Temat 1.6

Określić optymalne położenie podpory y_opt, przy którym nośność graniczna belki będzie największa, rys. 1. Obliczyć maksymalną nośność graniczną $\overset{}{P}$ jeśli przekrój belki jest kołem o promieniu R. Dane: L, R, σ₀.

Rysunek 1

Stopień hiperstatyczności powyższej belki wynosi h = 1. Ilość możliwych przegubów plastycznych w schematach zniszczenia waha się 1 ≤ n ≤ h + 1.

schemat zniszczenia

Na rysunku numer 2 przedstawiony został pierwszy z dwóch możliwych schematów zniszczenia.

Rysunek 2. Pierwszy schemat zniszczenia

L_z −  praca zewnetrzna    L_w −  praca wewnetrzna

L_z = P_I(3l−y)α

$$L_{w} = \overset{}{M} \times \alpha$$

Z porównania obydwu prac otrzymujemy nośność graniczną dla I schematu zniszczenia.

L_z = L_w

$$P_{I}\left( 3l - y \right)\alpha = \overset{}{M} \times \alpha$$

$$P_{I} = \frac{\overset{}{M}}{3l - y}$$

schemat zniszczenia

Na rysunku numer 3 przedstawiono drugi możliwy schemat zniszczenia belki.

Rysunek 3. Drugi możliwy schemat zniszczenia.

α × l = β × (y−l)

$$\beta = \frac{\alpha \times l}{y - l}$$

L_z = 3P_II × l × α − P_II(3l − y)×β

$$L_{w} = \overset{}{M} \times \alpha + \overset{}{M} \times \left( \alpha + \beta \right) = \overset{}{M} \times \alpha + \overset{}{M} \times \alpha + \overset{}{M} \times \alpha \times \frac{l}{y - l} = \overset{}{M} \times \alpha \times \left( \frac{l}{y - l} + 2 \right) = \overset{}{M} \times \alpha \times \left( \frac{2y - 2l + l}{y - l} \right) = \overset{}{M} \times \alpha \times \frac{2y - l}{y - l}$$

L_z = L_w

$$3P_{\text{II}} \times l \times \alpha - P\left( 3l - y \right) \times \beta = \overset{}{M} \times \alpha \times \frac{2y - l}{y - l}$$

$$P_{\text{II}} \times \alpha \times \left( 3l - \frac{l\left( 3l - y \right)}{y - l} \right) = \overset{}{M} \times \alpha \times \frac{2y - l}{y - l}$$

$$P_{\text{II}} \times \left( \frac{3l \times y - 3l^{2} - 3l^{2} + l \times y}{y - l} \right) = \overset{}{M} \times \frac{2y - l}{y - l}$$

$$P_{\text{II}} \times (\frac{4l \times y - 6l^{2}}{y - l}) = \overset{}{M} \times \frac{2y - l}{y - l}$$

$$P_{\text{II}} = \overset{}{M} \times \frac{2y - l}{y - l} \times \frac{y - l}{4l \times y - 6l^{2}}$$

$$P_{\text{II}} = \overset{}{M} \times \frac{2y - l}{4l \times y - 6l^{2}}$$

Aby wyznaczyć optymalne położenie podpory y_opt należy rozpatrzeć hipotetyczny trzeci schemat zniszczenia (przedstawiony na rysunku numer 4) w którym dochodzi do uplastycznienia przegubów w trzech miejscach. Aby rozważyć ten schemat porównuje nośności graniczne otrzymane z poprzednich dwóch schematów i wyliczam z nich y_opt.

Rysunek 4. Hipotetyczny schemat zniszczenia.

P_I = P_IIy_opt

$$\frac{\overset{}{M}}{3l - y} = \frac{\overset{}{M} \times (2y - l)}{4l \times y - 6l^{2}}$$

4l × y − 6l² = (3l−y) × (2y−l)

4l × y − 6l² = 6l × y − 3l² − 2y² + y × l

4l × y − 6l² − 6l × y + 3l² + 2y² − y × l = 0

2y² − 3l × y − 3l² = 0

Δ = b² − 4 × a × c

Δ = 9l² − 4 × 2 × ( − 3l²)=33l²

$$\sqrt{\Delta} \approx 5,745l$$

$y_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4\text{ac}}}{2a}$ $y_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4\text{ac}}}{2a}$

$y_{1} = \frac{3l - 5,745l}{4}$ $y_{2} = \frac{3l + 5,745l}{4} = 2,18625l$

y₁ −  wykluczam pierwiastek ze wzgledu na fakt iz jest liczba ujemna

Optymalnym położeniem podpory będzie y = 2, 18625l.

$$P_{I} = \frac{\overset{}{M}}{3l - 2,18625l} \approx 1,229\frac{\overset{}{M}}{l}$$

$$P_{\text{II}} = \frac{2 \times 2,18625l - l}{4l \times 2,18625l - 6l^{2}} \times \overset{}{M} \approx 1,229\frac{\overset{}{M}}{l}$$

Aby wyliczyć $\overset{}{M}$ należy skorzystać ze wzoru:

$$\overset{}{M} = 2 \times \sigma_{0} \times S_{1y}$$

Przekrój rozważanej belki przedstawiono na rysunku 5. W przypadku takiego przekroju S_1y jest momentem statycznym połowy koła. Aby wyliczyć S_1y korzystamy ze wzoru korzystamy ze wzoru S_1y = A₁ × r gdzie A₁ - pole przekroju, a r – odległość środków ciężkości całej figury i jej części. Środek ciężkości koła znajduje się na przecięciu osi symetrii, natomiast środek ciężkości półkola znajduje się w odległości $\frac{2}{3}\frac{D}{\pi}$ od podstawy półkola, $r = \frac{2}{3}\frac{D}{\pi}$ .

Rysunek 5. Przekrój belki.

$$A_{1} = \frac{\pi d^{2}}{4}$$

$$S_{1y} = A_{1} \times \frac{2}{3} \times \frac{D}{\pi} = \frac{\pi \times 4R^{2}}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{2R}{\pi} = \frac{8R^{3}}{6} = \frac{2}{3}R^{3}$$

$$\overset{}{M} = 2 \times \sigma_{0} \times \frac{2}{3}R^{3} = \frac{4}{3}R^{3}\sigma_{0}$$

Aby wyliczyć dokładnie wartość $\overset{}{P_{\max}}$ wstawiamy do uprzednio wyliczonej wartości, wartość $\overset{}{M}$ i otrzymujemy:

$$\overset{}{P} = 1,229\frac{\frac{4}{3}R^{3}\sigma_{0}}{l} \approx 1,639\frac{R^{3}\sigma_{0}}{l}$$

Odp. y_opt dla zadanej belki wynosi 2, 18625l, przy takim ustawieniu podpory nośność graniczna belki $\overset{}{P_{\max}}$ wynosi $1,639\frac{R^{3}\sigma_{0}}{l}$.