Zadanie 1.

Względność ruchu to właściwość ruchu (zjawiska fizycznego) polegająca na tym, że do jego opisu potrzebny jest ukłąd odniesienia - inne ciało lub układ ciał. Dopiero wybranie ciała - układu odniesienia pozwala coś mówić o ruchu lub spoczynku ciała. Konsekwencją tej własności ruchu jest fakt, że istnieją układy względem których ciało porusza się i równocześnie istnieją układy, względem których ciało spoczywa. Względem wybranego układu ciało może poruszać się ruchem jednostajnym, a względem innego ruchem przyspieszonym i to niejednostajnie. Wybór układów odniesienia nie jest niczym ograniczony poza faktem, że układem odniesienia musi być jakieś ciało.

Układ odniesienia – punkt lub układ punktów w przestrzeni, względem którego określa się położenie lub zmianę położenia (ruch) danego ciała. Wybrany punkt często wskazuje się poprzez wskazanie ciała, z którym związany jest układ współrzędnych. Wybór układu odniesienia jest koniecznym warunkiem opisu ruchu lub spoczynku. Układ odniesienia można wybrać dowolnie, tak, by wygodnie opisać ruch. Określanie ruchu ciała względem układu odniesienia, czyli ruchu wobec innego ciała, nazywany względnością ruchu.

Z układem odniesienia związuje się zazwyczaj układ współrzędnych, z którym bywa czasami mylony.

Szczególnie ważne przykłady układów odniesienia:

* układ laboratoryjny – układ, w którym laboratorium jest nieruchome,

* układ środka masy – ruch opisujemy tak jakby środek masy opisywanych ciał spoczywał,

* Ziemia – w pewnych sytuacjach, gdy obszar, w którym porusza się opisywane ciało jest wystarczająco mały, można założyć, że Ziemia jest płaska i nieruchoma, np. lot pocisku karabinowego, upadek kamienia, jadący samochód.

Zadanie 2.

Układ biegunowy (walcowy)

Układ biegunowy (w odniesieniu do rozważań przestrzennych nazywany "walcowym") jest wygodny do stosowania wtedy, gdy analizujemy obroty ciał.

W układzie tym zamiast posługiwać się współrzędnymi X i Y (i w przestrzeni Z), wprowadza się dwie współrzędne innego rodzaju:

promień R (promień wodzący)

kąt φ jaki tworzy wektor wodzący z osią X-ów.

dla rozważań przestrzennych oś Z pozostaje bez zmian

Układ biegunowy jest wygodny, gdy trzeba opisywać ruchy obrotowe. Po umieszczeniu środka układu współrzędnych dokładnie w osi obrotu (prostopadłej do płaszczyzny obrotu) promień wodzący dla danego punktu jest stały. Wtedy dość często ruch może być opisywany tylko za pomocą zmian tylko jednej współrzędnej – kąta φ.

Pomiędzy współrzędnymi w układzie biegunowym i kartezjańskim zachodzą proste związki:

tg φ = y/x

Przekształcenie odwrotne wygląda następująco:

x = R cos φ

y = R sin φ

Układ kartezjański, a inne układy odniesienia

W celu opisywania położeń ciał w układzie odniesienia stosuje się różne układy współrzędnych. Najczęściej stosowanym jest kartezjański układ współrzędnych XYZ.

Jednak nie jest jedynym sposobem zapisywania położeń ciał i w wielu sytuacjach wygodniej jest posłużyć się układem biegunowym (nazywanym też cylindrycznym lub walcowym), albo sferycznym.

Układ kartezjański na płaszczyźnie

Na płaszczyźnie układ kartezjański stanowią dwie prostopadle ustawione osie X i Y (lub też określanych jako OX i OY). Punkt przecięcia tych osi wyznacza zero układu współrzędnych.

Aby układ był w pełni zdefiniowany należy na obu osiach zaznaczyć wartości jednostkowe.

Oś X nazywana jest osią odciętych, podczas gdy oś Y, to oś rzędnych.

Ćwiartki układu współrzędnych

Układ XY dzieli całą płaszczyznę na cztery ćwiartki numerowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara:

I ćwiartka - dodatnie X i dodatnie Y

II ćwiartka - ujemne X i dodatnie Y

III ćwiartka - ujemne X i ujemne Y

IV ćwiartka - dodatnie X i ujemne Y

Gdy opisywana sytuacja mieści się w pierwszej ćwiartce tego układu, stosowany jest uproszczony rysunek obejmujący tylko interesujące nas obiekty i osi zaczynające się od zera.

Położenie punktu na płaszczyźnie w układzie kartezjańskim podaje się za pomocą dwóch liczb współrzędnych:

x-owej

y-owej

Aby znaleźć wartości tych współrzędnych należy zrzutować (prostopadle) punkty na odpowiednie osie.

Np. zapis. P(3,2) oznacza, że współrzędna x-owa punktu ma wartość 3, a y-owa ma wartość 2.

Układ kartezjański w przestrzeni

Układ trzech współrzędnych kartezjańskich XYZ rysujemy w sposób prawoskrętny (posługując się regułą śruby prawoskrętnej). Oznacza to, że zwrot osi Y jest zależny od nazwania osi X i Z. Gdybyśmy wkręcali śrubę (prawoskrętną, czyli taką jak wszystkie typowe śruby w Polsce) w kierunku od osi X do osi Y, to śruba ta powinna posuwać się (wkręcać) wskazując zwrot osi Z.

Położenie punktu w przestrzeni w układzie kartezjańskim podaje się za pomocą trzech liczb X,Y,Z - współrzędnych x-owej, y-owej i z-wej.

Zadanie 2a

Prędkość średnia

Prędkość średnia – iloraz drogi i czasu, w którym droga ta została pokonana. Prędkość średnia wyrażona jest wzorem

gdzie:

* s - droga pokonana przez ciało w czasie t.

Prędkość taką można obliczyć dzieląc wskazania licznika przejechanych kilometrów przez czas pokonania tej drogi. W ruchu jednostajnym prędkość chwilowa, z jaką porusza się ciało jest równa prędkości średniej.

Średnia prędkość wektorowa

Wektor prędkości średniej oblicza się dzieląc wektor przesunięcia przez czas, w którym to przesunięcie nastąpiło

gdzie

• - wektor położenia początkowego (w chwili t = 0),

• - wektor położenia końcowego (w chwili t),

t - czas w którym nastąpiła zmiana położenia.

Średnia prędkość wektorowa ma wartość mniejszą lub równą prędkości średniej. Obie prędkości są równe tylko wówczas, gdy analizowany ruch jest ruchem prostoliniowym odbywającym się bez zmiany zwrotu ruchu (bez zawracania).

--

Prędkość chwilowa jest to prędkość, z jaką ciało porusza się w danej chwili. W ruchu jednostajnym prostoliniowym jej wartość, kierunek oraz zwrot są stale takie same. W ogólnym przypadku tak nie jest - patrz np. zielona linia na powyższym rysunku; prędkość chwilowa była różna w różnych momentach. Nie będziemy zajmować się tak ogólnym przypadkiem ruchu, gdyż wymagałoby to znacznie większego zasobu wiedzy z matematyki. W następnym rozdziale omówimy jedynie dwa szczególne przypadki ruchów o zmiennej prędkości, mianowicie ruchy jednostajnie zmienne.

---

Prędkość radialna – jedna ze składowych prędkości w układzie współrzędnych biegunowych. Jej wartość równa jest prędkości zmian długości promienia wodzącego, a kierunek – wzdłuż promienia wodzącego

gdzie

r^– wersor o kierunku radialnym.

Wektorowa suma prędkości radialnej i prostopadłej do niej prędkości transwersalnej jest całkowitą prędkością ciała.

W astronomii- Środek układu współrzędnych najdogodniej jest ulokować w miejscu, gdzie znajduje się obserwator. Wówczas prędkość radialna będzie składową prędkości ciała niebieskiego mierzoną wzdłuż kierunku od obserwatora do źródła. Prędkość tę można znaleźć analizując widmo danego obiektu i szukając w nim systematycznych przesunięć linii widmowych spowodowanych efektem Dopplera. Prędkość ta, dodatnia w przypadku oddalania się źródła lub ujemna w przypadku jego zbliżania się do obserwatora, jest tym większa, im bardziej przesunięte są linie w kierunku odpowiednio fal dłuższych lub krótszych.

Prędkość gwiazdy oblicza się z prędkości radialnej i składowej transwersalnej (zwanej w astronomii często niezbyt precyzyjnie prędkością tangencjalną). W celu obliczenia prędkości danej gwiazdy względem innego układu odniesienia, np. Układu Słonecznego lub Galaktyki, należy uwzględnić ruch własny obserwatora względem tego układu. W przypadku odległych galaktyk dominującą składową jest składowa radialna (prawo Hubble'a).

--

Prędkość transwersalna – składowa prędkości ciała w układzie współrzędnych biegunowych w kierunku prostopadłym do kierunku radialnego.

Gdzie

r – odległość ciała od początku układu współrzędnych,

– prędkość kątowa ciała,

– wersor o kierunku prostopadłym do radialnego.

W astronomii prędkość transwersalna nazywana bywa prędkością tangencjalną (styczną). Nazwa ta może wprowadzać w błąd, ponieważ nie zawsze prędkość ta jest styczna do toru ruchu ciała.

Zadanie 2b

Przyspieszenie średnie i chwilowe

Jest dla nas oczywiste, że w przypadku szybkości możemy określić co rozumiemy pod pojęciem średniej i tej chwilowej. Oczywiście chwilowa kojarzy nam się z tą, którą odczytujemy w danym momencie z licznika samochodu. We wzorze definiującym szybkość chwilową zaznaczamy wówczas, że ruch jest rozpatrywany w bardzo krótkim czasie; dążącym do zera. W przypadku szybkości średniej nie interesuje nas w jaki sposób ruch się odbywał w całym czasie jego trwania. Po prostu dzielimy całkowitą długość przebytej drogi przez całkowity czas ruchu i otrzymujemy jedną określoną wartość prędkości.

W bardzo podobny sposób możemy podejść do zagadnienia przyspieszenia średniego i chwilowego.

Nie mamy tu co prawda sytuacji tak intuicyjnie prostej jak w przypadku szybkości ale damy radę.

* Po pierwsze rozpatrywać będziemy tylko ruch prostoliniowy. Jest to związane z tym, że w przypadku ruchu po linii krzywej mamy do czynienia z przyspieszeniem również wówczas gdy wartość prędkości jest stała. Przyspieszenie to odpowiada za zmianę kierunku prędkości i lekko komplikuje sprawę dla mniej zaawansowanych (wrócimy do tego przy innej okazji).

