Knut Mateusz data: 24.11.2011
Kolasiński Michał

Nr 72
Temat: Wyznaczenie logarytmicznego dekrementu tłumienia.

1. Cel ćwiczenia:
   Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie logarytmicznego dekrementu tłumienia

2. Treść teoretyczna ćwiczenia:

Logarytmiczny dekrement tłumienia jest to logarytm naturalny dwóch kolejnych

wartości amplitud, z których druga następuje po pierwszej w odstępie czasu równym okresowi T.

1. Wyprowadzenie wzoru

$$\left\lbrack \mathbf{\Lambda} \right\rbrack\mathbf{=}\left\lbrack \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{s}}\mathbf{s} \right\rbrack\mathbf{=}\left\lbrack \mathbf{1} \right\rbrack$$

1. Wykonanie pomiaru

1. Płytkę P wychylić o pewien kąt, puścić swobodnie i obserwować wahania układu. Gdy zgasną dodatkowe drgania poprzeczne, a jednocześnie kąt wychyleń układu zmaleje do wartości ok. 20˚, zmierzyć stoperem czas kilkunastu drgań („wahnięć”) t_n.

2. Obliczy okres drgań $T = \frac{t_{n}}{n}$; n – liczba drgań.

3. Uruchomić układ ponownie i odczytywać na przymiarze milimetrowym kolejne wartości amplitud A₁, A₂, A₃, …, z jednej strony od położenia równowagi S.

4. Czynności 1, 2, 3 powtórzyć kilka razy, zawsze przy takim samym wychyleniu początkowym A₀, i obliczyć wartości średnie $\overline{t}$_n, $\overline{T}$ oraz wartości średnie poszczególnych amplitud $\overline{A}$₁, $\overline{A}$₂, $\overline{A}$₃, …

5. Sporządzić na papierze milimetrowym wykres A od t, odkładając na osi rzędnych wartości kolejnych amplitud $\overline{A}$₀, $\overline{A}$₁, $\overline{A}$₂, …, $\overline{A}$_n, a na osi odciętych czas, przyjmując za jednostkę czasu obliczony średni okres wahań $\overline{T}$.

6. Obliczyć dekrement tłumienia Λ, biorąc wartości [A_n, A_n+1] ze sporządzonego wykresu w kilku dowolnych miejscach odpowiadających odstępowi czasu T, np. dla punktów C₁ i C₂.

7. Ze wzoru $\Lambda = ln\frac{A}{A}$ obliczyć Λ dla kilku „sąsiednich” amplitud średnich, np.

$\Lambda_{1} = ln\frac{{\overline{A}}_{0}}{{\overline{A}}_{1}}$, $\Lambda_{2} = ln\frac{{\overline{A}}_{1}}{{\overline{A}}_{2}}$, $\Lambda_{3} = ln\frac{{\overline{A}}_{2}}{{\overline{A}}_{3}}$, …, $\Lambda_{n} = ln\frac{{\overline{A}}_{n}}{{\overline{A}}_{n + 1}}$

Obliczyć średnią wartość

$$\Lambda = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\Lambda_{i}}{n}$$

i porównać z wartością Λ otrzymaną w pkt. 6.

1. Ze wzoru Λ = δT obliczyć δ (biorąc $\overline{\Lambda}$).

2. Ze wzoru $\frac{b}{m} = 2\delta$ obliczyć b

3. Wyniki umieścić w tabelkach.

4. Przeprowadzić dyskusję błędów

6. Przyrządy do pomiaru i ich dokładności:
   

7. Wzór na niepewność standardową wraz z obliczeniem:

$$\mu\left( \Lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n}} \right)^{2}*\mu\left( A_{n} \right)^{2} + \left( \frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n + 1}} \right)^{2}*\mu{(A_{n + 1})}^{2}}$$

$$\frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n}} = \frac{1}{A_{n + 1}}*\frac{A_{n + 1}}{A_{n}} = \frac{1}{A_{n}}$$

$$\frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n + 1}} = - \frac{A_{n}}{{{(A}_{n + 1})}^{2}}*\frac{A_{n + 1}}{A_{n}} = - \frac{1}{A_{n + 1}}$$

$$\delta = \frac{\Lambda}{T} = \frac{n\Lambda}{t_{n}}$$

$$\mu^{2}\left( \delta \right) = \left( \frac{\text{σδ}}{\sigma\Lambda} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \Lambda \right) + \left( \frac{\text{σδ}}{\sigma t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( t_{n} \right)$$

$$\mu\left( \delta \right) = \sqrt{\left( \frac{n}{t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \Lambda \right) + \left( - \frac{\Lambda*n}{{t_{n}}^{2}} \right)^{2}*\left( \frac{\Delta t_{n}}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$$

b = 2δm

$$\mu^{2}\left( b \right) = \left( \frac{\text{σb}}{\text{σδ}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \delta \right)$$

$$\mu\left( b \right) = \sqrt{4m^{2}*\mu^{2}(\delta)}$$

$$T = \frac{t_{n}}{n}$$

$$\mu\left( T \right) = \sqrt{\left( \frac{\text{σT}}{\sigma t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}(t_{n})}$$

$$\mu\left( T \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{n} \right)^{2}*\mu^{2}(t_{n})}$$

6. Wnioski:
   
   
   

Tabele z pomiarami:

Nr pomiaru	tn	n	T	TŚR
	[s]		[s]	[s]
I pomiar
II pomiar
III pomiar

Nr pomiaru
	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]
I pomiar
II pomiar
III pomiar
Iv pomiar
V pomiar
Średnie wartości amplitud

									Λ ze wzoru	Λ z wykresu	δ	b
											[1/s]	[kg/s]