Kąt	Sin	Cos
0	0	1
∏/6	1/2	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
∏/4	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$
∏/3	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	1/2
∏/2	1	0

Iloczyn skalarny: aᵒb=abcosa=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z

Iloczyn wektorowy: a x b= absina=$\left| \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ \end{matrix} \right|$=(a_yb_z-a_zb_y)i^-+(a_zb_x-a_xb_z)j^-+(a_xb_y-a_yb_x)k^-

gradℵ=pochodna wersorów divf= wartości albo pochodne dodajemy.

Prędkość $\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}$ kątowa: $\overrightarrow{\omega} = \frac{d\overrightarrow{\varphi}}{\text{dt}}$ ω = v/r

Przyśpieszenie: $\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}}$ $\overrightarrow{v} = \frac{d^{2}\overrightarrow{r}}{dt^{2}}$ kątowe: a=$\sqrt{a_{s}^{2} + a_{n}^{2}}$ $\overrightarrow{a_{s}} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}}$ $\overrightarrow{a_{n}} = \frac{{\overrightarrow{v}}^{2}}{r}$=rw²

Siła: F=ma Śr. Masy: r_s=$\frac{\sum_{r = 1}^{m}{m_{i}r_{i}}}{\sum_{}^{}m_{i}}$ r_s=$\frac{\int_{}^{}\text{rqdv}}{\sum_{}^{}m_{i}}$ Q żelaza=7874kg/m³ Pow. Koła: 4/3∏r³

Praca: W=FScosa [J=N/m] Siła sprężystości: F=xk Ek=mv²/2 Ek=Jw²/2 Ep=mgh

Moment bezw: J=mr²

Zad1 z wierzchołka wyrzucono poziomo ciało:a²=a_n²+a_s² x=v_ot y=-gt²//2 v=$\sqrt{V_{0}^{2} + v_{y}^{2}}$ a=$\sqrt{a_{s}^{2} + a_{n}^{2}}$ a_n=$\frac{gv_{0}}{\sqrt{v_{0}^{2} + g^{2}t^{2}}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$a_s=$\frac{g^{2}t}{\sqrt{v_{0}^{2} + g^{2}t^{2}}}$

Zad2Ciało porusza się jedn. Zmiennym. W piątej s pok drogę 45m. Jaka jest V5=? Jaką drogę pok w czasie pierwszej s. r=∫vdt ∫dv = ∫adt → v=a∫dt = at pods

V=∫atdt S=r=a $\frac{t^{2}}{2}$ dajemy całkę oznaczoną: S=r=a$\left\lbrack \frac{t^{2}}{2} \right\rbrack_{4}^{5}$ 45=9/2 a a=10m/s²

Zad3elektron por. się z a wzr. Lin. a=kt gdzie k=1,5ms^-3. Znaleść v(t) v₅=? X(t) poł po 5s.: v(t)=dv^-/dt=a dv-/dt=kt $\int_{}^{}\frac{\text{dv}^{\rightarrow}}{\text{dt}} =$V_x(t)=1/2 kt² podst i mamy V₅=18,25m/s

X=at²/2 x=kt³/2 x(t)=dx/dt=d/dt(kt³/2) x(t)=1/6kt³ pods i mamy x=31,25m

Zad4równia: klocek m=100kg u=0,5 a=30⁰ jaką siłą należy działać aby był r.jednostajny.

a)w dół: T-↗ F2↙ fx↙ Fr-prostopadle w drugą Fn. Fc- w dół

T=F_n*u F_n=mgcosa F₂=mgsina Fx+F2=T Fx=T-F2 Fx=mgucosa-mgsina

b)w górę: T=F_n*u Fx=mgsina+umgcosa

Zad5nitka: kulka o masie=m na nitce dł=l. Porusza się po promieniu=r.

l²=R²+x² x=$\sqrt{l^{2 -}R^{2}}$ cosa=x/l=$\sqrt{l^{2 -}R^{2}}$ //l R=lsina

Inercjalny: Fn↗ Fc↓ Fd→ Nieinercjalny: Fn↗ Fw↙ Fc↓ Fod←

Prędkość: a_d=v²/R F_d=mv²/R tga=Fd/Fc=v²/gR

v=$\sqrt{\text{gRtga}} = \sqrt{\text{gR}\frac{\text{sina}}{\text{cosa}}} = \sqrt{\frac{\text{gRR}}{\text{lcosa}}} = R\sqrt{\frac{g}{\sqrt{l^{2} - r^{2}}}}$

Okres: T=? gdzieS=VT S=2∏R t=T v-wyliczone wyżej. V=2∏R/T T=2∏R/V=$\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{\sqrt{l^{2} - r^{2}}}}}$

Naprężenie nitki: cosa=Fc/Fn=mg/Fn cosa=$\sqrt{l^{2 -}R^{2}}$ //l porównujemy i mamy

