5’ BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH STRUNY METODĄ REZONANSU

Cel:

• Zapoznanie się ze zjawiskiem interferencji fal na przykładzie powstawania fali stojącej

• Obserwacja fali stojącej.

• Wyznaczenie gęstości drutu stalowego.

Pytania kontrolne:

• Gęstość, ciężar, ciężar właściwy i masa - związek między tymi wielkościami.

gęstość		$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{k}}\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}_{\mathbf{sr}}\mathbf{\text{Lv}}} \right)^{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{F}_{\mathbf{k}}}{\mathbf{\pi}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{k}^{\mathbf{2}}\mathbf{F}_{\mathbf{k}}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}\mathbf{L}^{\mathbf{2}}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}$$
Ciężar, siła ciężkości	siła z jaką Ziemia lub inne ciało niebieskie przyciąga dane ciało. Ciężar jest wypadkową sił przyciągania grawitacyjnego i siły odśrodkowej wynikającej z ruchu obrotowego określonego ciała niebieskiego.	Q = mg
Ciężar właściwy	stosunek ciężaru ciała do jego objętości	$$\gamma = \ \frac{Q}{V} = \ \frac{m}{V}\ g = \ \rho g$$
masa	jedna z podstawowych wielkości fizycznych określająca bezwładność (masa bezwładna) i oddziaływanie grawitacyjne (masa grawitacyjna) obiektów fizycznych. Jest wielkością skalarną	m

• Równanie fali harmonicznej płaskiej oraz definicja jej podstawowych parametrów: długości fali, amplitudy, okresu, częstotliwości i częstości kołowej.

Fala harmoniczna płaska, to fala o określonym kierunku propagacji i stałej amplitudzie, której źródłem jest drganie harmoniczne proste.

Równanie opisujące falę przedstawia zależność wychylenia dowolnego punktu środowiska z położenia równowagi od położenia i czasu:

$$\mathbf{x}\left( \mathbf{z,t} \right)\mathbf{= \ }\mathbf{A}_{\mathbf{0}}\cos\left\lbrack \mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\left( \mathbf{t -}\frac{\mathbf{z}}{\mathbf{v}} \right)\mathbf{+}\mathbf{\varphi}_{\mathbf{0}} \right\rbrack$$

gdzie:

x(z, t) - wychylenie drgającego pkt. Z środowiska z położenia równowagi w momencie t (czast t jest całkowitym czasem drgania źródła ruchu falowego, zlokalizowanego tutaj w położeniu z = 0)
A₀ - amplituda fali równa amplitudzie drgania harmonicznego prostego

ω₀=2π T₀= 2πf₀ - częstość kołowa fali równa częstości kołowej drgania harmonicznego prostego o okresie T₀ i częstotliwości f₀

v – prędkość fazowa fali

φ = $\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\left( \mathbf{t -}\frac{\mathbf{z}}{\mathbf{v}} \right)\mathbf{+}\mathbf{\varphi}_{\mathbf{0}}$ - faza fali

φ₀ - faza początkowa fali

• Co to jest interferencja fal:

Powstaje w wyniku nakładania się ciągów fal stojących (koherentnych), tj. takich ciągów fal, których różnica faz nie zależy od czasu. Jeżeli różnica faz nakładających się ciągów fal zależy od czasu, to powstały obraz nie jest obrazem interferencyjnym.

Najprostszym przykładem interferencji jest nakładanie się dwóch fal harmonicznych, o tych samych amplitudach A₀ i częstościach ω₀.

$\mathbf{x}\mathbf{\ }_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{A}_{\mathbf{0}}\cos\left\lbrack \mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\left( \mathbf{t -}\frac{\mathbf{z}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{v}} \right) \right\rbrack$ $\mathbf{x}\mathbf{\ }_{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\mathbf{A}_{\mathbf{0}}\cos\left\lbrack \mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\left( \mathbf{t -}\frac{\mathbf{z}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{v}} \right) \right\rbrack$

