Ruch harmoniczny: x=Acos(ωt+ф₀),v=-Aωsin(ωt+ф₀),a=-Aω²cos(ωt+ф₀)=-ω²x, ω =$\frac{2\pi}{T}$=2πf; energia: E_p=$\frac{kx\hat{}2}{2} = \frac{kA\hat{}2}{2}cos(\omega t + f$₀), k=mω² ,Ruch tłumiony: x(t)=A₀e$\hat{}(^{\frac{- bt}{2m}})$sin(ωt+ф), ω=$\sqrt{\omega 0\hat{}2 - (\frac{b}{2m})\hat{}2}$ , ω₀=$\sqrt{\frac{k}{m}}$, Logarytmiczny dekrement tłumienia: σ=ln$\frac{\text{An}}{An + 1}$=lne^βT=βT; β=$\frac{b}{2m}$. T=$\frac{2\pi}{\omega}$, σ=βT

Drgania:

Drganie-Proces, podczas którego opisująca go wielkość fizyczna kolejno rośnie i maleje.Drgania dzielimy na okresowe i nieokresowe. Drgania nazywamy okresowymi, jeżeli opisująca je funkcja x(t) jest okresowa. Czyli jeżeli istnieje taka wielkość dodatnia T, że w każdej chwili t x(t+T)=x(t). Okresem drgań-nazywamy najmniejszą z wielkości T, dla których zachodzi powyższa równość. Część drgań okresowych, która zachodzi w trakcie jednego okresu nazywamy cyklem drgań-nazywamy. Częstość drgań-Odwrotność okresu, czyli liczbę cykli drgań w jednostce czasu. v=1/T. Jednostką częstości jest herz: 1 Hz = 1 cykl/s. Amplitudą drgań okresowych nazywamy największe odchylenie od położenia średniego:a=x_maxmax-x_śr=x_śr-x_minmin. Położenie średnie, to: x_śr=$\frac{Xmaxmax + Xminmin}{2}$,zatem:a=$\frac{Xmaxmax + Xminmin}{2}$ .Drgania harmoniczne-najważniejszym przypadkiem drgań okresowych x=asin(ωt+ф);gdzie: a – amplituda drgań, – częstość kołowa (pulsacyjna) ->ω=2 π v=2π/T, t + Ѳ – faza drgań harmonicznych (czyli faza), Ѳ – faza początkowa. Okres oznacza proces, w którym w równych odstępach czasu powtarza się wybrany stan ruchu.

Przypadkiem drgań związanych z drganiami harmonicznymi są drgania harmoniczne z modułową amplitudą: x(t)=A(t)sin(ωt+ф);gdzie: gdzie A(t) jest funkcją okresową o wartościach nieujemnych, taką że jej okres jest znacznie większy od 2π/ω. Intensywność procesu modulacji jest mierzona współczynnikiem głębokości modulacji: µ=$\frac{Amax - Amin}{Amax + Amin}$, Drgania z modulowaną fazą, to drgania opisane funkcją: x(t)=asin[ωt+ф(t)]; gdzie ф(t) jest funkcją okresową, taką że:|$\frac{df(t)}{\text{dt}}$|<<ω.

Jeżeli częstości obu drgań różni się bardzo mało, powstaje zjawisko dudnienia. Sumowanie drgań harmonicznych zależy od stosunku częstości i amplitud drgań składowych. W trakcie badania analitycznego funkcji opisujących wymuszenie lub drgania wykorzystujemy: 1.szereg Fouriera, jeżeli badana funkcja jest okresowa; 2.całkę Fouriera, jeżeli badana funkcja jest nieokresowa. W obu przypadkach zakładamy, że badana funkcja f(t) jest całkowalna z kwadratem, czyli: ∫^T₀|f(t)|^2dt<-dla funkcji okresowych,∫^T₀|f(t)|^2dt<-dla funkcji nieokresowych. Drgania okresowe f(t) można przedstawić jako sumę skończoną lub przeliczalną drgań mechanicznych:f(t)=a₀+∑_n=1(a_ncosnpt+b_nsinnpt);gdzie:a₀=1/T∫^T₀f(t)dt,a_n=2/T∫^T₀f(t)cosnptdt,n=1,2,3..,b_n=2/T∫^T₀f(t)sinnptdt,T=2π/p. Z poprzednich zależności można zapisać: f(t)=A₀+∑_n=1A_nsin(npt+ф_n),gdzie: A_n=$\sqrt{an^{2} + bn\hat{}2}$ , tgф_n=$\frac{\text{an}}{\text{bn}}$,A₀=a₀

