Radosław Dec

Informatyka, rok III.

Teoria aproksymacji

Projekt 2.4

Temat.

Wykonaj program w MATLABie, który:

• dokonuje interpolacji Lagrange’a krzywej x = t − 0.5sint,  y = 1 − 0.5cost,  t ∈ [0,  4π] na równomiernej siatce węzłów o danej liczbie przedziałów n w przedziale [0,  4π].

• dokonuje aproksymacji tej krzywej krzywą Béziera na równomiernej siatce węzłów o danej liczbie przedziałów n w przedziale [0,  4π].

• wykonuje wykresy rozpatrywanych krzywych dla 4 wartości n oraz wyznacza normy || ||₁ oraz || ||₂ dla błędu aproksymacji wykorzystując metodę trapezów.

2. Sposób rozwiązania.

W interpolacji Lagrange’a wykorzystałem m.in. macierz Vandermonde'a, która posłużyła mi do wyliczania współczynników wielomianu interpolacyjnego. Samą interpolacje Lagrange’a zaimplementowałem na podstawie wzoru:

$$L\left( x \right) = \ \sum_{i = 1}^{n}y_{i}l_{i}(x)$$

gdzie:
x – to argument, dla którego chcemy znaleźć wartość funkcji
y_i – wartość funkcji odpowiadająca argumentowi xi, czyli f(xi)

Wartość wpółczynników l_i, wyznacza się ze wzoru:

Do aproksymacji krzywej krzywą Béziera posłużyłem się wzorami zaczerpniętymi z sieci:

$$x(k) = \sum_{j = 0}^{n}{\left( \frac{n}{j} \right)*k^{j}*{(1 - k)}^{n - j}{*x}_{i}}$$

$$y\left( k \right) = \sum_{j = 0}^{n}{\left( \frac{n}{j} \right)*k^{j}*\left( 1 - k \right)^{n - j}{*y}_{i}}$$

x(t), y(t) – współrzędne punktów na krzywej Béziera

k ∈ [0,  1]∖n

x_i, y_i – współrzędne kolejnego punktu pomiarowego.

3. Wykresy funkcji.

Jako efekt działania programu przedstawiam cztery wykresy funkcji f(x), funkcji interpolowanej oraz wyniku aproksymacji dla czterech różnych wartości n. Wszystkie 4 interpolacje zostały wykonane dla jednakowym przedziale t ∈ [0,  4π]. Liczba węzłów interpolacyjnych wynosiła:

• Wykres 1 – 10 węzłów,

• Wykres 2 – 20 węzłów,

• Wykres 3 – 30 węzłów,

• Wykres 4 – 40 węzłów,

Wykres numer 1:

Interpolacja Lagrange’a

Funkcja interpolowana

Aproksymacja Beziera

Wykres numer 2:

Interpolacja Lagrange’a

Funkcja interpolowana

Aproksymacja Beziera

Wykres numer 3:

Interpolacja Lagrange’a

Funkcja interpolowana

Aproksymacja Beziera

Wykres numer 4:

Interpolacja Lagrange’a

Funkcja interpolowana

Aproksymacja Beziera

4. Wyznaczanie norm dla błędu aproksymacji wykorzystując metodę trapezów.

Wzory na użyte normy:

∥f₁∥ = ∫_a^b|f(x)|dx

$$\left\| f_{2} \right\| = \sqrt[2]{\int_{a}^{b}{f^{2}(x)\text{dx}}}$$

Otrzymane wyniki dla błędu aproksymacji zostały przedstawione w tabeli poniżej.

N – liczba węzłów

Błąd dla interpolacji dla Lagrange’a:

	N=10	N=20	N=30	N=40
∥f1∥	0.0461	9.8053e-008	6.6954e-009	1.5633e-012
∥f2∥	0.6708	7.9999e-004	3.3014e-004	5.01e-005

Błąd dla interpolacji dla Bezier’a:

	N=10	N=20	N=30	N=40
∥f1∥	2.8352	1.9267	1.4436	1.1518
∥f2∥	7.6682	6.3961	5.5727	4.9988