Fala wypadkową powstałą w wyniku nałożenia się obydwu fal opisuje równanie:

$$\mathbf{X = x}\mathbf{\ }_{\mathbf{1}}\mathbf{+ \ x}\mathbf{\ }_{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\mathbf{A}_{\mathbf{0}}\cos\left\lbrack \mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\left( \mathbf{t -}\frac{{\mathbf{z}_{\mathbf{1}}\mathbf{+ \ z}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{v}} \right) \right\rbrack$$

gdzie: $\mathbf{A = 2}\mathbf{A}_{\mathbf{0}}\left| \mathbf{\cos}\frac{\mathbf{\pi(}\mathbf{z}_{\mathbf{2}}\mathbf{- \ }\mathbf{z}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}}{\mathbf{\lambda}} \right|$

wzmocnienie występuje gdy A = 2A₀ gdzie z₂− z₁ = nλ - ciąg fal w zgodnych fazach

wygaszenie A = 0 gdzie z₂− z₁ = $\left( \mathbf{2}\mathbf{n - 1} \right)\frac{\mathbf{\lambda}}{\mathbf{2}}$ - nakładanie się fal o przeciwnych fazach

• Jak powstaje fala stojąca, równanie fali stojącej, co to są węzły i strzałki fali stojącej?

Fala stojąca jest szczególnym przypadkiem nakładania się dwóch ciągów fal, które mają te same amplitudy i częstości lecz rozchodzą się w przeciwnych kierunkach. Nie towarzyszy jej transport energii.

Początkowe fazy = 0

$\mathbf{x}\mathbf{\ }_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{A}_{\mathbf{0}}\cos\left\lbrack \mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\left( \mathbf{t -}\frac{\mathbf{z}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{v}} \right) \right\rbrack$ $\mathbf{x}\mathbf{\ }_{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\mathbf{A}_{\mathbf{0}}\cos\left\lbrack \mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\left( \mathbf{t +}\frac{\mathbf{z}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{v}} \right) \right\rbrack$

Superpozycja obydwu ciągów fal prowadzi do powstania fali stojącej:

X = x ₁+ x ₂= A₀cos[ω₀t₀]

$$\mathbf{A = 2}\mathbf{A}_{\mathbf{0}}\left| \mathbf{\cos}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\text{πz}}}{\mathbf{\lambda}} \right|$$

Maximum A = 2A₀ powstaje w strzałkach określonych przez warunek z= $\mathbf{k}\frac{\mathbf{\lambda}}{\mathbf{2}}$

Amplitudy równe zeru powstają w węzłach fali stojącej spełniających warunek z = $\left( \mathbf{2}\mathbf{k + 1} \right)\frac{\mathbf{\lambda}}{\mathbf{4}}$

• Fala stojąca dla parametru k = 1

Fala stojąca dla parametru k = 2

Fala stojąca dla parametru k = 3

• Od czego zależy wysokość dźwięku wytworzonego przez strunę gitarową

• od długości efektywnej struny (efektywnej – bo można ją skracać np. przyciskając palcami do gryfu) – im krótsza jest struna tym większa będzie częstotliwość drgań (wyższy dźwięk).

• od siły naciągu struny - większa siła naciągu da większą częstotliwość wydobywanego dźwięku, czyli wyższy dźwięk

• od grubości struny i ciężaru materiału z jakiego ją wykonano – im grubsza (cięższa) struna, tym mniejsza częstotliwość, a więc i niższy dźwięk.

Struna, oprócz tonu podstawowego – najniższego wśród produkowanych tonów i decydującego o wysokości dźwięku – wydaje tony dodatkowe, czyli wyższe harmoniczne.

Przyrządy:

1’ Układ pomiarowy

(ława, stalowa struna, elektromagnes, szalka na odważniki o masie m_S =0,21 kg).

2’ Śruba mikrometryczna.

3’ Przymiar ze skalą milimetrową.

4’ Odważniki.

Przebieg pomiarów:

1’ Zmierzyć długość struny L:

L = 120cm

2’ W trzech różnych miejscach zmierzyć średnice struny d za pomocą śruby mikrometrycznej. Wyznaczyć średnią średnicę struny d:

		Średnica struny
d1 [mm]	d2 [mm]	d3 [ mm]	dsr [mm]
0,710	0,720	0,725	0,718

d_sr = 0,000718 m

3’ Ustawić elektromagnes w 1/4 długości struny i dobrać taką masę m_O odważników na szalce, aby powstała fala stojąca o długości równej długości struny (k = 2).

