Badanie drgań własnych struny metodą

1. Cel ćwiczenia

• Zapoznanie się ze zjawiskiem interferencji fal na przykładzie powstawania fali stojącej.

• Obserwacja fali stojącej.

• Wyznaczenie gęstości drutu stalowego.

1. Przebieg

• Zmierzono długość struny.

• Zmierzono średnice struny w trzech miejscach za pomocą śruby mikrometrycznej.

• Obliczono wartość średnią średnicy struny.

• Ustawiono elektromagnes w odpowiednich miejscach na strunie tak aby uzyskać fale stojące o k równym od 3 do 6. Elektromagnes zawsze musi być zamieszczony w miejscu, w którym znajduje się strzałka fali stojącej. Dla nieparzystych wartości k jast to na środku struny (nieparzysta liczba strzałek, a więc zawsze jedna wypadnie na środku struny), a w przypadku parzystej liczby k jest to w położeniu $\left( 1 - \frac{1}{k} \right)\frac{L}{2}$.

• Wyznaczono siłę naciągu struny.

• Wyliczono gęstość struny dla każdej wartości k.

• Wyliczono wartość średnią gęstości struny.

• Wyliczono odchylenie standardowe gęstości.

• Porównano wynik z wartością tablicową gęstości stali.

1. Pomiary

Długość struny:

L = 1, 20m

Średnice struny w 3 miejscach:

d₁ = 0.00101m

d₂ = 0.00102m

d₃ = 0.00153m

Wartość średnia średnicy struny:

$$\overset{\overline{}}{d} = \frac{d_{1} + d_{2} + d_{3}}{3} = \frac{0.00101m + 0.00102m + 0.00153m}{3} = 0,00119m$$

Częstotliwość:

ν = 100Hz

Masa szalki:

m_s = 0, 21kg

Tabela pomiarów:

k	m0[kg]	F[N]	$$\rho\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$
3	3,1	32,5	4587
4	1,39	15,7	3942
5	0,62	8,1	3195
6	0,27	4,7	2661

1. Przykładowe wyliczenia

Naprężenie struny:

F_k = (m₀+m_s)g

$$F_{3} = \left( 3,1kg + 0,21kg \right) \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} = 3,31kg \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} = 32,5N$$

$$F_{4} = \left( 1,39kg + 0,21kg \right) \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} = 1,60kg \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} = 15,7N$$

$$F_{5} = \left( 0,62kg + 0,21kg \right) \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} = 0,83kg \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} = 8,1N$$

$$F_{6} = \left( 0,27kg + 0,21kg \right) \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} = 0,48kg \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} = 4,7N$$

Gęstość struny:

$$\rho_{k} = \left( \frac{k}{\overset{\overline{}}{d}\text{Lν}} \right)^{2}\frac{F_{k}}{\pi}$$

$$\rho_{3} = \left( \frac{3}{0,00119m \bullet 1,20m \bullet 100Hz} \right)^{2} \bullet \frac{32,5N}{3,14} = 4587\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$\rho_{4} = \left( \frac{4}{0,00119m \bullet 1,20m \bullet 100Hz} \right)^{2} \bullet \frac{15,7N}{3,14} = 3942\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$\rho_{5} = \left( \frac{5}{0,00119m \bullet 1,20m \bullet 100Hz} \right)^{2} \bullet \frac{8,1N}{3,14} = 3195\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$\rho_{6} = \left( \frac{6}{0,00119m \bullet 1,20m \bullet 100Hz} \right)^{2} \bullet \frac{4,7N}{3,14} = 2661\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

Średnia wartość gęstości:

$$\overset{\overline{}}{\rho} = \frac{\rho_{3} + \rho_{4} + \rho_{5} + \rho_{6}}{4} = \frac{4587\frac{\text{kg}}{m^{3}} + 3942\frac{\text{kg}}{m^{3}} + 3195\frac{\text{kg}}{m^{3}} + 2661\frac{\text{kg}}{m^{3}}}{4} = 3596\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

Odchylenie standardowe:

$$S_{\rho} = \sqrt{\frac{n}{n - 1}\left( \overset{\overline{}}{\rho^{2}} - \left( \overset{\overline{}}{\rho} \right)^{2} \right)}$$

$$S_{\rho} = \sqrt{\frac{4}{4 - 1}\left( \frac{\left( 4587\frac{\text{kg}}{m^{3}} \right)^{2} + \left( 3942\frac{\text{kg}}{m^{3}} \right)^{2} + \left( 3195\frac{\text{kg}}{m^{3}} \right)^{2} + \left( 2661\frac{\text{kg}}{m^{3}} \right)^{2}}{4} - \left( 3596\frac{\text{kg}}{m^{3}} \right)^{2} \right)}$$

$$S_{\rho} = 844\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

Zatem podsumowując otrzymana wartość gęstości wynosi:

$$\overset{\overline{}}{\rho} = \left( 3596 \pm 844 \right)\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

Jednak wartość tablicowa stali wynosi:

$$\rho_{\text{tabl}} = 7860\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$