* Po drugie w przypadku ruchu wzdłuż linii prostej możemy zająć się tylko wartością przyspieszenia bez konieczności wprowadzania pojęcia wektora dla tej wielkości (związkami jakie występują między wektorem przyspieszenia a wektorami prędkości czy zmiany prędkości zajmiemy się później – na razie wystarczy wiedzieć, że takie związki istnieją :)

Wartość przyspieszenia chwilowego

Tym razem rozpoczniemy od zdefiniowania przyspieszenia chwilowego. Podobnie jak w przypadku szybkości chwilowej będziemy rozpatrywać ruch w jego bardzo krótkim czasie trwania. Poniżej znajduje się rysunek na którym oprzemy rozumowanie.

Mamy tutaj do czynienia z sytuacją, która zachodzi w małym przedziale czasu dążącym do zera wzór. Ponieważ w tak krótkim czasie również przemieszczenie jest małe, rysunek został ukazany w powiększeniu. Łatwo zauważyć, że szybkość wzór w położeniu pierwszym wzór ma mniejszą wartość niż w położeniu wzór gdzie przyjmuje wartość wzór. Zatem w trakcie upływu pewnej chwili ruch odbywał się z przyspieszeniem chwilowym. Możemy to zapisać symbolicznie w następującej postaci:

Przyspieszenie średnie

Intuicja przyspieszenia średniego w pierwszym spojrzeniu wydaje się być bardzo jasna.

Jednak przyjrzyjmy się jej bliżej. Załóżmy, że jedziemy i zwiększamy prędkość raz bardzo gwałtownie a zaraz w następnej chwili spokojniej. W którymś momencie zwalniamy (wtedy nasze przyspieszenie jest ujemne) by już zaraz zwiększyć ponownie prędkość. W ten sposób trwa nasz ruch. Może się zdarzyć tak, że po dwóch godzinach ruchu przebędziemy kawał drogi raz przyspieszając to znowu zwalniając a nasze średnie przyspieszenie wyniesie

I nic w tym dziwnego. W celu obliczenia przyspieszenia średniego musimy znać tylko wartość prędkości na początku ruchu i jej wartość w końcu ruchu. Wszystkie prędkości chwilowe nas nie interesują. Wartość przyspieszenia średniego obliczamy ze znanego już wzoru:

W lepszym zrozumieniu przyspieszenia średniego mogą okazać się poniższe wykresy zależności prędkości V oraz przyspieszenia a od czasu t dla ruchów, podczas których przyspieszenie zmieniało się skokowo.

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) to przyspieszenie, którego doznaje ciało na skutek działania siły lub jej składowej prostopadłej do wektora prędkości ciała. Kierunek i zwrot tego przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem tej siły. W wyniku przyspieszenia normalnego nie zmienia się wartość prędkości, tylko jej kierunek.

Zgodnie z II zasadą dynamiki:

gdzie:

a_n – przyspieszenie normalne,

F_n – składowa siły działającej na ciało prostopadła do kierunku ruchu,

m – masa ciała.

Przykładem jest przyspieszenie wynikające z działania siły grawitacji Słońca na Ziemię lub Ziemi na jej satelitę.

W dowolnym ruchu krzywoliniowym przyspieszenie normalne można wyrazić wzorem:

gdzie

ρ – promień krzywizny toru w punkcie, gdzie ciało porusza się z prędkością v.

W ruchu po okręgu o promieniu r przyspieszenie dośrodkowe wynosi:

lub w zapisie wektorowym:

gdzie

v – prędkość w ruchu po okręgu (w układzie SI w m/s),

r – promień okręgu (w układzie SI w m),

– wektor wodzący o wartości równej promieniowi, jego kierunku i zwrocie od osi obrotu,

ω – prędkość kątowa,

– jednostkowy wektor o kierunku promienia i zwrocie od osi obrotu.

Przyspieszenie styczne

Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, powodująca zmianę wartości prędkości, ale nie powodująca zmiany kierunku ruchu. Stosując oznaczenie v dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie s dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne a_t określają wzory:

Zadanie 3. Kinematyczne równania ruchu i toru

Kinematyczne równanie ruchu to pewna zależność (bądź układ zależności), określająca położenie ciała w przestrzeni w funkcji czasu.

Postać wektorowa kinematycznego równania ruchu to zależność określająca wektor położenia ciała jako funkcję czasu:

W praktyce korzysta się jednak zwykle ze skalarnej postaci kinematycznego równania ruchu. Jest ona (w trójwymiarowej przestrzeni) określona następującym układem:

Obie postaci kinematycznego równania ruchu łączy następujący związek:

są wektorami jednostkowymi skierowanymi zgodnie z osiami układu współrzędnych. Nazywa się je wersorami

Związek z dynamiką

Kinematyczne równanie ruchu jest rozwiązaniem dynamicznego równania ruchu, które ma postać równania różniczkowego. W dowolnym przypadku, szczególnie złożonych sił działających na ciało, rozwiązania analityczne tych równań mogą nie istnieć. Dla takich ruchów równanie kinematyczne nie istnieje.

Tor ruchu

W przypadku ruchów krzywoliniowych kinematyczne równania ruchu mają postać układu równań z parametrem (zobacz przykłady). Parametrem tym jest czas. Eliminując z tych równań czas można otrzymać jedno równanie współrzędnych przestrzennych, które jest równaniem toru ruchu tego ciała.

Zastosowanie

Kinematyczne równanie ruchu ciała jest bardzo wygodną metodą opisu ruchu. Pozwala ono na proste obliczenie:

równania toru ciała(przez wyeliminowanie z równań parametru czasu t)

prędkości chwilowej ciała (jest ona pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu)

przyspieszenia chwilowego ciała (jest ono drugą pochodną wektora położenia względem czasu)

Przykłady prostych równań ruchu

Ruch jednostajny prostoliniowy (x₀ – położenie początkowe, v – prędkość)

Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony (x₀ – położenie początkowe, v₀ - prędkość początkowa, a – przyspieszenie)

Rzut ukośny w górę przy osi OY skierowanej pionowo w górę ((x₀,y₀) – położenie początkowe, v₀ - prędkość początkowa, α – kąt wyrzucenia)

Ruch harmoniczny (A – amplituda, ω – częstość kołowa, φ₀ – faza początkowa)

Ruch po elipsie może być opisany np. równaniami (a, b – długości półosi elipsy)

Gdy a = b jest to ruch po okręgu a ω jest prędkością kątową.

Zadanie 4. Ruch po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu – ruch po torze o kształcie okręgu z prędkością o stałej wartości, tzn. . Ruch jednostajny po okręgu jest ruchem niejednostajnie przyspieszonym, tzn. kierunek i zwrot wektorów przyspieszenia i prędkości zmieniają się cały czas w trakcie ruchu, nie zmieniają się natomiast ich wartości.

Ruch jednostajny po okręgu może być także definiowany jako ruch po okręgu ze stałą prędkością kątową  

Wzory w ruchu jednostajnym po okręgu

Zależność położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnym po okręgu wyrażają wzory (r jest promieniem okręgu)

gdzie wartość zależy od początkowego położenia punktu materialnego.

We współrzędnych biegunowych zależności te są szczególnie proste (R oznacza tu promień okręgu, a określa początkowe położenie)

Zadania 5. Transformacja Galileusza

Transformacja Galileusza – jest to transformacja współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pierwszego. W transformacji tej czas i odległości pomiędzy dwoma dowolnymi punktami pozostają stałe, czyli są niezależne od układu odniesienia. Transformacja Galileusza jest zgodna z klasycznymi wyobrażeniami o czasie i przestrzeni. Transformacja zakłada, że prędkość oraz położenie są względne. Wartości te widoczne dla dowolnego obserwatora w każdym inercjalnym układzie odniesienia mogą być różne, ale każda z nich jest prawdziwa. Względność oznacza, że prawda jest zależna od “punktu siedzenia”. We wszystkich układach zegary obserwatorów mierzą czas absolutny, a więc on nie jest względny. Co więcej wymiary liniowe obiektów też są identyczne w każdym układzie nieinercjalnym.

Sformułowanie transformacji Galileusza

Obserwator A jest nieruchomy, obserwator B porusza się razem z windą ze stałą prędkością, v_l - prędkość windy, v – prędkość jabłka

Od napisania przez Arystotelesa w latach 355-322 p.n.e. dzieł dotyczących fizyki obowiązywał pogląd, uznający istnienie absolutnego (wyróżnionego) układu odniesienia, do którego odnoszą się wszystkie obserwacje ruchów ciał.

Przykład z ilustracji pokazuje prosty przypadek względności. Obserwator A jest nieruchomy, a obserwator B jedzie windą. Dla obserwatora B układem odniesienia jest pędząca w dół kabina. Obserwator A postrzega ruch jabłka z prędkością v₁. Obserwator B odnosi wrażenie, że owoc jest nieruchomy. Który z nich ma rację?

W sytuacji pokazanej na rysunku obok, zgodnie z podejściem Arystotelesa tylko obserwator nieruchomy ma rację. W roku 1604 Galileusz uznał, że obaj obserwatorzy mówią prawdę, formułując prawo względności:

Wszystkie układy odniesienia poruszające się względem siebie ze stałą prędkością są równoważne.

Rozumowanie Galileusza wespół z koncepcją absolutnego czasu, płynącego tak samo dla wszystkich obserwatorów, prowadzi do transformacji, która pozwala przeliczyć te same obserwacje dla różnych układów odniesienia. Transformacja Galileusza prowadzi do wniosku, że prędkości postrzegane przez różnych obserwatorów nie muszą być takie same, ale niezmienne pozostają odległości między punktami i odstępy czasu pomiędzy wydarzeniami.

Matematyczna postać transformacji Galileusza

Jeżeli przyjmiemy, że zdarzenie w układzie inercjalnym A opisane jest współrzędnymi czasoprzestrzennymi (x,y,z,t), a w układzie inercjalnym B przemieszczającym się z prędkością v w kierunku osi x, są to odpowiednio (x',y',z',t'), to transformacja współrzędnych będzie opisana układem równań:

Przy czym w chwili początkowej t = 0 początki obu układów odniesienia pokrywały się. Gdy ten warunek nie jest spełniony, ponadto gdy pomiar czasu w obu układach nie jest zsynchronizowany (w jednym z nich zegary późnią się o czas t₀), wówczas transformacja Galileusza wiąże współrzędne punktu w dwu tych układach odniesienia współrzędne xⁱ i x' ⁱ ) równaniami:

x i x' są wektorami od początku układu współrzędnych do punktu P w jednym i drugim układzie współrzędnych, v jest prędkością z jaką poruszają się dwa układy względem siebie. Zbiór transformacji Galileusza tworzy grupę nazywaną grupą Galileusza. Z transformacji Galileusza wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy:

z właściwej transformacji Galileusza różniczkując otrzymujemy

Szczególna teoria względności

Transformacja ta wydaje się bardzo naturalna, lecz jest niezgodna z równaniami Maxwella, co przejawia się w zmianie wartości prędkości światła przy zmianie układu odniesienia. Na przykład jeśli światło według obserwatora O porusza się wzdłuż osi OX w kierunku dodatnim tej osi z prędkością c, to według obserwatora O' ma ono prędkość c - v. Ponieważ doświadczalne poszukiwania takiej zmiany zakończyły się fiaskiem (doświadczenie Michelsona-Morleya), należy przyjąć, że istnieje sprzeczność pomiędzy doświadczeniem z dziedziny elektromagnetyzmu a stosowaniem transformacji Galileusza.

