnej wyznaczam współczynniki transmitancji podobnie jak w po przednim punkcie. Model zakłócenia jest obiektem pierwszego rzędu odczytywany będzie jedynie punkt przecięcia dla części rzeczywistej równej części urojonej.

Następnie stosuję ten sam zabieg bo w punkcie 2 oraz 3 i odczytuję numery próbek dla których wykresy przecinają się(P_Od1),

oraz dla Re=0(P_Od2)

P_Od1=20

P_Od2=22

Transmitancja obliczona w Matlabie:

Oraz stałe C1[F] i L[H]:

Dla zakłócenia wykres wygląda następująco:

A interesujący nas numer próbki to P_Od3=20

Obiekt zakłócający to obiekt RC dla którego transmitancja ma postać:

$$G_{z} = \frac{1}{R_{\text{z\ \ }}C_{z}*s + 1}$$

Obliczona transmitancja obiektu RC w Matlabie:

• 

oraz stała Cz [F]:

• 

Dla sprawdzenia poprawności wyznaczonych parametrów porównujemy odpowiedzi skokowe układu:

Po wykresach wnioskuję, że ten model również został poprawnie zidentyfikowany.

1. Identyfikacja metodami parametrycznymi (System Identification Toolbox)

• Identyfikacja SISO

Za pomocą ToolBoxa wyznaczam transmitancje obiektów w oparciu o modele parametryczne :

• ARX (AutoRegressive with eXogenous input)

• IV (ARX with Instrumental Variables)

• ARMAX (AutoRegressive Moving Average with eXogenous input)

• OE (Output Error)

• BJ (Box-Jenkins)

Na początku ustawiam w toolboxie wszystkie potrzebne okienka, tzn: Time domain data(Input, Output, Data name, Starting time, Sampling interval), następnie dodaje Polynominal Models. Efektem tych działań jest poniższe okienko:

Następnie przeciągam poszczególne modele ‘To Workspace’ oraz zaznaczam ‘Model output’ i pojawiają się poniższe wykresy:

Następnie generuje odpowiedzi skokowe otrzymanych modelu i porównuje z odpowiedzią wzorcową.

• Porównanie pokrycia poszczególnych modeli:

Metoda BJ Metoda OE

Metoda IV Metoda ARX

Metoda ARMAX

Największe pokrycie ma model BJ. Transmitancję wyznaczonego modelu obliczam analogicznie jak w punkcie 1.

Z wykresu odczytałem, że:

• y1=0.79

• y2=0.598

• Tosc=0.00937

• Transmitancja obliczona w Matlabie:

• Oraz stałe C1[F] i L[H]:

Pozostałe wyniki:

• Identyfikacja MISO:

Powtarzam te same kroki co w przypadku SISO z tą różnicą, że w ‘Time domain data’ w ‘Input’ wprowadzam [u z], ponieważ tutaj uwzględniamy również zakłócenie z.

• Porównanie pokrycia poszczególnych modeli:

Metoda BJ Metoda OE

Metoda IV Metoda ARX

Metoda ARMAX

Największe pokrycie ma model OE. Transmitancję wyznaczonego modelu obliczam analogicznie jak w punkcie 1.

Z wykresu odczytałem, że:

• y1=0.77

• y2=0.601

• Tosc=0.00927

• Transmitancja obliczona w Matlabie:

• Oraz stałe C1[F] i L[H]:

• Pozostałe wyniki:

• Wnioski:.

Identyfikacja na podstawie odpowiedzi skokowej jest najprostsza, wymaga najmniej obliczeń i daje dobry wynik, jednak nie uwzględnia wpływu zakłóceń na obiekt, ponieważ może służyć tylko do identyfikacji obiektów SISO. Identyfikacja na podstawie odpowiedzi impulsowej daje podobny efekt jak przy zastosowaniu metody odpowiedzi skokowej, wymaga jedynie trochę więcej obliczeń. Identyfikacja obiektu SISO przy wykorzystaniu funkcji gęstości widmowej mocy jest mniej dokładna. Tutaj również nie było uwzględnione zakłócenie. Identyfikacja obiektu MISO przy wykorzystaniu funkcji gęstości widmowej mocy pozwala zidentyfikować zarówno tor główny jak i zakłócenie oraz daje nam zadowalające wyniki. Identyfikacja modelami parametrycznymi za pomocą System identification toolbox umożliwia przeprowadzenie weryfikacji modelu z wykorzystaniem zaawansowanych algorytmów. Możemy dzięki nim również sprawdzić stopień w jakim pasują do siebie odpowiedzi modelu z toolboxa i modelu wzorcowego. Najbardziej pasującymi modelami okazały się BJ ( w przypadku SISO) oraz OE (w przypadku MISO).