Dobierając odpowiednio obciążenia szalki, zaobserwować fale stojące o mniejszych

długościach (3 < k < 6). Elektromagnes powinien zawsze znajdować się w położeniu

odpowiadającemu strzałce fali:

• dla nieparzystych wartości k elektromagnes umieścić w połowie długości struny L

• dla parzystych w położeniu $\left( 1 - \ \frac{1}{k} \right)\frac{L}{2}$

	Ustawienie elektromagnesu na długości struny	masa obciążników	siła naciągu struny	gęstość
k		m0 [kg]	F [N]	ρ [kgm^-3]
2	1/4L 30cm = 0,3	4,100	42,2811	0
3	1/2L 60cm = 0,6	1,550	17,2656
4	45cm = 0,45	0,650	8,4366
5	1/2L 60cm = 0,6	0,300	5,0031
6	50cm = 0,5	0,090	2,943

4’ Wyznaczyć całkowitą siłę naciągu struny F, jako sumę ciężaru odważników i ciężaru szalki:

F_k=m₀g+m_sg

F₂ = 9, 81 (4, 1+0,21) = 42,2811 N

F₃ = 9, 81 (1, 550+0,21) = 17,2656 N

F₄ = 9, 81 (0, 650+0,21) = 8,4366 N

F₅ = 9, 81 (0, 3+0,21) = 5,0031 N

F₆ = 9, 81 (0, 09+0,21) = 2,943 N

5’ Na podstawie wzoru wyliczyć gęstość struny dla każdej wartości k:

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{k}}\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}_{\mathbf{sr}}\mathbf{\text{Lv}}} \right)^{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{F}_{\mathbf{k}}}{\mathbf{\pi}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{k}^{\mathbf{2}}\mathbf{F}_{\mathbf{k}}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}\mathbf{L}^{\mathbf{2}}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}$$

$$\rho_{2} = \left( \frac{2}{0,000718\ *0,96*100} \right)^{2}\frac{42,2811}{3,14} = \ \ 11330.91657\ kg/m^{3}$$

$$\rho_{3} = \left( \frac{3}{0,000718\ m*1,05*100} \right)^{2}\frac{17,2656}{3,14} = \ \ 8702,555974kg/m^{3}\ $$

$$\rho_{4} = \left( \frac{4}{0,000718\ m*1,12*100} \right)^{2}\frac{8,4366\ }{3,14} = \ \ 6641,175457\ kg/m^{3}$$

$$\rho_{5} = \left( \frac{5}{0,000718\ m*0,94*100} \right)^{2}\frac{5,0031}{3,14} = \ 8740,267483\ kg/m^{3}$$

$$\rho_{6} = \left( \frac{6}{0,000718\ m*1,11*100} \right)^{2}\frac{2,943}{3,14} = \ \ 5309,862731\ kg/m^{3}$$

6’ Wyliczyć wartość średnią gęstości stali:

ρ_sr=8144,955643 kg/m3

7’ Porównać otrzymany wynik z wartością tablicową:

Tablicowa wartość gęstości stali ( struna wykonana jest ze stali) wynosi 7800 kg/m3

8’ Wnioski

Przeprowadzone doświadczenie polegało na dobraniu takiego obciążenia szalki aby elektromagnes ustawiony na odpowiedniej długości struny pobudzał ją do drgań.

Struna w zależności od naciągu linki (obciążenia umieszczonego na szalce) oraz ustawienia elektromagnesu osiągała k- krotne wartości węzłów i strzałek ( długości fali stojącej)

Przeprowadzone doświadczenie pozwoliło także zobrazować gęstość struny, która wzrastała wraz ze wzrostem obciążenia na szalach.(pomijając błędny pomiarowe)

Podczas powstawania fali stojącej dało się słyszeć charakterystyczny dźwięk struny (ten, który słyszymy podczas gry na gitarze).