Równania różniczkowe:

Rów różniczkliniowe rzędu II: y^’’+p(x)y^’+q(x)y=f(x), gdzie p(x), q(x), i f(x) są to dane funkcje ciągłe w pewnym przedziale (a, b). Rozwiązaniem jest rodzina funkcji zmiennej x, które zawierają dwie stałe dowolne. Takie rozwią jest nazywane rozwiąz ogólnym lub całką ogólną rów różniczkowego

Rów różniczkowe liniowe jednorodne (uproszczone): ay^’’+by^’+cy=0, gdzie a ≠0, b oraz c to stałe. Tworzymy rów charakterystyar²+br+c=0, i obliczamy Δ=b²-4ac, Mamy 3 przypadki: 1. Δ>0 : y=C₁e^r1x+C₂e^r2x , gdzie r₁ i r₂ są rozwiąz rów charakterysty, C₁, C₂ – dowolne stał, 2. Δ=0: y=(C₁x+C₂)e^rx ,. 3.Δ<0 y=(C₁cosβx+C₂sinβx)e^αx, gdzie C₁, C₂ – dowolne stałe oraz α=-b/2a, β=$\sqrt{- \Delta}/2a$

Równ różniczkowe liniowe niejednorodne II rzędu ma postać: ay^’’+by^’+cy=f(x)

gdzie a ≠ 0, b oraz c to stałe. Rozw tego rów jest suma całki ogólnej równania jednorodnego ay^’’+by^’+cy=0 oraz całki szczególnej danego równania niejednorodnego. Całkę szczególną znajdujemy met przewidywań.

ZASADY PRZEWIDYWANIA CAŁKI SZCZEGÓLNEJ: 1.Jeżeli f(x)=W_n(x)*e^px gdzie Wn(x) oznacza wielomian stopnia n, to całkę szczególną zapisujemy w postaci:Z_n(x)*e^px lub Z_n(x)*e^pxx lub Z_n(x)*e^pxx² gdzie Zn(x) jest wielomianem stopnia n. Jeżeli p jest k-krotnym pierwiastkiem rów charakterysty, to przewidywanie powinno mieć postać: Z_n(x)e^pxx^k 2. Jeżeli f(x)=(acosmx+bsinmx)e^px gdzie a, b, m oraz p to konkretne liczby, to całkę szczególną zapisujemy w postaci (Acosmx+Bsinm)e^px za wyjątkiem przypadku gdy jednocześnie Δ<0, α=p, |β|=|m|Wtedy przewidywanie ma postać: (Acosmx+Bsinm)e^pxx 3. Jeżeli f(x) jest sumą kilku funkcji opisanych w 1. oraz 2. to dla każdej z tych funkcji oddzielnie przewidujemy i obliczamy całkę szczególną, a następnie wszystkie otrzymane całki szczególne sumujemy. WNIOSKI 1. Jeżeli f(x)=W_n(x) i 0 jest k-krotnym pierwiastkiem rów charakte, to całkę szczególną przewidujemy w postaci: Z_n(x)*x^k gdzie Z_n(x) jest wielomianem stopnia n.

2. Jeżeli f(x)=ae^px i p jest k-krotnym pierwiastkiem rówcharakte, to całkę szczególną przewidujemy w postaci: De^pxx^k gdzie D pewna nieznana liczba 3. Jeżeli f(x)=acosmx+bsinmx to całkę szczególną przewidujemy w postaci: Acosmx+Bsinmx za wyjątkiem, gdy jednocześnie Δ<0, α=p, |β|=|m| Wtedy przewidywanie ma postać: (Acosmx+Bsinm)x RÓWNANIA II RZĘDU „BEZ Y” Równanie różniczkowe 2 rzędu „bez y” tzn.: F(x,y^’,y^’’)=0 rozwiązuj wprowadzając funkcję pomocniczą z=y RÓWNANIA II RZĘDU „BEZ X” Rów różniczkowe drugiego rzędu „bez y” tzn.: F(y,y^’,y^’’)=0 rozwiązujemy wprowadzając funkcję pomocniczą u(y)=y^’ Wtedy y^’’=u^’y^’ RÓWNANIE JEDNORODNE INNY WARIANT

