Rachunek prawdopodobieństwa, cz. 1

Prawdopodobieństwo, Rachunek prawdopodobieństwa, Kombinatoryka, Kombinacja, Wariacje, Moc zbioru, Liczba kardynalna

Wstęp

Zagadnienia związane z obliczaniem prawdopodobieństwa i zdarzeń stochastycznych, stosunkowo niedawno nie były uznawane za dział nauk ścisłych. Jednak gwałtowny rozwój dziedzin życia opierających się głównie na badaniach statystycznych (ekonomia, finanse, medycyna itp.) spowodował, że rachunek prawdopodobieństwa stał się jednym z kluczowych zagadnień obliczeniowych, i uznany za ważny dział matematyki.

W tej części omówimy podstawowe pojęcia z dziedziny kombinatoryki i logiki zbiorów, umożliwiające analityczne obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych. Na początku wprowadzimy też definicję prawdopodobieństwa matematycznego

Zdarzenia w matematyce, moc zbioru i prawdopodobieństwo

W zasadzie zdarzenie z punktu widzenia jest pojęciem niedefiniowanym (tzw. aksjomatem). Może nim być dowolna akcja, zakończona wynikiem, np. typowy rzut monetą bądź wylosowanie kulki z numerem LOTTO (wynikiem zdarzenia jest w pierwszym wypadku orzeł bądź reszka, w drugim – wylosowana liczba).

Gdy już zdefiniujemy interesujące nas zdarzenie, w kolejnym kroku można określić zbiór wszystkich możliwych jego wyników. W probabilistyce wielkość t ę określamy jako moc zbioru zdarzenia, przestrzeń probabilistyczną, mnogością zbioru itp. Najczęściej moc zbioru oznaczana jest jako

Przykładowo, dla jednokrotnego rzutu monetą moc zbioru  stanowi liczebność zbioru {Orzeł, Reszka}, czyli 2.

Innym przykładem może być rzut dwiema kostkami do gry i zapis wyrzuconych oczek. W tym wypadku, zbiór wszystkich możliwych wyników liczy sobie 21 elementów – {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)}, a więc = 21

Podczas obliczania prawdopodobieństwa nie interesują nas dowolne zdarzenia elementarne, ani też moc zbioru zdarzeń. Rozpatrujemy tzw. zdarzenia zakończone sukcesem, tzn. takie w których osiągnęliśmy oczekiwany wynik. Przykładem takiego zdarzenia może być wyrzucenie reszki przy rzucie monetą, bądź wyrzucenie łącznej liczby 7 oczek przy wspomnianym rzucie kostkami. Inaczej mówiąc, spośród wszystkich zdarzeń  wybieramy te szczególne – zakończone sukcesem (dalej zwanym jako zdarzenie S) i wyznaczamy ich liczebność .

Znowu, dla pierwszego przykładu jest to 1-elementowy zbiór {Reszka}, czyli . Natomiast dla drugiego przykładu zbiór zdarzeń S liczy 3 elementy: {(1,6), (2,5), (3,4)}, czyli =3

Mając wreszcie zdefiniowane pojęcia mocy zbioru  i liczebność zdarzeń sukcesu , możemy wprowadzić pojęcie prawdopodobieństwa zdarzenia S, oznaczane jako P(S) i liczone wg wzoru:

Własności prawdopodobieństwa

Ponieważ zbiór zdarzeń zakończonych sukcesem S jest podzbiorem wszystkich zdarzeń [\Omega[/m], nie może mieć większej liczby elementów aniżeli , czyli . Dodatkowo, mnogość każdego zbioru jest liczbą nieujemną, a więc  oraz  

Z powyższych wynikają następujące własności prawdopodobieństwa P(S):

 

Z definicji, prawdopodobieństwo definiowane jest jako wartość ułamkowa, nic nie stoi jednak na przeszkodzie aby wyznaczyć je procentowo – mnożąc przez 100.

Warto też wprowadzić pojęcie zdarzeń rozłącznych S₁, S₂ itp. – są to zdarzenia tworzące sumarycznie wszystkie możliwe wyniki (moc zbioru) ale nie posiadające części wspólnej:

W naszych przykładach mogą to być zdarzenia wyrzucenia orła albo reszki przy rzucie monetą, bądź zdarzenia wyrzucenia różnej sumy oczek w rzucie kostkami. Suma prawdopodobieństw takich zdarzeń rozłącznych S₁, S₂, S₃ ... wynosi 1 (prawdopodobieństwo całkowite):

Podstawowe wzory w kombinatoryce

Do skutecznego rozwiązywania zadań z rachunku prawdopodobieństwa, musimy poznać podstawowe wzory teorii zbiorów (kombinatoryki). Ogólnie podzbiory k-elementowe n-elementowego zbioru możemy podzielić na:

• Kombinacje bez powtórzeń: k-elementowe podzbiory n-elementowego zbioru, w których kolejność wystąpienia poszczególnych elementów nie ma znaczenia i nie powtarzają się one. Przykładowo, 2-elementowe kombinacje bez powtórzeń 3-elementowego zbioru {A, B, C} to podzbiory {A, B}, {B, C}, {A, C}
  Ilość k-elementowych kombinacji bez powtórzeń n-elementowego zbioru wyrażamy wzorem:
  
  Dla naszego przykładu będzie to

• Kombinacje z powtórzeniami: k-elementowe podzbiory n-elementowego zbioru, w kórych kolejność wystąpienia poszczególnych elementów nie ma znaczenia, natomiast mogą się one powtarzać. Przykładowo, 2-elementowe kombinacje z powtórzeniami 3-elementowego zbioru {A, B, C} to podzbiory {A, A}, {A, B}, {B, B}, {B, C}, {A, C}, {C, C}
  Ilość k-elementowych kombinacji z powtórzeniami n-elementowego zbioru wyrażamy wzorem
  Dla naszego przykładu będzie to:

• Wariacje bez powtórzeń: k-elementowe podzbiory n-elementowego zbioru, w kórych kolejność wystąpienia poszczególnych elementów ma znaczenie, natomiast nie powtarzają się one. Przykładowo, 2-elementowe wariacje bez powtórzeń 3-elementowego zbioru {A, B, C} to podzbio ry {A, B}, {B, A}, {B, C}, {C, B}, {A, C}, {C, A}
  Ilość k-elementowych wariacji bez powtórzeń n-elementowego zbioru wyrażamy wzorem
  Dla naszego przykładu będzie to:

• Wariacje z powtórzeniami: k-elementowe podzbiory n-elementowego zbioru, w kórych kolejność wystąpienia poszczególnych elementów ma znaczenie i mogą się one dodatkowo powtarzać. Przykładowo, 2-elementowe wariacje z powtórzeniami 3-elementowego zbioru {A, B, C} to podzbiory {A, B}, {A, A}, {B, A}, {B, C}, {B, B}, {C, B}, {A, C}, {C, C}, {C, A}
  Ilość k-elementowych wariacji z powtórzeniami n-elementowego zbioru wyrażamy wzorem
  Dla naszego przykładu będzie to