Wydział :

Rok studiów :

Rok akademicki :

SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA

W LABORATORIUM

DRGAŃ MECHANICZNYCH

Temat : Badanie drgań własnych o dwóch stopniach swobody na przykładzie drgań belki wspornikowej z podwieszonym

oscylatorem mechanicznym.

Data wykonania :

Data oddania :

Ocena z kolokwium :

Ocena ostateczna :

Podpis prowadzącego :

Cel ćwiczenia :

Celem ćwiczenia jest porównanie wyników dotyczących wartości amplitud zmierzonych na stanowisku pomiarowym z wartościami amplitud obliczonymi z zależności teoretycznych dla modelu .

Schemat stanowiska pomiarowego :

Gdzie :

L = 78.5 cm

L₁= 68 cm

m = 520 g

Schemat układu zastępczego :

Gdzie :

k₁,k₂ - stałe sprężyn

m_1,m₂ - masy

c₁ = 2g₁m

Warunki początkowe :

t = 0

Tabela pomiarów :

Lp	ti	A1(t)	A2(t)	ΔA
1	52	223	220.6	2.4
2	103	-80	- 79.4	-0.6
3	151	175	176.2	-1.2
4	205	-274	- 272.5	-1.5
5	265	136	135.8	0.2
6	310	-87	-85.6	-1.4
7	361	230	229	1
8	427	-218	-220	2
9	472	73	72.1	0.9
10	520	-161	-160.2	-0.8
11	577	250	248.6	1.4
12	637	-126	-125.3	-0.7
13	685	80	79.9	0.1
14	736	-235	-234.6	-0.4
15	790	203	200.2	2.8
16	841	-73	-74.5	1.5
17	892	151	150.2	0.8
18	943	-238	-237.5	-0.5
19	1004	120	119.4	0.6
20	1051	-85	-84.3	-0.7
21	1105	228	228.6	-0.6
22	1168	-190	-188.6	-1.4
23	1213	59	58	1
24	1261	-153	-152.6	-0.4
25	1318	235	234.3	0.7
26	1375	-112	-111.6	-0.4
27	1423	74	75.2	-1.2
28	1477	-207	-207.5	0.5
29	1534	187	186.3	0.7
30	1585	-53	-53.2	0.2
31	1630	146	145.9	0.1
32	1693	-227	-228	1
33	1744	111	111.6	-0.6
34	1792	-73	-72.5	-0.5
35	1843	211	210.3	0.7
36	1909	-178	-179.2	1.2
37	1951	48	47.2	0.8
38	2005	-141	-140.6	-0.4
39	2059	222	221.1	0.9
40	2109	-83	-82.6	-0.4

Równania drgań układu o n - stopniach swobody układamy korzystając z równania Lagrange'a drugiego rodzaju.

gdzie L= Ek - Ep

- masa zredukowana dla L1=680 mm

m1= 0.56 kg

- współczynnik sprężystości dla L1=680 mm

k1=1.76 kg/s2

- masa elementu drgającego na sprężynie

m2=0.52 kg

- współczynnik tłumienia przyjmujemy równy 0

- stała sprężyny ks=437 94 kg/s2

Dla dwóch stopni swobody otrzymujemy równania

a11q1 + c11q1 + k11q1 + a12q2 + c12q2 + k12q2 = 0

a21q1 + c21q1 + k21q1 + a22q2 + c22q2 + k22q2 = 0

Współczynniki:

a11=m1 , a21=a12=0 , k11=k1+k2 , k22=k2

c11=c1 + c2 , c2=0 , c22=c2=0 , c21=c12=0

m1q1 + c1q1 + (k1+k2)q1 - k2q2 = 0

m2q2 + k2q2 - k2q1 = 0

(m1r2 + rc1)A1ert + (k1 + k2)A1ert - k2A2ert = 0

(m2r2 + k2)A2ert - k2A1ert = 0

(m1r2 + rc1+ k)A1 - k2A2 = 0

-k2A1 + A2(m2r2 + k2) = 0

Obliczamy wyznacznik z ostatniego układu równań i otrzymujemy:

r4 + Ar3 + Br2 + Cr + D =0

Brak pierwiastków rzeczywistych , spowodowane jest to małym tłumieniem , rozwiązanie istnieje w zakresie liczb zespolonych. Poszukiwanie pierwiastków wykonuje się metodą Newtona.

f(r)= r4 + Ar3 + Br2 + Cr + D

I przyblirzenie wartości pierwiastków otrzymujemy rozpisując w szereg Taylora.

