Akademia Górniczo – Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie
Ćwiczenie nr 8: Pomiar współczynnika lepkości powietrza
Mechanika Płynów, ćwiczenia laboratoryjne Prowadzący: dr inż. K. Filek
Wykonali: Paweł Sobczak Michał Kondek Marcin Bałut Tomasz Zwardoń
Wydział Górnictwa i Geoinżynierii kierunek: Ochrona Środowiska studia zaoczne, rok II, semestr III, grupa 2D
Data wykonania ćwiczenia: 3 listopad 2012 r.

SPIS TREŚCI

SPIS TREŚCI 2

1. Wstęp teoretyczny i opis ćwiczenia. 3

1.1. Wstęp teoretyczny. 3

1.2. Opis ćwiczenia. 4

2. Schemat stanowiska. 4

3. Wzory obliczeniowe. 5

4. Przykładowe obliczenia. 6

4.1. Obliczenie dynamicznego współczynnika lepkości powietrza: 6

4.2. Obliczenie średniej prędkość przepływu powietrza: 6

4.3. Obliczenie wartości kinematycznego współczynnika lepkości powietrza: 6

4.4. Obliczenie liczby Reynoldsa 6

5. Tabele i wyniki pomiarów, wyniki rachunku błędu. 7

6. Rachunek błędu. 7

7. Wnioski. 7

8. Protokół pomiarów. 8

Wstęp teoretyczny i opis ćwiczenia.

Wstęp teoretyczny.

Lepkość jest właściwością materii we wszystkich stanach skupienia, związaną z oddziaływaniami międzycząsteczkowymi. Lepkością albo tarciem wewnętrznym nazywa się opór, jaki występuje podczas ruchu jednych części (warstw) ośrodka względem innych. W przypadku laminarnego przepływu cieczy w rurce o promieniu R wszystkie jej warstwy poruszają się w kierunkach równoległych, przy czym każda warstwa oddalona o wartość r od osi rurki ma inną prędkość v(r). Największą prędkość ma warstwa cieczy poruszająca się wzdłuż osi rurki (r=0), a w miarę zbliżania się do ścian rurki prędkość ruchu warstw cieczy maleje, aby na jej brzegu osiągnąć wartość v(r=R)=0. Gradient prędkości dυ/dr odpowiada zmianie prędkości cieczy dυ pomiędzy warstwami oddalonymi o nieskończenie małą odległość dr.

Zgodnie z prawem Newtona, siła styczna F potrzebna do nadania ruchu cieczy o współczynniku lepkości η gradientu prędkości dυ/dr na powierzchni A równoległej do kierunku przepływu wynosi:

$$F = \bullet A \bullet \frac{\text{dυ}}{\text{dr}}.$$

Jednostką współczynnika lepkości dynamicznej zwanego lepkością bezwzględną η w układzie SI jest N⋅s/m² = kg/m⋅s. W układzie CGS jednostką lepkości jest puaz, P=g/cm⋅s, 1P = 10^-1 N⋅s/m².

Znane są liczne metody wyznaczania lepkości cieczy. Do najczęściej stosowanych należą: metody oparte na pomiarze szybkości przepływu cieczy przez rurkę kapilarną oraz metody oparte na pomiarze szybkości opadania kulki w badanej cieczy.

Działanie wiskozymetrów kapilarnych opiera się na równaniu Hagen’a - Poiseuille’a, zgodnie, z którym objętość cieczy V przepływająca w czasie t przez kapilarę o średnicy D i długości L pod wpływem różnicy ciśnień Δp wynosi:

$$Q = \frac{\pi \bullet p \bullet D^{4}}{128 \bullet \mu \bullet L}.$$

Zakłada się przy tym, że badana ciecz jest nieściśliwa, przepływ jest laminarny, warstwa poruszająca się w osi kapilary ma prędkość największą, prędkość pozostałych warstw kapilary zmienia się malejąco do zera (dla warstwy przylegającej bezpośrednio do ścianki), poszczególne warstwy poruszają się ruchem jednostajnym, przepływ cieczy następuje na skutek istnienia różnicy ciśnień na obu końcach kapilary.

Liczba Reynolds’a określa w sposób jednoznaczny charakter przepływu wiążąc ze sobą wielkości gęstości, lepkości, prędkości przepływu i rozmiaru rury. Liczbę Reynoldsa można opisać, jako stosunek sił bezwładności do sił tarcia przepływającego medium. Dowolny stan przepływu czynnika jest zawsze jednoznacznie określony przez tę liczbę. Mała jej wartość oznacza przewagę sił lepkości nad siłami bezwładności, duża zaś przewagę sił bezwładności. Należy przyjmować, że dla Re<2300 mamy do czynienia z przepływem laminarnym, a dla Re>3000 z przepływem turbulentnym (burzliwym).

Opis ćwiczenia.

Ćwiczenie polega na pomiarze dynamicznego współczynnika lepkości powietrza. Pomiar należy wykonać 10-cio krotnie, a następnie dokonać analizy statystycznej wyników pomiarów: średnia wartość arytmetyczna, odchylenie standardowe z próby, przedział ufności dla wartości średniej.

Pomiar przeprowadzany jest podczas laminarnego przepływu powietrza przez szklaną rurkę, gdzie przepływ powietrza wywołany jest za pomocą aspiratora wodnego.

Przed pomiarem należy wyzerować manometr. Pojedynczy pomiar wykonany był następująco: pod wylot zaworu wody z aspiratora ustawiamy pusty pojemnik na wodę i odkręcamy zawór (na od 5 do 10 sekund), mierząc jednocześnie czas stoperem wypływu wody. Podczas wypływu wody odczytać wskazanie manometru. Następnie zmierzona została (za pomocą cylindra miarowego) objętość wody, która wypłynęła do pojemnika.

Celem ćwiczenia było określenie charakteru przepływu dla każdego przepływu poprzez określenie liczby Reynoldsa dla tych przepływów oraz wyznaczenie współczynnik lepkości powietrza. Ponadto należało dokonać analizy statystycznej wyników.

Schemat stanowiska.

Wzory obliczeniowe.

Dynamiczny współczynnik lepkości powietrza wyliczamy korzystając ze wzoru:

$$\mu = \frac{\pi \bullet p{\bullet D}^{4} \bullet t}{128 \bullet V \bullet L},\lbrack Pa \bullet s\rbrack,$$

gdzie:

∆p – straty ciśnienia na długości badanego przewodu [Pa],

V – objętość powietrza, która przepłynęła w czasie t przez badany przewód, za objętość tą przyjmujemy objętość wody wypływającej z aspiratora, [m³],

t – czas, w którym objętość wody V wypłynęła z aspiratora, [s],

D – średnica badanego przewodu, [m],

L – długość odcinka pomiarowego badanego przewodu, [m],

Wartość liczby Reynoldsa wyznaczamy ze wzoru:

$$Re = \frac{v_{sr} \bullet D}{\nu}$$

gdzie:

D – średnica badanego przewodu, [m],

ν – wartość kinematycznego współczynnika lepkości powietrza, [m²/s],

v_śr – średnia prędkość przepływu powietrza w badanym przewodzie, [m/s].

Wartość kinematycznego współczynnika lepkości powietrza obliczamy ze wzoru:

$$\nu = \frac{\mu}{\rho},\lbrack m^{2}/s\rbrack,$$

μ – dynamiczny współczynnik lepkości powietrza, [Pa s]

ρ – gęstość powietrza, [kg/cm³],

Średnią prędkość przepływu obliczamy ze wzoru:

$$v_{sr} = \frac{\frac{V}{t}}{\pi \bullet \left( \frac{D}{2} \right)^{2}},\lbrack m/s\rbrack,$$

gdzie:

V – objętość powietrza, która przepłynęła w czasie t przez badany przewód, za objętość tą przyjmujemy objętość wody wypływającej z aspiratora, [m³],

t – czas, w którym objętość wody V wypłynęła z aspiratora, [s],

D – średnica badanego przewodu, [m],

Ponadto w obliczeniach wykorzystano wartości stałe:

• gęstość powietrza, ρ=1,2 [kg/m³],

• długość odcinak pomiarowego badanego przewodu, L=1 [m],

• średnica odcinak pomiarowego badanego przewodu, D=0,0031 [m].

Przykładowe obliczenia.

Przykładowe obliczenia wykonano pomiaru nr 1:

Obliczenie dynamicznego współczynnika lepkości powietrza:

$$\mu = \frac{\pi \bullet p{\bullet D}^{4} \bullet t}{128 \bullet V \bullet L} = \frac{3,14 \bullet \left( \frac{0,378 - 0,364}{2} \right) \bullet 1000 \bullet {0,0031}^{4} \bullet 8,78}{128 \bullet 0,0004 \bullet 1} = \frac{3,14 \bullet 371 \bullet 0,00000961 \bullet 8,78}{0,05} = 0,0000184491 = 1,84 \bullet 10^{- 5}\ ;$$

Uzgodnienie jednostek:

$$\mu = \frac{\pi \bullet p{\bullet D}^{4} \bullet t}{128 \bullet V \bullet L} = \frac{kPa \bullet 1000 \bullet m^{4} \bullet s}{m^{3} \bullet m} = \frac{Pa \bullet m^{4} \bullet s}{m^{4}} = Pa \bullet s.$$

Obliczenie średniej prędkość przepływu powietrza:

$$v_{sr} = \frac{\frac{V}{t}}{\pi \bullet \left( \frac{D}{2} \right)^{2}} = \frac{\frac{0,004}{8,78}}{3,14 \bullet \left( \frac{0,0031}{2} \right)^{2}} = \frac{0,0004555}{3,14 \bullet \left( 0,0000024 \right)} = 6,04\ ;$$

