Zadanie 1. Grupa 6 pracowników, która otrzymała do podziału 4 nagrody w wysokości:

1000 zł, 1500 zł, 3000 zł, 3000 zł

zdecydowała podzielić je między sobą w sposób losowy. Losowanie zorganizowano tak, aby jeden pracownik mógł otrzymać co najwyżej jedną nagrodę.

Niech zmienna losowa X oznacza kwotę jaką w tym losowaniu otrzymał wybrany pracownik.

1. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X,

2. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X,

3. Podać ilustracje graficzną do a i b.

Zadanie 2. Tekla i Zygfryd grają w następującą grę: Tekla rzuca kostką do gry, jeżeli wypadnie liczba mniejsza od 4 - daje Zygfrydowi 2 zł, jeżeli wypadnie 4 lub 5 - nikt nie wygrywa, jeżeli wypadnie 6 - Zygfryd daje Tekli 10 zł. Zmienna losowa X zdefiniowana została jako wartość wygranej Tekli.

1. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X,

2. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X,

3. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.

Zadanie 3. Zmienna losowa X ma następujący rozkład prawdopodobieństwa:

	-1 0 1 2 3
	0,2 a 0,1 0,3 0,1

1. Dla jakiej wartości a powyższy rozkład będzie funkcją prawdopodobieństwa?

2. Przedstawić rozkład na wykresie,

3. Wyznaczyć dystrybuantę,

4. Obliczyć momenty zwykłe i centralne do 3 rzędu włącznie, podać interpretacje
   .

5. Obliczyć prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości:

,
,

Wykorzystaj w tym celu zarówno rozkład prawdopodobieństwa jak i dystrybuantę.

Zadanie 4. Przedstaw momenty centralne, do 4 włącznie, za pomocą momentów zwykłych.

Zadanie 5. Rozkład czasu (w minutach) potrzebnego na wykonanie pewnego zadania przez studentów przedstawia się następująco:

a)

b)

1. Przedstaw rozkład na wykresie,

2. Wyznacz dystrybuantę,

3. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję.

4. Oblicz prawdopodobieństwo realizacji zmiennej w przedziale 4-6 minut.

5. Jaki procent studentów wykonuje dane zadanie poniżej 5 minut?

6. Jaka jest mediana rozkładu?

7. Co najmniej ilu minut na rozwiązanie zadania potrzebuje 25% najsłabszych studentów?

Zadanie 6. Określ wartość stałej A, tak aby funkcja f była gęstością. Podaj dystrybuantę wyznaczonego rozkładu.

a)

b)

Zadanie 7. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o gęstości:

a)

b)

Zadanie 8. Dobierz tak stałe A i B, by funkcja
,
, była dystrybuantą zmiennej losowej. Wyznacz gęstość tej zmiennej losowej. Naszkicuj wykres gęstości i dystrybuanty.

Rachunek prawdopodobieństwa 24-02-09

4

---