f(r)=f(ri) + f(ri)(r-ri) + 1/2φ"(ri)(r-ri)2+..=0

A=C=0

r4 + Br2 + D = 0

z=r2

z2 + Bz + D = 0

z2 + 1938.51z + 872714.04 = 0

Δ=516.7

z1=-1227.6-- r1=+/- 35.04i Ω1=35.04

z2=-710.9 r2=+/- 26.66i Ω2=26.66

f(ri)=Ari2 + Cri

f'(ri)=4r3 + 3Ari2 + 2Bri + C

f"(ri)=12ri2 + 6Ari + 2B

dla ri= 3504.i

f'(ri)=-36237.9i-1817.1

f"(ri)=-10856.6 + 134i

dla r2= 26.66i

f'(ri)=-824.4 + 27566.4i

f"(r2)=-4652.04 + 102.4i

Wartości obliczone do równania 1

r1=-0.25001 + 13.4i

r2=-0.3576 + 28.31i

Do wyliczenia wartości r1 i r2 posługujemy się programem DERIVE Wartości wyliczamy cząstkowo, gdyż obliczając je bezpośrednio z równania nie znajdujemy rozwiązania.

Rozwiązaniem równania są:

r1=-0.025 +38.7356i

r3=-0.3576 + 28.3127i

r2=-0.25 - 38 7356i

r4=-0.3576 - 28.3127

Ostatecznie otrzymujemy

q1(t)= A11ert + A13ert + A13ert + A14ert

q2(t)= A21ert + A22ert + A23ert + A24ert

Obliczane aji. Przyjmujemy za wartość niezależną wtedy

Aei=Azi*Dji/Azi

Ogólnie możemy zapisać:

A11=A21(αi + βi)

q1(t)=A21(α1 - β1i)e(-φ2 + pi)t + A22(α1 + β1i)e(φ2 - p3)t +

+ A23(α2 - β3i)e(-φ2 + Pi)t + A(α2 + β2i)e(-φ2-pi)

q2(t)=A21e(-φ1 - p1i)t + A22e(-φ1 -p1i)t +A23e(-φ2 + p2i)t +

+ A24e(-φ2 - p2i)t + e(-φ +/- β)t = e-5a(cospα +/- isinpt)

Podstawiając

C1=(A21 + A22)

D1=(A31 - A22)

C2=(A23 + A24)

D2=(A23 + A24)

tgφ=α2C2 - β2C2/α2C2 + β2C2 = e-q1tβ1sin(p1t + ψ1) +

+ e-q2tβ2sin(p2t + ψ2)

Zatem rozwiązaniem równania są wartości:

q2(t)=e-q1tA1sin(p1t + ψ1) + e-q2tA2sin(p2t + ψ2)

q1(t)=B(t)sin(p1t + δ1)

q0(t)=A(t)sin(p1t + δ2)

dla wzoru początkowego t=0 δ1(0)= δ2(0)=5 mm otrzymamy:

1. q1(0)= α1C1 - β1D1 + α2C2 - β1D2= ζ

2. q1'(0)=- δ(α1C1 - β1D1) + D1(β1C1+ α1D1) -δ2(α2C4 - β2D2) + δ2(β2C2 + α2D2)

3. q2(0)=C1 + C2

4. q2'(0)= -δ1C1 + δ1D1 - δ2C2 + δ2D2= 0

Po podstawieniu do odpowiednich wzorów otrzymujemy następujące wyniki:

C2=-1.275ζ C1=ζ - 1.275ζ = - 0.275ζ

D2=-0.096ζ D1=2.83ζ

A1=2.84ζ A2=1.635ζ

tgφ1=-0.097 tgφ2=13.144

φ1=-5.54' φ2=85.65'

β1=5.51ζ β2=4.379ζ

tgψ1=-0.85.98' tgψ2=84.634'

Dysponując tymi danymi obliczamy A(t)

Po podstawieniu do wzorów otrzymujemy następujące teoretyczne wartości amplitud dla φ (t) ( pierwszych pięć obliczonych wartości , pozostałe przedstawione zostały w powyrzszej tabeli )

t1=52 φ (t1)= 220.6

t2=103 φ (t2)= - 79.4

t3=151 φ (t3)= 176.2

t4=205 φ (t4)= - 272.5

t5=265 φ (t5)= 135.8

WNIOSKI

Wartości teoretycznie są porównywalne z rzeczywistymi. Niektóre odchyłki są nieznaczne a niektóre wyraźne. Wynika to z wyliczenia wartości teoretycznych, któte w toku obliczeń były zaokrąglone i z tego , iż wszystkie obliczenia były wykonywane ręcznie . Mimo tego przebieg tych funkcji jest podobny.

L

L₁

m

k₁

k₂

m₁

m₂

c₁

g₁ (t)

g₂ (t)

---