Rozwiązaniem tego problemu była sformułowana przez Alberta Einsteina szczególna teoria względności, która postuluje zmianę praw transformacyjnych dla dużych prędkości układów odniesienia. W teorii tej wykorzystywane są transformacje Lorentza. Poza światem cząstek subatomowych czy prędkości porównywalnych do prędkości światła transformacja Galileusza jest wystarczającym przybliżeniem ogólniejszej teorii – szczególnej teorii względności. W codziennym życiu nie mamy możliwości zaobserwowania jej efektów ponieważ niemożliwe jest obserwowanie osiągnięcia prędkości bliskich prędkości światła dla obiektów makroskopowych (samochód, samolot, przedmioty codziennego użytku).

Transformacja Galileusza w praktyce

W życiu codziennym poruszamy się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła i dlatego transformacja Galileusza bardzo dobrze opisuje najbliższe otoczenie człowieka. Dla przykładu, prędkości obiektów poruszających się w tym samym kierunku, odejmują się w ich układach odniesienia. Jeżeli na drodze wyprzedzamy samochód ciężarowy, który porusza się z prędkością 100 km/h w samochodzie jadącym z prędkością 130 km/h, to prędkość wyprzedzania jest równa różnicy obu prędkości i wynosi 30 km/h (130-100). Jeżeli samochód ciężarowy ma 20 m długości, to wyprzedzanie będzie trwało 2,4 s.

Zgodnie z transformacją Galileusza, kiedy dwa obiekty poruszają w przeciwnych kierunkach, to ich prędkości się dodają. Co stanie się, jeśli na drodze zza drzew wyłoni się TIR jadący z przeciwka z prędkością 70 km/h? W układzie odniesienia kierowcy samochodu osobowego, TIR będzie miał prędkość 200 km/h. (130 + 70).

Zadanie 6. założenia dynamiki newtonowskiej

Zasady dynamiki Newtona – trzy zasady leżące u podstaw mechaniki klasycznej sformułowane przez Isaaca Newtona i opublikowane w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica w 1687 roku. Zasady dynamiki określają związki między ruchem ciała a siłami działającymi na nie, dlatego zwane są też prawami ruchu.

W mechanice kwantowej nie mają zastosowania, w mechanice relatywistycznej obowiązują w ograniczonym zakresie.

Obecnie w wersji popularnonaukowej (podręcznikowej) funkcjonuje kilka wersji tych praw.

I zasada dynamiki (zasada bezwładności)

W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

O takim ruchu mówimy czasem jako o ruchu swobodnym.

Wybierzmy ciało spełniające założenia pierwszej zasady dynamiki i przypiszmy mu pewien układ odniesienia. Każde ciało, na które też nie działa żadna siła będzie w tym układzie odniesienia również spoczywało lub poruszało się po linii prostej ruchem jednostajnym. Każdemu takiemu ciału również można przypisać pewien nowy układ odniesienia. Układy te będą względem siebie spoczywały lub poruszały się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Takie układy odniesienia nazywamy układami inercjalnymi.

Dlatego pierwsza zasada dynamiki jest traktowana jako postulat istnienia inercjalnego układu odniesienia i jest formułowana:

Istnieje układ odniesienia, w którym ciało nie podlegające oddziaływaniom zewnętrznym spoczywa lub porusza się po prostej ze stałą prędkością.

Jeżeli istnieje jeden inercjalny układ odniesienia, to istnieje ich nieskończenie wiele. Układy inercjalne spoczywają lub poruszają się względem siebie po linii prostej ze stałą prędkością.

Wyżej opisany sposób zamiany opisu ruchu z jednego układu odniesienia do innego w mechanice klasycznej nazywany jest transformacją Galileusza.

Bezwładność ciał jest to zdolność ciał do przeciwstawiania się wszelkim zmianom ruchu. Miarą bezwładności jest jego masa.

II zasada dynamiki

Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.

Współczynnik proporcjonalności jest równy odwrotności masy ciała:

W wersji zwanej uogólnioną (uogólniona druga zasada dynamiki), zasada ta obowiązuje również dla ciała o zmiennej masie np. w mechanice relatywistycznej:

Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do działającej siły wypadkowej.

Przy prędkościach, w których nie występują efekty relatywistyczne czyli dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła, zasadę tę można wyrazić w wersji uproszczonej (ta wersja funkcjonuje na wstępnych etapach nauczania fizyki i jest stosowana powszechnie do obliczeń):

Przyspieszenie z jakim porusza się ciało jest proporcjonalne do działającej siły, a odwrotność masy jest współczynnikiem proporcjonalności. Kierunek i zwrot przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem siły.

III zasada dynamiki (zasada akcji i reakcji)

Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało).

Jeśli ciało A działa na ciało B siłą F (akcja), to ciało B działa na ciało A siłą (reakcja) o takiej samej wartości i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie.

W wersji skróconej:

Każdej akcji towarzyszy reakcja równa co do wartości i kierunku lecz przeciwnie zwrócona.

Lecz należy pamiętać, że siły się nie równoważą.

III Zasada dynamiki, słuszna tylko w mechanice nierelatywistycznej, zwana jest zasadą akcji i reakcji. Zasada ta zakłada, że oddziaływania rozchodzą się w przestrzeni z nieskończoną prędkością. Doświadczenia wskazują, że wszystkie oddziaływania rozchodzą się ze skończoną prędkością nieprzewyższającą prędkości światła.

W zasadach dynamiki

ciało oznacza punkt materialny,

ruch dotyczy ruchu względem układu odniesienia będącego układem inercjalnym.

Zasady dynamiki można również zapisać dla wielkości kątowych w ruchu obrotowym, ale prosta analogia ma miejsce tylko w przypadkach, gdy oś obrotu nie zmienia kierunku (ustalona oś, toczenie prostoliniowe). Zasady te mogą być stosowane w układach nieinercjalnych po uwzględnieniu sił bezwładności.

Zadanie 7. Całkowanie równań ruchu Newtona, warunki początkowe

Druga zasada dynamiki Newtona wiąże zmianę masy i prędkości punktu materialnego z siłą. Jeżeli m jest masą v prędkością punktu materialnego, a F jest sumą wektorową sił przyłożonych do niego, to druga zasada dynamiki Newtona głosi, że szybkość zmiany pędu ciała jest równa sile działającej na to ciało, co można wyrazić wzorem:

.

Wartość jest nazywana pędem i jest ważnym pojęciem mechaniki klasycznej.

Kiedy masa m jest stała w czasie, druga zasada dynamiki Newtona może zostać zapisane w prostszej formie:

gdzie: a – przyspieszenie, zdefiniowane powyżej.

Nie zawsze masa jest niezależna od czasu, np. masa rakiety na paliwo chemiczne zmniejsza się w miarę zużywania się paliwa. W takiej sytuacji powyższe równanie jest niepoprawne, zatem do opisu powinna być zastosowana pełna forma drugiego prawa Newtona.

Druga zasada dynamiki Newtona wymaga podania siły F, która jest miarą oddziaływań naszego ciała z innymi ciałami. Np. typowa siła oporu ruchu piłki w powietrzu jest funkcją prędkości i wielkości piłki.

Gdzie: λ – dodatnia stała zależna od wielkości i kształtu ciała. – minus oznacza, że siła ma przeciwny zwrot do zwrotu prędkości (jest zawsze siłą hamującą).

Gdy tylko znane są siły działające na punkt materialny w postaci fuknkcji czasu, położenia i prędkości, możemy podstawić je do drugiego prawa Newtona otrzymując równanie różniczkowe, które jest nazwane dynamicznym równaniem ruchu

Dla przykładu, załóżmy że tarcie jest jedyną siłą działającą na punkt materialny. Wtedy równanie ruchu przybiera postać:

.

Równanie to można scałkować otrzymując

gdzie v₀ jest prędkością początkową, czyli prędkością ciała w momencie początkowym (t =0). Z równania tego wynika, że prędkość tego punktu materialnego zmniejsza się eksponencjalnie do zera w miarę upływu czasu. To wyrażenie może być następnie wycałkowane w celu otrzymania kinematycznego równania ruchu.

Cząstka swobodna

Przy braku działania sił zewnętrznych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem różniczkowym

Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych

Właściwe transformacje Galileusza to:

tworzących grupę Galileusza. Są one symetrią równania Newtona dla cząstki swobodnej.

Grupa transformacji Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez v.

Z transformacji Galileusza wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy , , z właściwej transformacji Galileusza różniczkując otrzymujemy

Formalizm Lagrange'a

Równania ruchu Newtona można wyprowadzić w formalizmie Lagrange'a z zasady ekstremum funkcjonału nazywanego całką działania . Funkcjonał ten zdefiniowany jest poprzez funkcje Lagrange'a

Warunek na ekstremum tego funkcjonału (δS=0) generuje równania Eulera – Lagrange'a

Na równania te można spojrzeć jak na równania Newtona, kojarząc pęd jako

a siłę jako

Otrzymamy dokładną postać równania Newtona gdy zdefiniujemy funkcje Lagrange'a jako

Szczególną grupą są siły zachowawcze – mogą być one wyrażane jako gradient funkcji skalarnej, zwanej energią potencjalną i oznaczaną U:

lub

Energia układu fizycznego

Siła F przyłożona do punktu materialnego, którego przesunięcie wynosi δr wykonuje pracę, praca wykonana przez siłę jest wielkością skalarną opisaną wzorem:

.

Zakładając, że masa punktu materialnego jest stała i δW_total jest całkowitą pracą wykonaną na punkcie materialnym, którą otrzymujemy poprzez sumowanie prac wykonanych przez każdą siłę przyłożoną do punktu. Na podstawie drugiego prawa Newtona możemy pokazać, że

δW_total = δT,

gdzie T jest energią kinetyczną. Dla punktu materialnego jest zdefiniowana:

.

Dla obiektów złożonych z wielu punktów mat., energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych poszczególnych punktów mat. Zatem

.

Ten rezultat znany jako zachowanie energii mechanicznej, a stan w którym całkowita energia

jest stała w czasie nazywamy układem zachowawczym. Prawo to jest często używane, ponieważ wiele spotykanych sił to siły zachowawcze (ważnym wyjątkiem jest siła tarcia i oporu). Idea zachowania energii mechanicznej została rozszerzona na inne przypadki oddziaływań w wyniku czego utworzono pojęcie energia, a zasada zachowania energii jest najważniejszą zasadą zachowania w fizyce.

