Rachunek prawdopodobieństwa, cz. 2

Rachunek prawdopodobieństwa, Prawdopodobieństwo

Wstęp

W poprzedniej części poznaliśmy podstawowe pojęcia i prawa probabilistyki (zdarzenia elementarne zakończone sukcesem i rozłączne, przestrzeń probabilistyczna i moc zbioru, definicja i własności prawdopodobieństwa, wzory obliczania mocy zbioru).

W tej części poznamy typowe metody obliczania zdarzeń z rachunku prawdopodobieństwa.

Analityczne rozwiązywanie zadań z rach. prawdopodobieństwa

Niestety, spośród poznanych dotychczas wzorów kombinatoryki i definicji prawdopodobieństwa nie zawsze łatwo jest skorzystać przy rozwiązywaniu zadań. Podstawową trudnością jest sklasyfikowanie rozpatrywanego zdarzenia do odpowiedniego typu zbioru w kombinatoryce (kombinacja z/bez powtórzeń, wariancja z/bez powtórzeń). Na tej podstawie stosujemy odpowiedni wzór na moc zbioru , następnie wyznaczamy możliwe zdarzenia zakończone sukcesem i ich liczebność , po czym obliczamy z definicji P(S) Najlepiej przedstawić tę metodę w zastosowaniu praktycznym.

Przykład 1

Spróbujmy obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy oczek równej 8 przy rzucie 2 nierozróżnialnymi kostkami.

W tym wypadku zdarzenie elementarne to wylosowanie pary liczb (A,B), każda z nich ze zbioru {1,2,3,4,5,6} - oczka kostki sześciennej. Ponieważ kostki są dwie, nic nie stoi na przeszkodzie by ta sama liczba oczek wypadła dla A i B - np. (2,2). Kostki są nierozróżnialne, nie ma też znaczenia kolejność liczb A,B w parze - np. pary (2,3) oraz (3,2) stanowią te same zdarzenie elementarne. Podsumowując wszystkie powyższe założenia, dojdziemy do wniosku że moc zbioru zdarzeń elementarnych (wszystkie możliwe pary do wylosowania) to kombinacje z powtórzeniem 2-elementowe (A,B) z zbioru 6-elementowego {1,2,3,4,5,6}:

Pozostaje wyznaczyć zdarzenia S zakończone sukcesem - czyli takie pary (A,B), których suma wyniesie 8. Zacznijmy od tego, że dla A=1 żadna liczba B z zbioru {1,2,3,4,5,6} nie spełni warunku A+B=8. Dla A=2 możemy znaleźć już jedną liczbę B=6 itp. Podsumowując, następujące pary (A,B) są wynikiem zdarzenia S: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) - powtórzone, (6,2) - powtórzone. A więc liczebność zdarzeń zakończonych sukcesem

Pozostaje podstawić do wzoru na prawdopodobieństwo i mamy wynik:

.

Przykład 2

Spróbujmy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania liczb podzielnych przez 4, których cyfry uzyskujemy z liczby oczek w rzucie 2 kostkami do gry.

W tym wypadku, podobnie jak poprzednio, zdarzeniem elementarnym jest wylosowanie pary liczb (A,B) ze zbioru {1,2,3,4,5,6}. Zauważmy jednak, że tym razem pary te tworzą liczby, a więc kolejność cyfr A,B ma znaczenie – pary (3,4) i (4,3) utworzą inne liczby 34 i 43. Powtarzalność A i B dalej jest możliwa (jak w przykładzie 1 ) – możemy przecież wylosować pary (2,2) lub (3,3), tworzące liczby 22 i 33. Z powyższych wynika, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych to wariacja (ważna kolejność) z powtórzeniem 2-elementowa zbioru 6-elementowego {1,2,3,4,5,6}:

Zastanówmy się zatem nad zdarzeniami sukcesu S - takie pary (A,B), które utworzą liczby podzielne przez 4. Możliwe do wylosowania liczby to: {12}, {16}, {24}, {32}, {36}, {44}, {52}, {56}, {64}. Tak więc . Podstawiając do wzoru na prawdopodobieństwo:

Otrzymany wynik zgadza nam się z intuicją, podpowiadającą że co czwarta liczba jest podzielna przez 4

Przykład 3

Z urny zawierającej 5 piłeczek ponumerowanych od 1 do 6 losujemy 3, bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wylosowanej grupie znajdzie się piłeczka z numerem 3 lub 4?

Zacznijmy oczywiście od analizy zdarzenia elementarnego w tym wypadku – jest nim wylosowanie 3 piłeczek z urny zawierającej ich 6, czyli utworzenie podzbiorów 3-elementowych ze zbioru 6-elementowego. Kolejne pytanie brzmi – jakie to zbiory? Ponieważ nie interesuje nas kolejność wylosowanych piłeczek, będą to kombinacje. Dodatkowo treść zadania mówi że piłeczek nie zwracamy po wylosowaniu – mamy więc do czynienia z kombinacjami bez powtórzeń 3-elementowymi z zbioru 6-elementowego. Zatem:

Zdarze nie zakończone sukcesem to wylosowanie piłeczek z numerem 3 lub 4. Możliwe pary spełniające ten warunek to: {3,1}, {3,2}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,1}, {4,2}, {4,5}, {4,6}. Przypomnijmy, że kolejność w parze nie ma znaczenia (pary {3,4} i {4,3} liczymy tylko raz) oraz cyfry nie mogą się powtarzać. Ostatecznie:

A szukane prawdopodobieństwo sukcesu wynosi:

Przykład 4

Ile różnych liczb można ułożyć ze zbioru cyfr {1,2,3} powtarzając cyfry?

W tym przykładzie, tworzymy 3-cyfrowe liczby ze zbioru liczącego 3 różne cyfry. Ponieważ kolejność wylosowanych cyfr ma znaczenie (wylosowanie cyfr {1,3,2} i {1,2,3} tworzy różne liczby 132 i 123) oraz cyfry mogą się powtarzać, możemy to doświadczenie przyrównać do losowania 3-elementowych wariacji z powtórzeniem ze zbioru 3-elementowego. Tak więc ilość wszystkich możliwych wyników wyniesie:

Przykład 5

Ile różnych liczb można ułożyć ze zbioru cyfr {1,2,3}, bez powtarzania cyfr?

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, losujemy tu 3-elementowe podzbiory zbioru 3-elementowego biorąc pod uwagę kolejność wylosowanych (wariacje). Jak jednak wynika z treści zadania, nie uwzględniamy powtarzania się cyfr w liczbach (a więc wariacje typu {1,1,2} czy {3,3,3} nie wchodzą w grę), tak więc mamy do czynienia z wariacją bez powtórzeń. Ilość wszystkich możliwych wyników doświadczenia w takim razie: