Akademia Górniczo – Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie
Ćwiczenie nr 3: Pomiar współczynnika oporu liniowego
Mechanika Płynów, ćwiczenia laboratoryjne Prowadzący: dr inż. K. Filek
Wykonali: Paweł Sobczak Michał Kondek Marcin Bałut Tomasz Zwardoń
Wydział Górnictwa i Geoinżynierii kierunek: Ochrona Środowiska studia zaoczne, rok II, semestr III, grupa 2D
Data wykonania ćwiczenia: 3 listopad 2012 r.

SPIS TREŚCI

SPIS TREŚCI 2

1. Wstęp teoretyczny i opis ćwiczenia. 3

1.1. Wstęp teoretyczny. 3

1.2. Opis ćwiczenia. 4

2. Schemat stanowiska. 4

3. Wzory obliczeniowe. 5

4. Przykładowe obliczenia. 6

4.1. Obliczenie średniej prędkość przepływu powietrza w przewodzie. 6

4.2. Obliczenie współczynnika oporu liniowego λ. 6

4.3. Obliczenie wartość liczby Reynoldsa. 6

5. Tabele i wyniki pomiarów. 7

5.1. Wyniki pomiarów i obliczeń dla rury żółtej, D=12mm: 7

5.2. Wyniki pomiarów i obliczeń dla rury zielonej, D=24mm: 7

6. Wykres zależności współczynnika oporu liniowego od liczby Reynoldsa. 8

7. Wnioski. 9

8. Protokół pomiarów. 9

Wstęp teoretyczny i opis ćwiczenia.

Wstęp teoretyczny.

Wysokość liniowych strat energii przy przepływie zależna jest od szeregu czynników, przede wszystkim od rodzaju przepływającej cieczy, prędkości jej przepływu, rodzaju ruchu panującego w przewodzie (ruch laminarny lub turbulentny), geometrii przewodu (długości przewodu, kształtu i wymiarów przekroju poprzecznego) oraz chropowatości wewnętrznej powierzchni rury. Najczęściej stosowanym wzorem umożliwiającym określenie wysokości strat energii w przewodzie kołowym o stałej średnicy D i długości L jest formuła Darcy’ego-Weisbacha:

$$p = \lambda \bullet \frac{L}{D} \bullet \frac{\rho{\bullet v}_{sr}}{2}.$$

w której: v_śr jest średnią prędkością przepływu strumienia [m/s], ρ – gęstością czynnika przepływającego przez przewód (w naszym przypadku jest to powietrze) [kg/m³], a λ bezwymiarowym współczynnikiem oporów liniowych uwzględniającym wpływ pozostałych czynników na wysokość strat energii. Warto podkreślić, że wzór Darcy’ego-Weisbacha nie jest jedynym wzorem, jaki określa opory na długości, jednakże w przypadku przepływu cieczy pod ciśnieniem jest niewątpliwie jednym z najczęściej stosowanych.

Podstawowym problemem związanym z wyznaczeniem wysokości strat liniowych jest poprawne określenie wartości współczynnika oporów liniowych λ, który – jak już wspomniano – uwzględnia wpływ rodzaju ruchu i chropowatości materiału przewodu na wysokość strat energii. Współczynnik oporów liniowych λ jest funkcją dwóch wielkości – liczby Reynoldsa i chropowatości względnej (która przedmiotem ćwiczenia nie była). Pierwsze badania dotyczące stateczności przepływów przeprowadził Reynolds, wprowadził on podział przypływów na dwa zasadnicze rodzaje: przepływ laminarny (uwarstwiony) i przepływ turbulentny (burzliwy). Przejście od ruchu laminarnego do turbulentnego w przewodzie kołowym jest możliwe dla warunków, w których wartość liczby Reynoldsa zawiera się w granicach: 2300 < Re < 50000. Wartość Re=50000 nazywamy górną krytyczną wartością liczby Reynoldsa i powyżej której nie udało się dotychczas zaobserwować przypływu laminarnego. Natomiast Re=2300, nazywamy dolną krytyczną warnością liczby Reynoldsa i poniżej której występuje tylko przypływ laminarny. W praktyce inżynierskiej przyjmuje się, że powyżej Re=2300, przypływ nie jest laminarny. Wartość liczby Re jest wartością bezwymiarową i obliczamy ją korzystając ze wzoru:

$$\text{Re} = \frac{v_{sr} \bullet D}{\nu}$$

Opis ćwiczenia.

Badaniom należy poddać dwie wykonane z różnych materiałów rury o różnych średnicach: rura żółta o średnicy D=12 mm, rura zielona o średnicy 48 mm, przy różnych natężeniach przepływu powietrza (11 wartości natężeń). Podczas przepływu powietrza należy bezpośrednio zmierzyć:

1. Za pomocą manometru różnicowego typu U-rurka, liniową stratę ciśnienia (∆p) w badanym przewodzie – przy badaniu rury żółtej. W przypadku rury zielonej pomiar dokonywany jest za pomocą manometru elektronicznego.

2. Za pomocą manometru elektronicznego ciśnienia dynamicznego (p_d) w osi przewodu z zainstalowaną sondą Prandtla – w obu przypadkach.

Celem ćwiczenia było wyznaczenie średniej prędkości przepływu powietrza przez przewody i wyznaczenie współczynnika oporu liniowego λ oraz określenie liczby Reynoldsa (Re) dla wszystkich wartości natężenia przepływu. Na podstawie danych obliczeniowych należało sporządzić wykres funkcji f=λ(Re), zależności współczynnika oporu liniowego od liczby Reynoldsa

Schemat stanowiska.

Wzory obliczeniowe.

Współczynnik oporu liniowego λ (bezwymiarowy) obliczamy korzystając z równania Darcy’ego-Weisbacha:

$$p = \lambda \bullet \frac{L}{D} \bullet \frac{\rho{\bullet v}_{sr}}{2}\overset{\Rightarrow}{}\lambda = \frac{2 \bullet D \bullet p}{L \bullet \rho{\bullet v}_{sr}^{2}},$$

gdzie:

D – średnica badanego przewodu, [m],

∆p – liniowa strata ciśnienia na długości badanego przewodu, [Pa],

L – długość odcinka pomiarowego badanego przewodu, [m],

ρ – gęstość powietrza, [kg/m³],

v_śr – średnia prędkość przepływu powietrza w badanym przewodzie, [m/s].

Średnią prędkość przepływu powietrza w przewodzie obliczamy ze wzoru:

$$v_{sr} = 0,8 \bullet \left( \frac{D_{p}}{D} \right)^{2} \bullet \sqrt{\frac{2 \bullet p_{d}}{\rho}},\lbrack m/s\rbrack,$$

gdzie:

D_p – średnica przewodu w miejscu zainstalowanej sondy Prandtla, [m],

p_d – wartość ciśnienia dynamicznego, [Pa].

Wartość liczby Reynoldsa wyznaczamy ze wzoru:

$$Re = \frac{v_{sr} \bullet D}{\nu},$$

gdzie:

ν – wartość kinematycznego współczynnika lepkości powietrza, [m²/s].

Różnicę ciśnienia mierzone za pomocą manometru cieczowego typu U-rurka należy obliczyć korzystając ze wzoru:

p = |h₁−h₂|ρ_c • g,  [Pa],

gdzie:

h₁, h₂ – wysokość słupków cieczy manometrycznej w ramionach U-rurki, [m],

ρ_c – gęstość cieczy manometrycznej U-rurki, [kg/m³],

g – przyspieszenie ziemskie, [m/s²].

Ponadto w obliczeniach wykorzystano wartości stałe:

• gęstość powietrza, ρ=1,2 [kg/m³],

• gęstość cieczy manometrycznej, ρ_c=800 [kg/m³],

• kinematyczny współczynnik lepkości powietrza, ν=1,6⋅10^-5 [m²/s],

• średnica przewodu w miejscu zainstalowania sondy Prandtla, D_p=24mm,

• długość odcinak pomiarowego badanego przewodu, L=1,5 [m],

• przyśpieszenie ziemskie, g=9,81 [m/s²].

Przykładowe obliczenia.

Przykładowe obliczenia wykonano dla rury żółtej, pomiaru nr 1:

Obliczenie średniej prędkość przepływu powietrza w przewodzie.

$$v_{sr} = 0,8 \bullet \left( \frac{D_{p}}{D} \right)^{2} \bullet \sqrt{\frac{2 \bullet p_{d}}{\rho}} = 0,8 \bullet \left( \frac{0,024}{0,012} \right)^{2} \bullet \sqrt{\frac{2 \bullet 105,0}{1,2}} = 0,8 \bullet 4 \bullet \sqrt{175} = 42,332.$$

Uzgodnienie jednostek:

$$v_{sr} = 0,8 \bullet \left( \frac{D_{p}}{D} \right)^{2} \bullet \sqrt{\frac{2 \bullet p_{d}}{\rho}} = \left( \frac{m}{m} \right)^{2} \bullet \sqrt{\frac{\text{Pa}}{\frac{\text{kg}}{m^{3}}}} = \sqrt{\frac{\frac{N}{m^{2}}}{\frac{\text{kg}}{m^{3}}}} = \sqrt{\frac{\frac{\text{kg} \bullet m}{s^{2}}}{m^{2}} \bullet \frac{m^{3}}{\text{kg}}} = \sqrt{\frac{m^{2}}{s^{2}}} = \frac{m}{s}.$$

Obliczenie współczynnika oporu liniowego λ.