Rów jednorodne, gdy wszystkie wyrażenia mają ten sam stopień ze względu na y. Należy postawić: y=e^w gdzie w=w(x) , a następnie podzielić przez e^2w

DRGANIA TŁUMIONE

Ruch harmoni tłumiony –ruch tłumi przez tacie. W wyniku tego tarcia amplituda drgań zmniej się stopnio, aż do 0 . Tarcie powst w skutek występo oporu powietrza lub sił wewn. Wartosiły tarcia zależy od prędk. Siła tarcia F=-b v : b – współ.oporu, v – pręd.ruchu. Znak „–” wska, że tarcia są skierow przeciw do kier ruchu. Z II zas Newtona dla tłumi drgań ciała ma=-kx-bv : m - masa drgając ciała, d - przyśpiesz drgające ciała, – kx - siła zwrotna, – bv – siła tarcia. Ma=-kx-bv; podst v=dx/dt, a=d­­­­²x/dt^2­­­­­-> -kx-b$\ \frac{\text{dx}}{\text{dt}}$=m$\frac{d^{2}x}{\text{dt}^{2}}$. -kx-b$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$=m$\frac{d^{2}x}{\text{dt}^{2}}$ , m$\frac{d^{2}x}{\text{dt}^{2}}$+$b\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$+kx=0. Parametry ukł drgając: Masa m ,współ oporu b i współ sprężystoi k. Wychyl od czasu: x(t)=A_o$e^{\frac{- bt}{2m}}\sin{(\omega t + \varphi_{0})}$ . Amplitu drgań tłumio A_o$e^{\frac{- bt}{2m}}$Amplit ta zmniej się z biegiem czasu. Szybciej im więks jest współ tarcia, a masa drgając ciała mniej, czyli im mnie jest bezwład ukł. Własną częstością kątową drgań ukł rozprasza: ω=$\sqrt{\omega_{0}^{2} - (\frac{b}{2m})^{2}}$ , gdzie $\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ to częstość kątowa swobod nietłumion drgań rozpatry ukł w nieobecności sił tarcia. Okres drgań tłumi: T=$\frac{2\Pi}{\omega} = \frac{2\Pi}{\sqrt{\omega_{0}^{2} - (\frac{b}{2m})^{2}}}$ Współ tłumienia: β=$\frac{b}{2m}$ Dekrementem logarytmicz tłumie -Logarytm stosunku wielkości amplitud dwóch kolejnych wychyleń następują w odstępie czasu T : δ=ln$\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}$=lne^βT = βT Słabe tłum drgań prawie wcale nie wpływa na wlk okresu drgań. Przy dużym współ tłum ampli szybko się zmniej i powiększa się okres drgań. Gdy opór będzie równy krytycznu b-b­_k=2mω­­_{o ­}lub β=ω_o to z rów ω=$\sqrt{\omega_{0}^{2} - (\frac{b}{2m})^{2}}$ częstość kołowa drgań tłumionych przyjmu wartość równą 0. Drgania ustają. Układ powraca do poło równ

Drgania wymuszone

Drgania, które wykonuje układ, na który działają: siły sprężyste - kx, siły oporu - bv, okresowa siła F , którą nazwiemy siłą wymuszającą. Jeżeli okres siły wymuszającej nie równa się okresowi swobodnych drgań układu, to zachodzi kilka dudnień, a potem ustalają się drgania wymuszone ze stałą amplitudą. Dudnienia zachodzące początkowo są wynikiem nałożenia się drgań wymuszonych i drgań swobodnych tłumionych. Równanie dynamiki dla wymuszonych drgań prostoliniowych: ma=-kx-bν+F gdzie F wymuszająca siła działająca okresowo. Podstawiając ν=$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$,a=$\frac{d^{2}x}{dt\hat{}2}\ $= m$\ \frac{d^{2}x}{dt\hat{}2}$+b$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$+kx=F. Gdy siła wymuszająca zmienia się harmonicznie, to F=F₀cosωt Jeżeli drgania wymuszone układu, spow dział siły F, są harmoniczne x=Asin(ωt+ф₀) Zatem: ν=$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$= Aωcos(ωt+ф₀),a=$\frac{d^{2}x}{dt\hat{}2} = -$ Aω²sin(ωt+ф₀)= Aω²cos(ωt+ф₀+$\frac{\pi}{2}$). x= Acos(ωt+ф₀-$\frac{\pi}{2}$), m$\ \frac{d^{2}x}{dt\hat{}2}$+b$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$+kx=F ,Zatem: m Aω²cos(ωt+ф₀+$\frac{\pi}{2}$)+b Aωcos(ωt+ф₀)+k Acos(ωt+ф₀-$\frac{\pi}{2}$)=F₀cosωt. Równanie można zapisać jako: A₁cos(ωt+ф₀+$\frac{\pi}{2}$)+ A₂ωcos(ωt+ф₀)+ A₃cos(ωt+ф₀-$\frac{\pi}{2}$)=A₄cos ωt gdzie:A₁=ω², A₂=$\frac{b}{m}\omega$=2βω, A₃=$\frac{k}{m}$=ω₀², A₄=$\frac{\text{Fo}}{\text{mA}}$. A=$\frac{\text{Fo}}{m\sqrt{\left( \omega o^{2} - \omega^{2} \right)^{2} + 4\beta^{2}\omega^{2}}}$ ; tgф₀=$\frac{A3 - A1}{A3} = \frac{\omega o^{2} - \omega^{2}}{2\beta\omega}$tgα=-$\frac{2\beta\omega}{\omega o^{2} - \omega^{2}}$ Dla wyrażenia: A=$\frac{\text{Fo}}{m\sqrt{\left( \omega o^{2} - \omega^{2} \right)^{2} + 4\beta^{2}\omega^{2}}}$ Przy kątowej częstości siły wymuszającej ω = 0 A=A₀=$\frac{\text{Fo}}{\text{mω}o^{2}}$ W tym przypadku drgania nie zachodzą, a wychylenie przy drganiach wymuszonych równa się statycznemu odkształceniu pod działaniem stałej siły F₀ x=A₀=$\frac{\text{Fo}}{\text{mω}o^{2}} = \frac{\text{Fo}}{k}$ Wychylenie A₀ nazywa się amplitudą statyczną. Dla wyrażenia: A=$\frac{\text{Fo}}{m\sqrt{\left( \omega o^{2} - \omega^{2} \right)^{2} + 4\beta^{2}\omega^{2}}}$ Jeżeli nie ma tłumienia β₁=$\frac{b}{2m} = 0$ amplituda A rośnie ze wzrostem częstości kątowej ω siły wymuszającej F i przy ω = ω₀ staje się nieskończenie wielka. Przy dalszym wzroście częstości kątowej ω amplituda A drgań wymuszonych zmniejsza się, przy czym lim _w-oo A=0 Dla wyrażenia: A=$\frac{\text{Fo}}{m\sqrt{\left( \omega o^{2} - \omega^{2} \right)^{2} + 4\beta^{2}\omega^{2}}}$Jeżeli występuje tłumienie β≠0 amplituda osiągnie wartość maksymalną, gdy mianownik powyższego równania osiągnie minimum. Przyrównując do zera pierwszą pochodną względem ω wyrażenia podpierwiastkowego, otrzymamy warunek minimum -4(ωo² − ω²rez)ωrez + 8β²ωrez = 0 gdzie ω_rez oznacza wartość częstości kątowej ω (siły wymuszającej), przy której A = A_max . Po przekształceniu wyrażenia otrzymamy: ω_rez=$\sqrt{\omega o^{2} - 2\beta^{2}\ }$=ω₀$\sqrt{1 - \frac{2\beta}{\omega o^{2}}}$ Częstość kątową ω_rez nazywamy częstością rezonansową, a zjawisko zwiększenia się amplitud drgań wymuszonych w przypadku gdy częstość siły wymuszającej zbliża się do wartości ω_rez nazywamy zjawiskiem rezonansu.