Formalizm Hamiltona

Energię układu fizycznego wyrazić można poprzez położenie i pęd {xⁱ, pⁱ}. Zbiór takich par definiuje przestrzeń fazową. Punkt w przestrzeni fazowej w pełni określa układ fizyczny, nazywamy go stanem układu w mechanice klasycznej (patrz stan kwantowy w mechanice kwantowej). Energię jako funkcję położenia i pędu nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem. Definiujemy ją jako

H(x,p) =	∑	piv^i(x,p,t) − L(x,p(x,v,t),t)
	i

Dla cząstek w polu potencjału U

Równania Lagrange'a można zastąpić układem dwóch równań (równania Hamiltona) pierwszego rzędu

Definiując nawiasy Poissona

zmianę dowolnej wielkości fizycznej F(x, p) z czasem można przedstawić jako

Jeżeli wielkość fizyczna F jawnie nie zależy od czasu () to będzie zachowana (stała ruchu) gdy

będzie komutowała z hamiltonianem. Mówimy, że dwie wielkości A, B komutują, gdy [A, B]=0.

Przykładem wielkości niekomutujących jest pęd i położenie

[xⁱ,p^j] = δ_ij

W mechanice kwantowej oznaczać to będzie niemożność jednoczesnego pomiaru tych wielkości zasada nieoznaczoności.

Zadanie 9.Siły zachowawcze i niezachowawcze

Siła jest zachowawcza jeśli praca przez nią wykonana na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu. Praca ta nie zależy wówczas również od prędkości przemieszczania ciała.

Jeżeli praca W_ACB wykonywana jest na drodze AB po torze przechodzącym przez punkt C a praca W_BDA wykonywana jest na drodze BA po torze przechodzącym przez punkt D, wówczas

zatem praca na zamkniętym torze ACBDA

Praca siły zachowawczej F na zamkniętym torze S zawsze równa jest 0

Siły zachowawcze mogą być wyrażane jako gradient funkcji skalarnej, zwanej energią potencjalną i oznaczaną U:

lub

W teorii pól, sile zachowawczej odpowiada pole siły o rotacji równej 0 w każdym punkcie pola, wynika to z twierdzenia Stokesa. Z polem działania siły zachowawczej można zatem związać skalarne pole zwane polem potencjału określające energię potencjalną ciała.

Siłami zachowawczymi są między innymi: kulombowskie siły oddziaływań elektrostatycznych, siła grawitacji (klasycznie, w stacjonarnym polu grawitacyjnym - w ogólnym przypadku nie; OTW przewiduje niezachowawczość sił grawitacyjnych, których źródło się obraca ^{[potrzebne źródło]}), siła sprężystości ciał doskonale sprężystych i wszystkie siły centralne.

Siłę, która nie jest zachowawcza nazywa się siłą niezachowawczą. Przykładem sił niezachowawczych są:

siła tarcia

siła oporu ruchu ośrodka

Siła zachowawcza a siła potencjalna

Wszystkie siły związane z potencjalnym polem sił są siłami zachowawczymi. Istnieją jednak siły, które nie są siłami potencjalnymi, mimo to pozostają siłami zachowawczymi. Przykładem może być siła Lorentza działająca na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym. Praca siły Lorentza wynosi zero. Nie zależy więc od drogi, jaką pokonuje cząstka

Chociaż niektórzy autorzy utożsamiają siły potencjalne z siłami zachowawczymi

Zadanie 10.Energia potencjalna, twierdzenie o pracy i energii

Energia potencjalna – energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych, wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].

Pracę wykonaną przez siłę przy przemieszczeniu określonego punktu materialnego definiuje się jako iloczyn tej siły i drogi d jaką przebędzie ten punkt w kierunku działania siły.

W=F*d

Jednostką pracy jest praca wykonana przez jednostkową siłę przemieszczeniu ciała na jednostkową drogę. W układzie SI jednostką jest dżul.

1J=1N*1m

Natomiast w układzie CGS jednostką jest erg.

1 erg = 1 dyna* cm

Przelicznik między jednostkami jest następujący:

1J = 10 ergów

Szybkość wykonywania pracy to moc.

Jednostką mocy w układzie SI jest 1 wat.

Ponieważ jest to jednostka bardzo mała, dla celów praktycznych wprowadzono jednostkę zwana koniem mechanicznym [KM]

1 KM~736 W

Pracę można wyrażać także w jednostkach [moc*czas]. Stąd wyrażenie kilowatogodzina [kWh]. Jest ona równa pracy, jaką wykona urządzenie o mocy 1 kW w ciągu 1 godziny.

Natomiast w układzie CGS jednostką mocy jest erg na sekundę.

Energia potencjalna układu jest formą nagromadzonej energii, która może być zamieniona na energię kinetyczną. Zależy ona od położenia punktu materialnego i wyraża się wzorem: E=mgh

gdzie: m- masa, g- przyspieszenie ziemskie, h- wysokość.

Drugim rodzajem energii jest energia kinetyczna. Stanowi ona połowę iloczynu masy ciała m i kwadratu prędkości v.

Praca, jaką wykona siła F działająca na ciało o masie m jest równa zmianie energii kinetycznej tego ciała. Jest to twierdzenie o pracy i energii.

Zadanie 11. Zasada zachowania energii i przykłady jej zastosowania

Zasada zachowania energii - empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała (nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona, ani zniszczona, może jedynie zmienić się forma energii. Tak np. podczas spalania wodoru w tlenie energia chemiczna zmienia się w energię cieplną. Zasada zachowania energii w mechanice klasycznej i kwantowej jest konsekwencją symetrii translacji (przesunięć) w czasie. Ma ona jednak w fizyce szersze znaczenie. Przyjmuje się, że zasada zachowania energii jest spełniona również w układach nieprzejawiających takiej symetrii i nie dających się opisywać przy użyciu formalizmu hamiltonowskiego. W ramach tego formalizmu wyprowadzany jest związek między zasadami zachowania a symetriami układów fizycznych. Przykładami takich układów są:

* układy opisywane przez fizykę statystyczną, gdzie symetria w czasie dla całego układu nie jest zachowana,

* układy związane z występowaniem siły tarcia,

* inne układy, na przykład cechujące się przemianami nierównowagowymi, dla których opis hamiltonowski jest nieadekwatny.

W mechanice klasycznej, jeżeli równania ruchu są niezmiennicze ze względu na przesunięcia w czasie

to siła F\, lub potencjał U\, nie może jawnie zależeć od czasu

Konsekwencją równań Hamiltona (patrz mechanika klasyczna) jest stałość energii (hamiltonianu), bo:

Tak więc zachowana jest wielkość

Symetria translacji w czasie jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej symetrii związanej z niezmienniczością mechaniki klasycznej względem transformacji Galileusza

Transformacje te tworzą grupę Galileusza. W szczególnej teorii względności zachowanie energii jest również konsekwencją translacji w czasoprzestrzeni Minkowskiego

Pamiętając, że przypadek dla μ=0 odpowiada translacji czasu.

Konsekwencją symetrii translacji w czasoprzestrzeni Minkowskiego jest zachowanie tensora energii - pędu.

Z zasady zachowania energii wynika kilka innych zasad, m.in. pierwsza zasada termodynamiki i zasada zachowania energii mechanicznej.

Zadanie 12.Zasada zachowania pędu i przykłady jej zastosowania,

Zgodnie z zasadą zachowania pędu: suma wektorowa pędów wszystkich elementów układu izolowanego pozostaje stała co można wyrazić wzorami

Układ izolowany to taki układ, na który nie działają siły zewnętrzne lub siły te się równoważą. Oddziaływanie między elementami układu siłami wewnętrznymi nie zmienia pędu układu.

Gdy na układ ciał działa niezrównoważona siła zewnętrzna, wówczas pęd wypadkowy układu zmienia się. Zasada zachowania pędu wynika wprost z II zasady dynamiki w postaci uogólnionej. Można ją również wywieść z niezmienniczości lagranżjanu (hamiltonianu) względem przesunięć w przestrzeni (jeśli wszystkie punkty zostaną przesunięte w przestrzeni o R, to nowy układ będzie identyczny z pierwotnym). Sytuacji takiej odpowiada brak członu potencjalnego w lagranżjanie (hamiltonianie).

Zasada ta jest zawsze spełniona (dla dowolnego układu izolowanego) w każdym procesie fizycznym, tylko w niektórych zjawiskach opisywanych przez mechanikę kwantową możliwe jest krótkotrwałe jej złamanie (w czasie zajścia oddziaływania), jednak już po bardzo krótkim czasie (potrzebnym światłu na przebycie odległości międzycząstkowych) zasada ta jest spełniona. Zasadę zachowania momentu pędu można wraz z zasadą zachowania materii-energii połączyć w zasadę zachowania czteropędu.

Przykłady zastosowania

* zderzenia sprężyste i niesprężyste

* odrzut

Odrzut:Przejawem działania tej zasady jest zjawisko odrzutu, polegające na tym, że przy rozpadzie ciała na dwie części obie uzyskują pędy jednakowe co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowane (w układzie odniesienia, w którym ciało przed rozpadem pozostawało w spoczynku).

Przykłady odrzutu

* napęd odrzutowy w samolotach odrzutowych i rakietach (pęd strumienia gazów wyrzucanych z dyszy nadaje samolotowi lub rakiecie pęd w kierunku przeciwnym)

* odrzut i podrzut broni palnej

* odrzut jądra atomowego przy emisji cząstek z jądra

* sposób poruszania się niektórych zwierząt wodnych (np. meduzy)

* prysznic, gdy ustawiony zostanie na silny strumień wody, doznaje odrzutu i potrafi sam się unosić w powietrzu.

* nadmuchany otwarty balon, gdy zostanie uwolniony, doznaje odrzutu i porusza się do czasu, aż powietrze w balonie osiągnie wartość ciśnienia atmosferycznego

Zadanie 13.Zderzenia sprężyste i niesprężyste,

Zderzenie sprężyste, zderzenie elastyczne, jest to zderzenie, w którym w stanie końcowym mamy te same cząstki (obiekty) co w stanie początkowym i zachowana jest energia kinetyczna. W fizyce zderzenia analizuje się opisując stan ciał przed i po zderzeniu nie wnikając w szczegóły oddziaływania w trakcie zderzenia. Zderzenie, w którym energia kinetyczna nie jest zachowana nazywa się zderzeniem niesprężystym. Przykładami zderzeń sprężystych mogą być: zderzenia cząsteczek gazu doskonałego, zderzenia elektronów, rozproszenie niskoenergetycznej cząstki alfa na jądrze atomowym (eksperyment Rutherforda) i wiele innych z mikroświata. Zderzenia zachodzące w skali makroskopowej są sprężyste w pewnym przybliżeniu, np. stosowane jako przykład zderzenie sztywnych stalowych kul jest tylko w przybliżeniu zderzeniem sprężystym, niewielka część energii kinetycznej jest bowiem zawsze tracona, np. w formie wydzielanego ciepła i fali akustycznej wytwarzanych w chwili zderzenia. Zazwyczaj za zderzenia uznaje się procesy trwające bardzo krótko, choć niektóre procesy przebiegające bardzo długo jak przejście komety poruszającej się z prędkością hiperboliczną w okolicy Słońca, z odchyleniem jej toru, też może być rozpatrywane jako oddziaływanie sprężyste.