Do obliczenia współczynnika oporu liniowego należy w pierwszej kolejności wyznaczyć wartość liniowej straty ciśnienia:

p = |h₁−h₂|ρ_c • g = |0,350−0,043| • 800 • 9, 81 = 2409, 3.

Uzgodnienie jednostek:

$$p = \left| h_{1} - h_{2} \right|\rho_{c} \bullet g = m \bullet \frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet \frac{m}{s^{2}} = \frac{kg \bullet m}{s^{2}} \bullet \frac{1}{m^{2}} = Pa.$$

Wyznaczenie współczynnika oporu liniowego λ:

$$\lambda = \frac{2 \bullet D \bullet p}{L \bullet \rho{\bullet v}_{sr}^{2}} = \frac{2 \bullet 0,012 \bullet 2409,3}{1,5 \bullet 1,2 \bullet {42,332}^{2}} = \frac{57,82}{3225,597} = 0,01793.$$

Uzgodnienie jednostek:

$$\lambda = \frac{2 \bullet D \bullet p}{L \bullet \rho{\bullet v}_{sr}^{2}} = \frac{m \bullet \text{Pa}}{m \bullet \frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet \left( \frac{m}{s} \right)^{2}} = \frac{m \bullet \frac{N}{m^{2}}}{\frac{\text{kg}}{m^{2}} \bullet \frac{m^{2}}{s^{2}}} = \frac{\frac{\text{kg} \bullet m}{s^{2}} \bullet \frac{1}{m}}{\frac{\text{kg}}{s^{2}}} = \frac{\text{kg}}{s^{2}} \bullet \frac{s^{2}}{\text{kg}}.$$

Obliczenie wartość liczby Reynoldsa.

$$Re = \frac{v_{sr} \bullet D}{\nu} = \frac{42,332 \bullet 0,012}{{1,610}^{- 5}} = 31749.$$

Uzgodnienie jednostek:

$$Re = \frac{v_{sr} \bullet D}{\nu} = \frac{\frac{m}{s} \bullet m}{\frac{m^{2}}{s}} = \frac{m^{2}}{s} \bullet \frac{s}{m^{2}}.$$

Tabele i wyniki pomiarów.

Wyniki pomiarów i obliczeń dla rury żółtej, D=12mm:

L.p.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
pd [Pa]	105,0	95,0	82,0	73,0	61,0	51,0	41,0	34,0	24,0	18,0	12,0
h1-h2 [m]	0,307	0,272	0,242	0,212	0,177	0,152	0,125	0,103	0,080	0,060	0,043
∆p [Pa]	2409,3	2134,7	1899,2	1663,8	1389,1	1192,9	981,0	808,3	627,8	470,9	337,5
L.p.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
vśr [m/s]	42,332	40,266	37,409	35,297	32,266	29,503	26,452	24,089	20,239	17,527	14,311
λ(12)	0,01793	0,01755	0,01809	0,01781	0,01779	0,01827	0,01869	0,01857	0,02044	0,02044	0,02197
Re(12)	31749,0	30199,3	28057,1	26472,6	24199,2	22126,9	19839,4	18066,5	15178,9	13145,3	10733,1

Wyniki pomiarów i obliczeń dla rury zielonej, D=24mm:

L.p.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
pd [Pa]	1000,0	923,0	824,0	705,0	594,0	484,0	384,0	304,0	221,0	151,0	90,0
∆p [Pa]	115,0	107,0	97,0	85,0	72,0	61,0	50,0	40,0	31,0	21,0	15,0
L.p.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
vśr [m/s]	8,16	7,84	7,41	6,86	6,29	5,68	5,06	4,50	3,84	3,17	2,45
λ(24)	0,092	0,09274	0,09417	0,09645	0,09697	0,10083	0,10417	0,10526	0,11222	0,11126	0,13333
Re(24)	24494,9	23533,0	22235,1	20567,0	18878,6	17041,1	15178,9	13505,6	11515,2	9518,4	7348,5

Wykres zależności współczynnika oporu liniowego od liczby Reynoldsa.

Wnioski.

Na podstawie wykresu można stwierdzić, że wartość współczynnika oporu liniowego jest zależna od wartości λ średnicy przewodu (jego wymiarów). Dla mniejszej średnicy, wartość współczynnika jest proporcjonalnie mniejsza.

Pomiary był wykonywane przy bardzo zbliżonych wartościach prędkości obrotowych silnika wentylatora (dla obu przypadku przewodów). Bez względu na średnicę rurociągu, wraz ze spadkiem prędkości obrotowej wirnika (spadkiem średniej prędkości czynnika w rurociągu) wartość współczynnika lepkości rośnie – wartość współczynnika lepkości jest odwrotnie proporcjonalna do średniej prędkości czynnika.

Wynika z tego, że wielkość średnicy rurociągu ma zdecydowany wpływ na wartość współczynnika oporu liniowego.

Protokół pomiarów.