Fn=mgl//$\sqrt{l^{2 -}R^{2}}$

Zad6łódka: człowiek z końca łódki przechodzi na drugi. Ile przesunie się łódka: dł ł.=2a Fc=mg więc m₁=G/g m₂=P/g P-ciężar łódki G-ciężar człowieka. Na 1rys od P do G odl.a na 2rys na lewo wych. d. Xs=const $\frac{\frac{G}{g}*0 + \frac{P}{g}*a}{\frac{G + P}{g}} = \frac{\frac{G}{g}\left( 2a - d \right) + \frac{P}{g}(a - d)}{\frac{G + P}{g}}$ → d=2aG//P+G

Zad7)równia: Jaką W wykona pociąg na drodze S=100m jadący z przyśp a=1,5m/s² po drodze o nach 30⁰. Masa pociągu=120ton. U=0,05. G=10m/s²: T=mgucosa (F_wyp=ma) F_zsów=mgsina w przeciwną F1. F1=F_wyp+T+F_zsów F1=ma+mgucos30+mgsin30 W=F1*S

Zad8)Sprężyna zderzakowa: Jaką W należy wyk, aby ścisnąć sprężynę o Xo=5cm jeżeli do ściśnięcia o 1cm potrzeba F1=30000N. Siła ściskająca jest proporcjonalna do skrócenia sprężyny: F=xk k=F1/x1=3*10⁶N/m ∫dW = ∫Fdx   W = ∫kxdx

W=k∫₀^Xoxdx W=k[x²/2]I^Xo₀ W=kx²/2-kO²/2=kx²/2=3,5*10³J

Zad9sześcian pływa w H2O: a=0,2m q=800kg/m³. Q_w=1000kg/m³.Oblicz W jaką nal. Wyk., aby zanurzyć sześcian.: F=ma F_c=mg F_w=m_wg m=a³q m_w=q_wa²h F_c=F_w h=qa/q_w

h=0,16m. Fwyp=∫Fwyp * dx F_wyp=F_w-F_c=q_wa²yg-qa³g W=∫[a²g(q_wy-qa)]dy =1/2a⁴g[(q_w-q)/q_w]=0,31J

Zad10Pręt:m l zawieszony na osi poziomej przech przez koniec pręta. Jaką V będzie miał 2koniec w najniższym poł jeśli puścimy go z najwyższego.:

A)Energie dm=qsdx dm=m/l *dx dEp=mgh dEp=dmgx dEp=m/l* dxgx E_pmax=mg/l∫_o^lxdx  E_pmax=mg/l*[x²/2]^l_o Epmax=1/2mgl Epmin=-1/2mgl

B)Prędkość: E_c1=E_c2 1/2mgl=Jw²/2 J=∫x²dm (z boku: q=m/Sl dm=m/l *dx) J=$\int_{o}^{l}{x^{2}\frac{m}{l}\text{dx}}$=m/l∫_o^lx²dx J=m/l[x³/3]^l_o J=m/l(l³/3)=1/3ml² (w=v/r) podstawiamy i m.:

½*mgl=-1/2*mgl+ 1/3ml²(v/r)²/2 → v=$\sqrt{6gl}$

C)Fwyp=? F_wyp=F_c+F_od Fc=mg F_od=? F_0d=mv²/r v=wr F_od=mw²r Elementarna siłą dośrodkowa: dF_o=dmw²x F₀=w²$\int_{}^{}{x\frac{m}{l}\text{dx}}$ F₀=$\frac{m}{l}\frac{v^{2}}{l^{2}}\frac{x^{2}}{2}$I^l_o F_o=mv²/2l=m6gl/2l=3mg

F_wyp=mg+3mg=4mg

Zad11Na brzegu tarczy:o M₁=200kg i R=3m wirującej z f₁=0,5Hz stoi człowiek M₂=60kg. Jaka będzie f₂ jeśli człowiek przejdzie na środek. Jaką pracę przy tym wykona.

$\overrightarrow{p} = m*\overrightarrow{v}$ $\overrightarrow{L} = J\overrightarrow{w}$ L=const W=2∏/T W=2∏f I_c=mR² I_t=1/2mR²

(J_t1+J_C1)2∏f₁=(J_t2+J_C2)2∏f₂ f₂=(1/2m₁+m₂)f₁//1/2m₁ =0,8Hz

W=∆Ek=J₂W₂²//2 -J₁W₁₂//2

Zad12Obl.mom.bezwł pręta: o S i L gdy gęstość Q(x)=q_ox Oś obrotu jest prostopadle do pręta i przech przez koniec o mniejszej gęstości: J=∫r²dm dm=q(x)Dv dV=Sdx

dm=q(x)Sdx=q_oSxdx J=∫₀^lx²q_oSxdx=1/4q_oSl⁴