Zderzenie całkowicie niesprężyste, zderzenie doskonale nieelastyczne –zderzenie, w którym następuje największa możliwa strata energii kinetycznej, tj. zderzenie, którego produkty mają najmniejszą możliwą energię kinetyczną umożliwiającą im spełnienie zasady zachowania pędu. Wygodnie jest analizować takie zderzenie w układzie środka masy zderzających się obiektów. W układzie tym całkowity pęd wynosi zero. Oznacza to, że minimalna energia kinetyczna po zderzeniu też może być zerowa, sytuacja ta odpowiada stanowi spoczynku wszystkich produktów zderzenia. Ponieważ jednak strata energii nie może zależeć od układu odniesienia, dlatego w dowolnym układzie odniesienia wszystkie produkty zderzenia całkowicie niesprężystego poruszają się z tą samą prędkością w tym samym kierunku. Dla zderzeń obiektów makroskopowych oznacza to, że po zderzeniu ciała te poruszają się z takimi samymi prędkościami, tak jakby stanowiły jeden obiekt. Kosztem traconej energii kinetycznej wykonywana jest praca związana z odkształceniem ciał i rośnie ich energia wewnętrzna (wydziela się w postaci ciepła.

Zderzenie całkowicie niesprężyste ciał o równych masach

W zderzeniach cząstek elementarnych zderzenie całkowicie niesprężyste to takie, w którym cała dostępna energia kinetyczna zużywana jest na produkcję nowych cząstek spoczywających po zderzeniu w środku masy układu.

Przemiany energii w zderzeniu niesprężystym ciał makroskopowych

Podczas zderzenia niesprężystego wyróżnia się fazę początkową procesu, podczas której względna prędkość zderzających się ciał spada do zera. Towarzyszy temu oczywiście zmniejszenie się łącznej energii kinetycznej obu ciał. Ten ubytek energii kinetycznej zamienia się na pracę - jest to praca trwałego odkształcenia. Praca trwałego odkształcenia wykonanego w czasie zderzenia, nie może zamienić się z powrotem na energię mechaniczną. Po zmniejszeniu się do zera prędkości względnej zderzających się ciał (oba ciała mają wspólną prędkość) przestają one na siebie oddziaływać i poruszają się dalej jako jedna bryła. Przyjmuje się, że ciało jest idealnie niesprężyste i siła sprężystości jest tak mała, że wystarcza tylko do utrzymania pierwotnego kształtu ciała, gdy nie działają na nie żadne siły. Tutaj działa siła pochodzącą z energii kinetycznej i wykonuje pracę przesuwając (wgniatając) część powierzchni ciała. Z założeń wynika, że ciało nie "potrafi" powrócić do stanu pierwotnego i będzie trwać w takim odkształceniu, ponadto ciała (odkształcające i odkształcone) zlepiają się

Zadanie 14.Ruch obrotowy bryły sztywnej- podstawowe pojęcia kinematyczne,

Ruch obrotowy bryły sztywnej to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Np. ruch Ziemi wokół własnej osi. Jest to ruch złożony z ruchu postępowego środka masy danego ciała oraz ruchu obrotowego względem pewnej osi. Środek masy ciała można uważać za punkt materialny. Do opisania ruchu obrotowego używa się odmiennych pojęć od używanych do opisania ruchu postępowego.

Podstawowym prawem opisującym ruch bryły sztywnej jest druga zasada dynamiki ruchu obrotowego:

gdzie

gdzie M jest momentem siły względem obranego punktu odniesienia, a L - krętem (momentem pędu) względem tego samego punktu odniesienia.

Jeżeli obrót odbywa się względem osi stałej lub sztywnej wówczas druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego może być napisana w następujący sposób:

gdzie M oznacza moment siły a I moment bezwładności względem osi obrotu.

Gdy brak momentu sił zewnętrznych (M = 0), z pierwszego wzoru można otrzymać równanie ilustrujące zasadę zachowania momentu pędu

Gdy oś obrotu jest ustalona, brak momentu sił oznacza stałość prędkości kątowej, ponieważ

co przy stałości I oznacza

Zadanie 15.Pojęcia momentu bezwładności, momentu siły i momentu pędu,

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową.

Definicja

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar . Zwykle mierzy się go w kg·m².

Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

gdzie: m – masa punktu; r– odległość punktu od osi obrotu.

Moment bezwładności ciała składającego się z n\, punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach dm\,, oraz niech r\, oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości V\, ciała.

Za pomocą momentu bezwładności I\, bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową \omega \, względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną , tej bryły

Moment siły (moment obrotowy) siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F:

Wektor momentu siły jest wektorem osiowym (pseudowektorem), zaczepiony jest w punkcie O, a jego kierunek jest prostopadły do kierunku płaszczyzny wyznaczonej przez wektor F i promień wodzący r.

Określa się także moment siły względem osi, jest on równy rzutowi wektora momentu siły na tę prostą. Współrzędne Mx, My i Mz wektora M0 nazywają się momentami siły względem odpowiednich osi x, y i z.

Zależności między siłą F, momentem siły τ (M), pędem p oraz momentem pędu L

Jednostką momentu siły jest Nm (niutonometr). Jednostka ta jest zdefiniowana analogicznie jak dżul, czyli jednostka energii. Aby nie tworzyć nieporozumień, nie nazywa się niutonometra dżulem.

W przypadku dźwigni dwustronnej o nierównych ramionach, pozostanie ona w równowadze, gdy wartości momentów sił przyłożone do obu ramion będą równe, a ściślej, gdy suma wektorów momentów będzie równa zeru:

W przypadku pokazanym na rysunku, gdy siły P1 i P2 są prostopadłe do wektorów r1 i r2

Archimedes użył słów: "Dajcie mi dostatecznie długą dźwignię i punkt podparcia, a poruszę Ziemię". Pragnął więc użyć dźwigni, na której końcu umieściłby naszą planetę, zaś na drugim, odpowiednio długim ramieniu, mógłby przyłożyć niewielką siłę. Pomijając fakt, że dźwignia taka musiałaby być niezwykle długa, to brakowało mu właśnie punktu podparcia.

Wzory

Moment obrotowy wału przenoszącego moc P przy prędkości kątowej ω wynosi

W wersji „technicznej”, dla wielkości podanych: moc P w kilowatach, prędkość obrotowa n w obrotach na minutę i moment M w niutonometrach, wartości liczbowe związane są przez wzór:

Moment pędu punktu materialnego o pędzie p, którego położenie opisane jest wektorem wodzącym r względem danego układu odniesienia (wybranego punktu, zwykle początku układu współrzędnych), definiuje się jako wektor (pseudowektor) będący rezultatem iloczynu wektorowego wektora położenia i pędu

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że wartość bezwzględna momentu pędu jest równa

gdzie θ oznacza kąt między wektorami r i p.

Dla ciała o momencie bezwładności I obracającego się wokół ustalonej osi z prędkością kątową ω moment pędu można wyrazić wzorem

Zachowanie momentu pędu

i-tą składową momentu pędu można wyrazić wzorem

gdzie εijk jest symbolem Leviego-Civity; podobnie można przedstawić pozostałe składowe. W mechanice klasycznej komutują one (są antyprzemienne). Komutatorem jest nawias Poissona

Moment pędu jest stały, jeśli znika jego nawias Poissona; zasada zachowania momentu pędu jest konsekwencją symetrii obrotowej przestrzeni (zob. grupa obrotów), która zachowuje długość wektora (gdyż jest izometrią). Dzięki temu energia kinetyczna w hamiltonianie nie ulega zmianie. Stąd wynika, że potencjał U zależy wyłącznie od odległości r. Siłę związaną z tym potencjałem nazywa się siłą centralną. Dla tego rodzaju sił zachodzi

co jest równoważne zasadzie zachowania momentu pędu.

Stały moment pędu wyznacza pewien stały kierunek w przestrzeni. Konsekwencją zasady zachowania momentu pędu jest to, że ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu. Tak np. potencjał grawitacyjny Newtona proporcjonalny od odwrotności odległości r ma symetrię sferyczną; wynika stąd prawo zachowania momentu pędu dla ruchu planet i ich ruch w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu nazywanej płaszczyzną ekliptyki.

Zadanie 16.Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego,

Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego - sformułowanie II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej wokół stałej (nie obracającej się w przestrzeni) osi. Dotyczy np. sytuacji, gdy oś obrotu jest wymuszona przez zewnętrzne więzy. Mówi ona, że jeśli na pewne ciało, o momencie bezwładności względem tej osi równym I, działają zewnętrzne siły, które wywierają na to ciało wypadkowy moment siły M, to w wyniku tego ciało będzie obracać się z przyspieszeniem kątowym takim, że:

Moment siły M i przyspieszenie kątowe ε są wektorami osiowymi (pseudowektorami) a ich kierunek i zwrot są takie same.

Granicznym przypadkiem drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego jest sytuacja, gdy wypadkowy moment sił działających na ciało równy jest 0 (pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego). Ze wzoru wynika, że wówczas przyspieszenie kątowe również będzie równe 0 a bryła obracać się będzie ze stałą prędkością kątową.

Zadanie 17.Zasada zachowania momentu pędu i jej zastosowanie,

Zasada zachowania momentu pędu mówi, że dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała. Jedną z bardziej widowiskowych konsekwencji istnienia tej zasady są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych, dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe).

Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni.

Zasada ta również mówi, że prędkość zmiany momentu pędu układu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych działających na punkty układu.

Dowód

Niech będzie dany układ składający się z N cząstek, wtedy moment pędu tego układu można zapisać jako:

Różniczkując po czasie powyższe wyrażenie otrzymujemy:

Ponieważ iloczyn wektorowy oraz

to pozostaje tylko obliczyć iloczyn

W tym celu rozbijemy siłę działającą na każdą cząstkę na składową pochodzącą z oddziaływań z innymi cząstkami (człony ) oraz składową pochodzącą z zewnątrz układu

Ponieważ \to a dla każdej siły występuje siła stąd suma wszystkich momentów sił oddziaływania jest równa 0.

Zatem

Jeżeli układ jest odosobniony to , czyli

Zadanie 18.Energia w ruchu obrotowym

Dla ciała o masie m i prędkości v dużo mniejszej od prędkości światła (v<<c, gdzie c jest prędkością światła w próżni), energia kinetyczna wynosi:

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

gdzie:

- prędkość kątowa,

- tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

gdzie:

I - odpowiednim momentem bezwładności,

ω - prędkość kątowa.

Mechanika relatywistyczna

Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową

gdzie

lub

lub

Ułamek z powyższego wzoru ma rozwinięcie w szereg Maclaurina względem zmiennej

zatem:

Dla prędkości v małych w porównaniu z prędkością światła (v<<c) można pominąć drugi i dalsze składniki, co sprowadza wzór na energię kinetyczną do postaci znanej z mechaniki klasycznej (nierelatywistycznej):

Zadanie 19.Ruch harmoniczny prosty, wahadło matematyczne i fizyczne,

Ruch harmoniczny - drgania opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną). Jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.

Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, również wiele rodzajów bardziej złożonych drgań może być opisane jako w przybliżeniu harmoniczne. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja Fouriera.

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

gdzie

- siła,

k - współczynnik proporcjonalności,

- wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:

albo w postaci różniczkowej:

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych funkcji:

1.

2.

3.

gdzie:

* jest częstością kołową drgań,

* stałe zależne od warunków początkowych.

Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość kołową ω0 wiąże z okresem drgań T związek:

częstotliwość drgań ν natomiast wynosi

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

Wahadło matematyczne

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest niezależność okresu drgań od maksymalnego wychylenia dla niewielkich wychyleń wahadła.

Analiza ruchu wahadła

W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest punktem materialnym, zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości l. Na ciało to działa stała siła grawitacji. Gdy wahadło odchylone jest z położenia równowagi, składowa siły grawitacji wzdłuż nici jest równoważona przez nić, a składowa prostopadła do nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. Z definicji przyspieszenia kątowego oraz z II zasady dynamiki dla ruchu punktu materialnego po okręgu, dla kątów wyrażonych w mierze łukowej kąta, wynikają zależności:

Przybliżenie małej amplitudy

Dla małych wychyleń, θ jest bliskie zera, wówczas funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem co prowadzi do równania:

Powyższe równanie jest równaniem ruchu drgającego harmonicznego, którego ogólna postać jest dana wzorem:

gdzie jest częstością kołową drgań a T - okresem. Wynika stąd, że okres drgań wynosi:

Takie drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła.

Wahania o dużej amplitudzie

Dla dużych wychyleń okres drgań zależy od maksymalnego wychylenia θ0 i rośnie wraz jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór:

Zależność okresu drgań wahadła T od kąta wychylenia θ.

Gdy w powyższym wzorze, w sumie, pominie się wyrazy poza pierwszym równym 1, otrzymuje się wzór dla małych wychyleń.

Wahadło fizyczne

Bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła l0

gdzie:

* d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,

* g - przyspieszenie ziemskie,

* I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,

* m - masa ciała.

Zadanie 20.Energia w ruchu harmonicznym,

Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia.

Z zasady zachowania energii, wynika zależność, z której można wyznaczyć energię kinetyczną:

2}(t)

Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie jedynki trygonometrycznej i porównania współczynników we wzorze z powyższym):

Ciało drgające ma maksymalną prędkość gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma ona wartość:

v0 = x0ω0

prędkość chwilowa zmienia się jak

Bezpośrednio z równania ruchu wynika, że przyspieszenie jest opisywane zależnością:

.

Zadanie 21.Drgania tłumione, wymuszone, rezonans mechaniczny,

Niech dane będzie równanie opisujące oscylator harmoniczny:

Wyliczmy pierwiastki równania charakterystycznego dla równania oscylatora harmonicznego:

widzimy, że rozwiązanie równania zależy od tego jaki jest znak wyrażenia

1.

pierwiastki są rzeczywiste i ujemne. Rozwiązanie jest zbieżne monotonicznie do 0 i jest postaci:

2.

Rozwiązanie jest zbieżne do 0 i jest postaci:

x(t) = (c1 + c2t)e ^(− kt),

ekstremum w t

3.

Wielomian charakterystyczny ma pierwiastki zespolone, niech rozwiązanie jest postaci:

x(t) = Ae^( − kt)*cos(η − δ), gdzie A-amplituda, δ-przesunięcie fazowe

Widzimy na rysunku, że rozwiązanie charakteryzuje się monotoniczną oraz malejącą amplitudą Ae^(−kt)

Drgania wymuszone zachodzą pod wpływem zewnętrznej siły, będącej źródłem energii podtrzymującej drgania.

Siła wymuszająca FW ma zwykle charakter siły o wartości okresowo zmiennej:

FW = FW0sinωt

gdzie: FW0 – amplituda siły wymuszającej.

Amplituda drgań wymuszonych nie jest stała i zależy od częstości siły wymuszającej ω.

Amplituda drgań wymuszonych wyraża się wzorem:

Rezonans mechaniczny zachodzi wówczas, gdy częstość siły wymuszającej ω jest równa częstości własnej układu ω0 (czyli dla częstotliwości f = f0). W warunkach rezonansu wzrasta gwałtownie amplituda drgań układu oraz jego energia.

Częstotliwość f0 nosi nazwę częstotliwości rezonansowej.

Zadanie 22.Termodynamiczny opis rzeczywistości

Układ termodynamiczny to dowolnie wybrana część wszechświata, której zachowanie jest rozpatrywane na podstawie zasad termodynamiki. Pozostały świat to Otoczenie termodynamiczne.

Typowe układy termodynamiczne to np. wnętrze silnika, naczynie z gazem lub cieczą, w którym zachodzi jakaś interesująca przemiana, lub np. obszar całej elektrowni, dla którego określa się przepływy ciepła.

Dzięki ograniczeniu danego zjawiska do układu można osobno rozpatrywać procesy wewnątrz układu i procesy wymiany energii między układem i otoczeniem, o którym dzięki temu nic nie musimy wiedzieć.

Układy termodynamiczne dzieli się na:

* otwarte - wymienia z otoczeniem energię i masę,

* zamknięte - wymienia z otoczeniem energię, nie wymienia masy,

* izolowane - nie wymienia z otoczeniem ani energii ani masy.

Parametry makroskopowe: temperatura, ciśnienie i objętość.

Parametry mikroskopowe: NIE ZNALAŁEM.

Temperatura – jedna z podstawowych wielkości fizycznych (parametrów stanu) w termodynamice, będąca miarą stopnia nagrzania ciał. Temperaturę można ściśle zdefiniować tylko dla stanów równowagi termodynamicznej, bowiem z termodynamicznego punktu widzenia jest ona wielkością reprezentującą wspólną własność dwóch układów pozostających w równowadze ze sobą. Temperatura jest związana ze średnią energią kinetyczną ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany układ i jest miarą tej energii.

Temperatura jest miarą stanu cieplnego danego ciała. Jeśli dwa ciała mają tę samą temperaturę, to w bezpośrednim kontakcie nie przekazują sobie ciepła, gdy zaś temperatura obu ciał jest różna, to następuje przekazywanie ciepła z ciała o wyższej temperaturze do ciała o niższej – aż do wyrównania się temperatury obu ciał.

Energia wewnętrzna (oznaczana zwykle jako U lub Ew) w termodynamice – całkowita energia układu będącą sumą energii oddziaływań międzycząsteczkowych i wewnątrzcząsteczkowych układu, a także energii ruchu cieplnego cząsteczek oraz wszystkich innych rodzajów energii występujących w układzie.

Wartość energii wewnętrznej jest trudna do ustalenia ze względu na jej złożony charakter. W opisie procesów termodynamicznych istotniejsza i łatwiejsza do określenia jest zmiana energii wewnętrznej, dlatego określając energię wewnętrzną układu pomija się te rodzaje energii, które nie zmieniają się w rozpatrywanym układzie termodynamicznym. Na przykład dla gazu doskonałego jedyną składową energii wewnętrznej, która może się zmieniać, jest energia kinetyczna cząsteczek gazu. Stąd zmiana energii wewnętrznej równa jest zmianie energii kinetycznej cząsteczek.

Energia wewnętrzna jest jednym z potencjałów termodynamicznych. Według I zasady termodynamiki energia wewnętrzna stanowi jednoznaczną funkcję stanu, którą dla danej porcji gazu można wyrazić przez dowolne dwa parametry stanu, np. ciśnienie, temperaturę, objętość właściwą, entalpię, entropię i inne.

Proces termodynamiczny, zwany też przemianą termodynamiczną to każda, dowolna zmiana stanu termodynamicznego układu fizycznego. Ze względu na to, że wszystkie układy niepozostające w równowadze termodynamicznej stale ulegają jakimś zmianom, ustalenie początku i końca procesów termodynamicznych jest zwykle czysto umowne i zależy od sytuacji.

* Klasyfikacja procesów termodynamicznych ze względu na stałość określonych wartości funkcji stanu

o przemiana izobaryczna (stałe ciśnienie p = const.)

o przemiana izotermiczna (stała temperatura T = const.)

o przemiana izochoryczna (stała objętość V = const.)

o przemiana izentalpowa (stała entalpia H = const.)

o przemiana adiabatyczna (brak wymiany ciepła z otoczeniem ΔQ = 0)

o przemiana izentropowa - adiabatyczna odwracalna (brak wymiany ciepła z otoczeniem ΔQ = 0, stała entropia S = const.)

o przemiana politropowa (pV^n = const., gdzie n wykładnik politropy)

* Klasyfikacja procesów termodynamicznych, ze względu na ich odwracalność

o proces odwracalny

o proces nieodwracalny

Równowaga termodynamiczna – pojęcie stosowane w termodynamice. Oznacza stan, w którym makroskopowe parametry układu, takie jak ciśnienie, objętość i wszystkie funkcje stanu, są stałe w czasie. Na równowagę termodynamiczną składają się: równowaga chemiczna (brak makroskopowego przepływu cząstek i reakcji chemicznych), mechaniczna (nie występują niezrównoważone siły) i termiczna (nie występuje przepływ energii).

Energia układu będącego w stanie równowagi osiąga ekstremum. W zależności od rodzaju ekstremum równowaga może być chwiejna, obojętna, metatrwała lub trwała (patrz równowaga dynamiczna). Przy równowadze trwałej układ osiąga minimalną energię (potencjał termodynamiczny) i maksymalną entropię.

Wszystkie procesy w przyrodzie przebiegają w kierunku osiągnięcia stanów równowagowych. Zwykle układ osiąga stan równowagi po dość krótkim czasie (tzw. czasie relaksacji). Jednak w niektórych przypadkach (np. szkło) ten czas jest praktycznie nieskończony. Najprostszym opisem dochodzenia do stanu równowagi jest model Newtona.

Zadanie 23. Zerowa i pierwsza zasada termodynamiki,

Zerowa zasada termodynamiki głosi, że:

Jeśli układy A i B mogące ze sobą wymieniać ciepło są ze sobą w równowadze termicznej, i to samo jest prawdą dla układów B i C, to układy A i C również są ze sobą w równowadze termicznej.

Z zerowej zasady wynika istnienie temperatury empirycznej. Istnieje mianowicie taka wielkość fizyczna β, która jest równa dla układów A i B, będących ze sobą w równowadze termodynamicznej. W rzeczywistości takie określenie nie oznacza jeszcze znanej nam temperatury T: β może być dowolną funkcją T.

Zerowa zasada termodynamiki stwierdza także, że ciało w równowadze termodynamicznej ma wszędzie tę samą temperaturę.