Uzgodnienie jednostek:

$$v_{sr} = \frac{\frac{V}{t}}{\pi \bullet \left( \frac{D}{2} \right)^{2}} = \frac{\frac{m^{3}}{s}}{\left( \frac{m}{2} \right)^{2}} = \frac{m^{3}}{s} \bullet \frac{1}{m^{2}} = \frac{m}{s}\text{\ .}$$

Obliczenie wartości kinematycznego współczynnika lepkości powietrza:

$$\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{0,0000184491}{1,2} = 0,00001537\ ;$$

Uzgodnienie jednostek:

$$\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{\text{Pa} \bullet s}{\frac{\text{kg}}{m^{3}}} = \frac{N \bullet s}{m^{2}} \bullet \frac{m^{3}}{\text{kg}} = \frac{\frac{\text{kg} \bullet m}{s^{2}} \bullet s}{m^{2}} \bullet \frac{m^{3}}{\text{kg}} = \frac{\text{kg} \bullet m}{s^{2}} \bullet \frac{s}{m^{2}} \bullet \frac{m^{3}}{\text{kg}} = \frac{m^{2}}{s}\text{\ .}$$

Obliczenie liczby Reynoldsa

$$Re = \frac{v_{sr} \bullet D}{\nu} = \frac{6,04 \bullet 0,0031}{0,00001537} = 1217,7\ ;$$

Uzgodnienie jednostek:

$$Re = \frac{v_{sr} \bullet D}{\nu} = \frac{\frac{m}{s} \bullet m}{\frac{m^{2}}{s}} = \frac{m^{2}}{s} \bullet \frac{s}{m^{2}}.$$

Tabele i wyniki pomiarów, wyniki rachunku błędu.

L.p.	V [m^3]	t [s]	pmin [kPa]	pmax [kPa]	∆p [Pa]	μ [Pa⋅s]	ν [m^2/s]	vśr [m/s]	Re
1.	0,00040	8,78	0,364	0,378	371	1,84⋅10^-5	1,537⋅10^-5	6,04	1217,70
2.	0,00028	6,91	0,360	0,364	362	2,02⋅10^-5	1,687⋅10^-5	5,37	987,27
3.	0,00024	6,18	0,312	0,314	313	1,83⋅10^-5	1,522⋅10^-5	5,15	1048,78
4.	0,00028	6,33	0,352	0,354	353	1,81⋅10^-5	1,507⋅10^-5	5,86	1206,47
5.	0,00027	5,85	0,343	0,346	345	1,72⋅10^-5	1,436⋅10^-5	6,00	1296,51
6.	0,00024	5,83	0,334	0,337	336	1,85⋅10^-5	1,539⋅10^-5	5,46	1099,45
7.	0,00023	5,77	0,326	0,327	327	1,86⋅10^-5	1,546⋅10^-5	5,28	1059,26
8.	0,00021	5,27	0,318	0,320	319	1,81⋅10^-5	1,511⋅10^-5	5,28	1083,45
9.	0,00021	5,37	0,310	0,312	311	1,80⋅10^-5	1,501⋅10^-5	5,18	1070,32
10.	0,00021	5,30	0,301	0,304	303	1,73⋅10^-5	1,441⋅10^-5	5,25	1129,65

Rachunek błędu.

Poniższe obliczenia wykonano na podstawie danych:

• Poziom ufności: 95%,

• t_α=2,262; dla k=n-1 stopni swobody,

• α=1-0,95=0,05.

Średnia wartość arytmetyczna została obliczona na podstawie wzoru:

$$\overset{\overline{}}{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{\mu_{i} = 1,8310^{- 5}\ \lbrack Pa \bullet s\rbrack}$$

Odchylenie standardowe:

$$S_{\mu} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( \mu_{i} - \overset{\overline{}}{\mu_{sr}} \right)}{n - 1}} = 8,2910^{- 7}\ \lbrack Pa \bullet s\rbrack$$

Przedział ufności (95%) dla wartości średniej:

$$\overset{\overline{}}{\mu} - t_{\alpha}\frac{S_{\mu}}{\sqrt{n}} < \mu < \overset{\overline{}}{\mu} + t_{\alpha}\frac{S_{\mu}}{\sqrt{n}}$$

1, 7710⁻⁵ < μ < 1, 8910⁻⁵

Wnioski.

Podczas doświadczenia i wszystkich n-pomiarów mieliśmy do czynienia z przepływem laminarnym, a więc zastosowanie równania Hagen’a - Poiseuille’a do obliczenia dynamicznego współczynnika lepkości powietrza było zasadne.

Wyniki obliczeń średniej arytmetycznej współczynnika lepkości i odchylenia standardowego, wskazują na to, że liczba wyników znajdujących się poza zakresem przedziału ufności (dla poziomu ufności 95%) wynosi 3 – 33% wyników.

Wynika z tego, że pomiarów i obliczeń nie należy uznawać za jednoznaczne. Z drugiej strony, przy tak małej ilości prób nie należy zbytnio sugerować się wynikami obliczeń statystycznych. Natomiast porównując wyniki obliczeniowe z tablicowymi, można stwierdzić, że są one do siebie bardzo zbliżone.

Protokół pomiarów.