Pierwsza zasada termodynamiki – jedno z podstawowych praw termodynamiki, jest sformułowaniem zasady zachowania energii dla układów termodynamicznych. Zasada stanowi podsumowanie równoważności ciepła i pracy oraz stałości energii układu izolowanego.

Dla układu zamkniętego (nie wymienia masy z otoczeniem, może wymieniać energię) zasadę można sformułować w postaci:

Zmiana energii wewnętrznej układu zamkniętego jest równa energii, która przepływa przez jego granice na sposób ciepła lub pracy.

gdzie:

ΔU – zmiana energii wewnętrznej układu,

Q – energia przekazana do układu jako ciepło,

W – praca wykonana na układzie.

W powyższym sformułowaniu przyjmuje się konwencję, że gdy:

* W > 0 – do układu przepływa energia na sposób pracy,

* W < 0 – układ traci energię na sposób pracy,

* Q > 0 – do układu przepływa energia na sposób ciepła,

* Q < 0 – układ traci energię na sposób ciepła.

W przypadku układu termodynamicznie izolowanego układ nie wymienia energii z otoczeniem na sposób pracy (W = 0) ani na sposób ciepła (Q = 0), wówczas:

Zadanie 24.Model gazu doskonałego, równanie Clapeyrona, przemiany gazowe

Gaz doskonały – zwany gazem idealnym jest to abstrakcyjny, matematyczny model gazu, spełniający następujące warunki:

1. brak oddziaływań międzycząsteczkowych z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek

2. objętość cząsteczek jest znikoma w stosunku do objętości gazu

3. zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste

4. cząsteczki znajdują się w ciągłym chaotycznym ruchu

Założenia te wyjaśniły podstawowe właściwości gazów. Po odkryciu własności cząstek w mechanice kwantowej, zastosowano te założenia też do cząstek kwantowych. Powyższe założenia prowadzą do następujących modeli:

1. Klasyczny gaz doskonały,

2. Gaz Fermiego, będący zastosowaniem modelu do fermionów, np. elektronów w metalu

3. Gaz bozonów, będący zastosowaniem modelu do bozonów, np. fotonów.

Równanie Clapeyrona, równanie stanu gazu doskonałego to równanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujący gazy rzeczywiste. Sformułowane zostało w 1834 roku przez Benoîta Clapeyrona. Prawo to można wyrazić wzorem

gdzie:

* p – ciśnienie

* V – objętość

* n – liczba moli gazu (będąca miarą liczby cząsteczek (ilości) rozważanego gazu)

* T – temperatura (bezwzględna), T [K] = t [°C] + 273,15

* R – uniwersalna stała gazowa: R = NAk, gdzie: NA – stała Avogadra (liczba Avogadra), k – stała Boltzmanna, R = 8,314 J/(mol·K)

Równanie to jest wyprowadzane na podstawie założeń:

1. gaz składa się z poruszających się cząsteczek;

2. cząsteczki zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia w którym się znajdują;

3. brak oddziaływań międzycząsteczkowych w gazie, z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek;

4. objętość (rozmiary) cząsteczek jest pomijana;

5. zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste;

Równanie to, mimo że wyprowadzone w ramach wyidealizowanego modelu, dobrze opisuje większość substancji gazowych w obszarze ciśnień do ok. 100 atmosfer i temperatury do 300–400 °C, oraz w temperaturze trochę większej od temperatury skraplania gazu.

Wyprowadzenie

Równanie to można wyprowadzić fenomenologicznie (tj. bez odwoływania się do mikroskopowych właściwości układu). W wyniku wielu eksperymentów przeprowadzonych na gazach głównie w XVIII wieku badacze doszli do wniosku, że można w sposób satysfakcjonujący i wystarczający opisać te przemiany dla 1 mola gazu poprzez podanie 3 zmiennych np. T, P, V. Spośród tych trzech zmiennych tylko dwie są niezależne, wobec czego można traktować np. ciśnienie jako funkcję dwóch pozostałych zmiennych tj. p = p(T,V). Można zatem zapisać różniczkę zupełną ciśnienia dp jako

Pierwszy człon opisuje proces, w którym gaz zamknięty w stałej objętości jest ogrzewany czemu towarzyszy zmiana jego ciśnienia. Jako pierwszy taką przemianę opisał Charles (izochoryczna przemiana Charlesa) i podał równanie jej równanie w postaci

skąd wynika

Drugi człon to izotermiczne rozprężanie lub sprężanie gazu opisane przez Boyla i Mariotta (izotermiczna przemiana Boyla i Mariotta) wzorem

gdzie l to stała. Z równania tego wynika, że

Otrzymane pochodne cząstkowe podstawmy do wyrażenia na dp

Dzieląc to równanie przez p można rozdzielić zmienne

Po wycałkowaniu

Stałą całkowania C można zapisać przy pomocy innej stałej R

wówczas, ponieważ funkcja ln jest różnowartościowa

Rozumowanie łatwo można uogólnić na dowolną liczbę moli gazu n. Równanie to stanowi fundamentalny związek między ciśnieniem, temperaturą i liczbą cząstek gazu, z którego wynikają trzy wnioski:

* n moli (taka sama liczba cząstek) gazu, przy danej temperaturze i ciśnieniu panującym w naczyniu zajmuje zawsze taką samą objętość, niezależnie od budowy chemicznej tego gazu (V = nRT/p).

* w danej objętości, przy danym ciśnieniu i temperaturze, znajduje się zawsze taka sama liczba moli cząsteczek gazu, niezależnie od jego budowy chemicznej (n = pV/RT)

* n moli gazu zamkniętych w naczyniu o określonej objętości, przy określonej temperaturze, będzie wywierał na jego ścianki zawsze jednakowe ciśnienie, niezależnie od tego, jaki to jest gaz (p = nRT/V).

Określenie równanie Clapeyrona nie jest stosowane powszechnie w odniesieniu do tego wzoru – w literaturze anglojęzycznej równanie to znane jest jedynie jako ideal gas law (prawo gazu doskonałego), podobnie jest w większości innych języków. W Rosji równanie to funkcjonuje pod nazwą równania Mendelejewa-Clapeyrona. Równanie Clapeyrona opisuje przemiany fazowe, m.in. ciecz-gaz. Pod tą nazwą często funkcjonuje też równanie Clausiusa-Clapeyrona.

Rozszerzeniami równania gazu doskonałego, uwzględniającymi objętość cząsteczek gazu oraz przyciąganie cząsteczek, są równanie van der Waalsa oraz wirialne równanie stanu.

* Przemiany termodynamiczne

o przemiana izobaryczna (stałe ciśnienie p = const)

o przemiana izotermiczna (stała temperatura T = const)

o przemiana izochoryczna (stała objętość V = const)

o przemiana adiabatyczna (brak wymiany ciepła z otoczeniem Q = 0)

o przemiana politropowa (pVn = const, gdzie n – wykładnik politropy)

Przemianą gazu doskonałego nazywamy proces zachodzący dla stałej masy gazu. W wyniku procesu zmianie ulegają pewne parametry stanu gazu, przy czym jeden z parametrów pozostaje stały.

• Przemiana izotermiczna (T = const.)

Równanie przemiany: opisuje tzw. prawo Boyle’a-Mariotte’a:

Dla danej stałej masy gazu iloczyn jego ciśnienia i objętości jest wielkością stałą.

Wykresy przemiany izotermicznej w układach współrzędnych p-V, p-T i V-T:

I zasada termodynamiki dla przemiany izotermicznej przybiera postać:

Q = –Wz lub Q = Wu, zaś ΔU = 0

Przykładem takiej przemiany jest bardzo powolne sprężanie gazu w naczyniu o ściankach dobrze przewodzących ciepło (temperatura gazu jest wówczas równa temperaturze otoczenia).

• Przemiana izobaryczna (p = const.)

Równanie przemiany

opisuje tzw. prawo Guy-Lusaca:

Dla danej stałej masy gazu iloraz jego objętości i temperatury bezwzględnej jest wielkością stałą.

I zasada termodynamiki dla przemiany izobarycznej przybiera postać:

ΔU = Q + Wz (sprężanie izobaryczne) lub

ΔU = Q – Wz (rozprężanie izobaryczne)

Przykładem takiej przemiany jest ogrzewanie gazu w szczelnym naczyniu, które zamknięte jest ruchomym tłokiem mogącym się swobodnie przesuwać.

Wzory na obliczanie pracy, ciepła i zmiany energii wewnętrznej w przemianie izobarycznej:

W = p·ΔV = pּ(V2 – V 1)

(pole powierzchni pod wykresem przemiany w układzie p-V ma sens fizyczny pracy wykonanej przez gaz).

Q = n·cp·ΔT lub Q = m·Cp·ΔT

gdzie: Cp – ciepło właściwe masowe przy stałym ciśnieniu.

Ciepła właściwe molowe i masowe związane są zależnością:

cp·µ = Cp

ΔU = nּcVּΔT

lub ΔU = nּCVּΔT

gdzie: CV – ciepło właściwe masowe przy stałej objętości.

Między wielkościami Cp i CV zachodzą zależności zwane równaniem Meyera:

cp – cV = R

lub

• Przemiana izochoryczna (V = const.)

Równanie przemiany:

opisuje tzw. prawo Charlesa:

Dla danej stałej masy gazu iloraz jego ciśnienia i temperatury bezwzględnej jest wielkością stałą.

I zasada termodynamiki dla przemiany izochorycznej przybiera postać:

ΔU = Q (ogrzewanie izochoryczne) lub

ΔU = –Q (ochładzanie izochoryczne)

Wzory na obliczanie pracy, ciepła i zmiany energii wewnętrznej w przemianie izochorycznej:

W = 0

Q = nּcVּΔT lub Q = mּCVּΔT

ΔU = nּcVּΔT lub ΔU = nּCVּΔT

Przykładem takiej przemiany jest ogrzewanie gazu w szczelnie zamkniętym naczyniu, zbudowanym z materiału o bardzo małej rozszerzalności cieplnej.

• Przemiana adiabatyczna (p, V, T – zmieniają się, ale Q = 0)

Równanie przemiany:

pּVκ = const.

gdzie:

to wykładnik adiabaty.

Przykładem przemiany adiabatycznej jest sprężanie powietrza w silniku Diesla.

Wykres przemiany adiabatycznej w układzie p-V przypomina izotermę, ale adiabata jest bardziej stroma.

Zadanie 25.Kinetyczna interpretacja ciśnienia i temperatury,

Brak

Zadanie 26.Średnia droga swobodna,

Średnia droga swobodna jest to średnia droga, jaką przebywa cząstka (także atom lub cząsteczka) poruszająca się w ośrodku materialnym między kolejnymi zderzeniami z cząstkami tego ośrodka. Pojęcie to jest stosowane w bardzo wielu dziedzinach fizyki.

Zastosowania

* Pojęcie średniej drogi swobodnej odgrywa istotną rolę w badaniu zjawisk dyfuzji i transportu.

* Fizyka ciała stałego wiąże średnią drogę swobodną nośników ładunku z ich ruchliwością, a w konsekwencji z przewodnictwem elektrycznym substancji.

* Średnia droga swobodna elektronów jest też ważnym pojęciem przy badaniu wyładowań elektrycznych w gazach.

* W radiologii mierzy się czasem grubość ośrodka w średnich drogach swobodnych cząstek przenoszących dany rodzaj promieniowania (kwanty gamma, cząstki cząstka alfa itp.). W fizyce cząstek elementarnych używa się w podobny sposób pokrewnego pojęcia drogi radiacyjnej.

* W astronomii rozpatruje się średnią drogę swobodną promieniowania bądź elektronów w ośrodku międzygwiazdowym lub w atmosferze gwiazdy.

W teorii kinetycznej gazów

Przyjmując model cząsteczek gazu jako sztywnych kulek, można wyznaczyć średnią drogę swobodną tych cząsteczek w określonych warunkach. Jest ona dana wzorem

gdzie

n0 — koncentracja cząsteczek gazu,

d — efektywna średnica cząsteczki.

Średnia droga swobodna cząsteczki gazu jest stosowana jako miara jakości próżni. Jest również podstawą definicji próżni w znaczeniu technicznym. Poniższa tabela prezentuje przykłady drogi swobodnej cząsteczek powietrza

Zadanie 27.Zmiany stanów skupienia ciał - przemiany fazowe,

Przemiana fazowa (przejście fazowe) – proces termodynamiczny, polegający na przejściu jednej fazy termodynamicznej w drugą, zachodzący w kierunku zapewniającym zmniejszenie energii swobodnej układu

Do przemian fazowych należą procesy:

* prowadzące do zmiany stanu skupienia, np. parowanie i skraplanie, krystalizacja i topnienie, sublimacja i resublimacja

* zachodzące bez zmiany stanu skupienia, w fazie stałej lub ciekłej, np. przemiana alotropowa

Wyróżnia się:

* przemiany pierwszego rodzaju (rzędu) - w których zachodzi nieciągła zmiana entropii i ciepa właściwego w temperaturze równowagi termodynamicznej, co jest związane z wydzielaniem lub pochłanianiem ciepła (ciepło utajone)

* przemiany drugiego rodzaju (rzędu) - w których zachodzi ciągła zmiana entropii lub objętości molowej, a nie występuje efekt cieplny, np. przemiany magnetyczne, przemiany lambda, przejścia metali w stan nadprzewodnictwa

W metalurgii duże znaczenie ma klasyfikacja związana z mechanizmem przemiany, wg której wyodrębnia się grupy przemian:

* dyfuzyjnych - których przebieg jest związany z transportem masy (na małe lub duże odległości), np. przemiana eutektoidalna, wydzielanie składników z przesyconych roztworów stałych

* bezdyfuzyjnych - nie wymagających transportu masy, np. przemiana martenzytyczna

Zadanie 28.Druga zasada termodynamiki,

Druga zasada termodynamiki stwierdza, że w układzie termodynamicznie izolowanym istnieje funkcja stanu zwana entropią S, której zmiana ΔS w procesie adiabatycznym spełnia , przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy proces jest odwracalny.

W uproszczeniu można to wyrazić też tak:

"W układzie termodynamicznie izolowanym w dowolnym procesie entropia nigdy nie maleje"

Uwaga

W wielu opracowaniach pojawia się błąd, polegający na stwierdzeniu, że druga zasada termodynamiki zapewnia formie ciepła istnienie czynnika całkującego. Jest to tylko część treści tej zasady. Najlepiej się o tym przekonać wybierając prosty układ opisany dwoma parametrami. Z matematyki wiadomo, że w takim układzie (dwuwymiarowa przestrzeń stanów), każda forma liniowa ma czynnik całkujący, a zatem tak rozumiana zasada termodynamiki nic by nie wnosiła do takich układów.

Zadanie 29.Cykl Carnota, silniki cieplne.

Cykl Carnota - obieg termodynamiczny, złożony z dwóch przemian izotermicznych i dwóch przemian adiabatycznych. Cykl Carnota jest obiegiem odwracalnym. Do realizacji cyklu potrzebny jest czynnik termodynamiczny, który może wykonywać pracę i nad którym można wykonać pracę, np. gaz w naczyniu z tłokiem, a także dwa nieograniczone źródła ciepła, jedno jako źródło ciepła (o temperaturze T1) - górne źródło ciepła obiegu, a drugie jako chłodnica (o temperaturze T2) - dolne źródło ciepła obiegu.

Przebieg cyklu

Cykl składa się z następujących procesów:

1. Sprężanie izotermiczne – czynnik roboczy styka się z chłodnicą, ma temperaturę chłodnicy i zostaje poddany procesowi sprężania w tej temperaturze (T2). Czynnik roboczy oddaje ciepło do chłodnicy.

2. Sprężanie adiabatyczne – czynnik roboczy nie wymienia ciepła z otoczeniem, jest poddawany sprężaniu, aż uzyska temperaturę źródła ciepła (T1).

3. Rozprężanie izotermiczne – czynnik roboczy styka się ze źródłem ciepła, ma jego temperaturę i poddawany jest rozprężaniu izotermicznemu w temperaturze T1, podczas tego cyklu ciepło jest pobierane ze źródła ciepła.

4. Rozprężanie adiabatyczne – czynnik roboczy nie wymienia ciepła z otoczeniem i jest rozprężany, aż czynnik roboczy uzyska temperaturę chłodnicy (T2).

Wnioski

W wyniku tych czterech procesów czynnik roboczy powraca do punktu wyjścia, dlatego mówimy, że cykl jest zamknięty (zgodnie z definicją obiegu).

Podczas procesów sprężania siła zewnętrzna wykonuje pracę nad układem termodynamicznym, a podczas rozprężania układ wykonuje pracę. Ilość pracy wykonanej przez układ jest większa (gdy T1 > T2) od pracy wykonanej nad układem. Podczas cyklu ciepło jest pobierane ze źródła ciepła, część tego ciepła jest oddawana do chłodnicy, a część zamieniana na pracę.

Sprawność cyklu

Dla układu tego definiuje się sprawność jako stosunek pracy wykonanej do ilości ciepła pobranego ze źródła ciepła.

Wzór powyższy wyprowadzony przez Carnota określa, że sprawność cyklu nie zależy od czynnika roboczego, ani sposobu realizacji, a zależy tylko od temperatur źródła ciepła i chłodnicy.

Warto zwrócić uwagę na to, że sprawność silnika pracującego w temperaturach T1=373 K (temperatura wrzenia wody) i T2=300K (temp. pokojowa) wynosi około 20%.

Carnot udowodnił też, że dowolny odwracalny cykl zamknięty w którym podczas pobierania ciepła układ ma temperaturę mniejszą od Tmax a podczas oddawania ciepła większą od Tmin ma sprawność mniejszą od cyklu Carnota opartego o temperatury Tmax i Tmin. Dlatego często sprawność silników termodynamicznych określa się w odniesieniu do cyklu Carnota zwanego silnikiem idealnym.

Cykl Carnota jest odwracalny i może przebiegać w odwrotnym kierunku (zamienione sprężanie z rozprężaniem) wówczas układ przekazuje energię cieplną od ciała o niższej temperaturze do ciała o wyższej temperaturze. Układ taki nazywany jest pompą ciepła (lub cieplną) i pracuje on kosztem wykonywania pracy nad nim. Sprawność cyklu Carnota określa też parametry idealnej pompy cieplnej działającej przy zadanych temperaturach. Rzeczywiste pompy cieplne mają sprawność mniejszą od cyklu Carnota.

Silnik cieplny

Silnik cieplny - urządzenie, które zamienia energię termiczną (cieplną) w energię mechaniczną (praca) lub elektryczną.

Idealizacją silnika cieplnego jest silnik pracujący wg cyklu Carnota. Silnik taki ma największą teoretyczną sprawność dla danych temperatur źródeł ciepła górnego i dolnego. Sprawność rzeczywistych silników jest także zależna od temperatury dolnego i górnego źródła ciepła ale mniejsza od sprawności cyklu Carnota. Stosunek sprawności silnika do sprawności obiegu Carnota to sprawność egzergetyczna.

Silniki cieplne dzielą się na silniki:

* o spalaniu wewnętrznym

* o spalaniu zewnętrznym

Inny podział ze względu na sposób generowania mocy:

* silnik objętościowy (tłokowy)

* silnik przepływowy (turbinowy).

Najczęściej spotykanymi w technice silnikami cieplnymi są silniki tłokowe, służące powszechnie do napędu samochodów. Nieco rzadsze zastosowanie ma silnik turbinowy, będący podstawowym źródłem mocy mechanicznej w transporcie lotniczym.

Sprawność

Sprawność silnika odnosi się do ilości pracy użytecznej jaką możemy uzyskać z określonej ilości dostarczonego ciepła.

Z praw termodynamiki mamy:

gdzie

dW = − PdV jest pracą odbieraną od silnika. (Jest to wielkość ujemna, kiedy praca jest wykonana przez silnik)

dQh = ThdSh jest ciepłem pobranym z górnego źródła ciepła, stąd ( − dQh) jest dodatnie.

dQc = TcdSc jest ciepłem oddanym do chłodnicy. (Jest to wielkość dodatnia jeśli ciepło jest przekazywane do chłodnicy)

Innymi słowy, silnik cieplny pobiera ciepło ze zbiornika ciepła o wysokiej temperaturze, przekształca jego część w użyteczną pracę, a resztę oddaje do chłodnicy.

Ogólnie, sprawność danego procesu przepływu ciepła (niezależnie, czy będzie to chłodziarka, pompa ciepła lub silnik) jest definiowana nieformalnie jako "to co otrzymujesz" do tego "co dostarczasz".

W przypadku silnika, kiedy otrzymujemy pracę mechaniczną, a dostarczamy ciepło

Teoretyczne maksimum sprawności danego silnika cieplnego zależy tylko od temperatur, pomiędzy którymi on pracuje. Sprawność ta jest zwykle obliczana dla idealnego silnika Carnota, jednakże silniki pracujące według innych cykli osiągają także określoną dla danego cyklu maksymalną sprawność zależną od temperatur źródła ciepła i chłodnicy. Maksymalna sprawność danego cyklu osiąga przy odwracalnych przemianach termodynamicznych, kiedy zmiana entropii chłodnicy ma przeciwny znak do zmiany entropii źródła ciepła (tj., dSc = − dSh), a łączna entropia układu nie zmienia się. W takim przypadku:

gdzie Th jest temperaturą bezwzględną źródła ciepła; Tc temperaturą bezwzględną chłodnicy. dSc jest dodatnie, kiedy dSh jest ujemne; w każdym odwracalnym procesie wykonywania pracy entropia cyklu nie wzrasta, ale wysoka entropia źródła ciepła maleje, a rośnie entropia otoczenia (chłodnicy) gdzie oddawane jest ciepło.