dekrement tłumienia sprawozdanie


Ruch harmoniczny punktu materialnego opisuje równanie x = Asinωt Okres jest to czas trwania jednego pełnego drgnienia T T= 0x01 graphic
Częstość ruchu to liczba pełnych drgań dokoła położenia równowagi, wykonywanych w jednostce czasu 0x01 graphic
stąd pulsacja wynosi 0x01 graphic

Drgania dokoła położenia równowagi odbywające się zgodnie z równaniami x = Asinωt lub x = Asin0x01 graphic
nazywamy często oscylacjami harmonicznymi, a ciało wykonujące takie drgania - oscylatorem harmonicznym

Prędkość w ruchu harmonicznym jest pochodną drogi względem czasu

v = 0x01 graphic
. Prędkość jest wielkością zmienną okresową. W punktach odpowiadających największym wychyleniom ciało ma prędkość równą zeru tzn. na chwilę się zatrzymuje. W chwili mijania położenia równowagi prędkość jest największa.

Przyspieszenie jest pochodną prędkości względem czasu a = 0x01 graphic
, iloczyn Asinωt wyraża wychylenie x od położenia równowagi, czyli a = - 0x01 graphic
lub a = 0x01 graphic
. Przyspieszenie w ruchu harmonicznym jest proporcjonalne do wychylenia od położenia równowagi. Znak minus oznacza ze jest ono przeciwnie skierowane do wychylenia od położenia równowagi. Punkt drgający ma największe przyspieszenie wtedy, gdy jego wychylenie od położeń równowagi jest maksymalne, a prędkość równa zeru.

W drganiach mechanicznych zawsze, siła sprężysta nie jest jedyną siłą występującą w tym ruchu. Towarzyszy jej zawsze siła utrudniająca ten ruch, zwana siłą tłumiącą, drgania zaś nazywamy drganiami harmonicznymi tłumionymi.

Częstym przypadkiem sił tłumiących są siły których wartość jest wprost proporcjonalna do prędkości ruchu v np. siła oporu jakiego doznaje kula poruszająca się w ośrodku lepkim, określona przez Stokesa : Ft = - bv lub Ft = - b0x01 graphic
Z, gdzie b- wspł oporu, który we wzorze Stokesa wynosi 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-wspł lepkości, r- promień kuli. Znak minus oznacza że siła oporu ma zawsze przeciwny zwrot do wektora prędkości.

Obie siły tzn. siła sprężystości F i siła tłumiąca działają w każdej chwili wzdłuż tej samej prostej, dlatego wypadkową można znaleźć poprzez algebraiczne dodanie. 0x01 graphic
. Druga zasada dynamiki ma wówczas postać ma= Fw lub po rozpisaniu 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę i podzieleniu równania przez masę m otrzymamy 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Dodatkowo wprowadzamy oznaczenie 0x01 graphic
i ostatecznie otrzymujemy 0x01 graphic
. Jest to równanie różniczkowe (dynamiki) ruchu harmonicznego tłumionego.

Rozwiązanie tego równania ma postać 0x01 graphic
Amplituda drgań tłumionych zmienia się wykładniczo z biegiem czasu przyjmując wartość zerową teoretycznie po czasie nieskończenie długim 0x01 graphic

Pulsacje drgań tłumionych i nietłumionych (a zatem i okresy) są różne 0x01 graphic
, a więc pulsacja drgań tłumionych jest mniejsza od pulsacji drgań nietłumionych, a tym samym okres jest dłuższy T >To. W związku z tym 0x01 graphic
to T0x01 graphic
podczas gdy 0x01 graphic
. Wartość okresu T w danym ruchu jest stała (podobnie T0). Podczas określania warunku rezonansu należy uwzględnić wzór 0x01 graphic
. Ponadto z tego wzoru wynika że ω ma wartość rzeczywistą tylko gdy 0x01 graphic
czyli gdy 0x01 graphic
. Innymi słowy tylko spełnienie tego warunku zapewnia powstawanie drgań tłumionych periodycznych. W ośrodkach o dużym współczynniku oporu b, a tym samym dużej stałej tłumienia δ może wystąpić relacja przeciwna tzn. 0x01 graphic
.ω nie ma wówczas wartości rzeczywistej i mówimy wtedy o ruchu aperiodycznym.

We wzorze 0x01 graphic
sin (ωt+φ) wskazuje, że jest to ruch okresowo zmienny, tak jak funkcja sinus, a więc jest to ruch drgający harmoniczny. Czynnik 0x01 graphic
jest wyrażeniem określającym amplitudę tego ruchu, możemy więc napisać A= 0x01 graphic
Ze wzoru wynika że amplituda ruchu tłumionego maleje z upływem czasu w sposób wykładniczy do zera, tym szybciej, im większa jest wartość δ.

0x01 graphic

Do charakteryzowania przebiegu drgań tłumionych często stosuje się tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia oznaczany symbolem χ Dekrement logarytmiczny tłumienia jest logarytmem naturalnym stosunku dwóch amplitud, z których druga następuje po pierwszej w odstępie czasu równym okresowi T.

Pojęcie dekrementu jest stosowane do określenia szybkości zanikania dowolnych wielkości okresowo zmiennych, a więc również np. w drganiach elektromagnetycznych

0x01 graphic
w odniesieniu do wyżej rozpatrywanych drgań 0x01 graphic
. Amplituda maleje tym szybciej, im większy jest dekrement tłumienia oraz im mniejszy jest okres drgań T. O ile stała tłumienia δ, zwana wykładnikiem tłumienia, określa zmniejszenie się amplitudy w czasie jednej sekundy, o tyle dekrement tłumienia określa zmniejszenie się amplitudy w czasie jednego okresu T, co jest i ogólniejsze i bardziej precyzyjne, gdyż jedna sekunda w wielu przypadkach jest odstępstwem czasowym tak długim, że mieszczą się w nim tysiące, a nawet miliony drgań, a ściślej miliony okresów.

Jeżeli można dwie kolejne amplitudy A1 i A2 zmierzyć bezpośrednio, to na podstawie definicji można obliczyć dekrement tłumienia 0x01 graphic
. Jeżeli potrafimy zmierzyć okres drgań to ze wzoru 0x01 graphic
możemy wyliczyć stałą tłumienia oraz ze związku 0x01 graphic
- wspł. oporu b.

Ciało wykonujące ruch harmoniczny ma energię kinetyczną Ek. Wiemy że Ek = ½ mv2 a Ep = ½ kx2 po podstawieniu 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
wtedy wzory przyjmują następującą wartość 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
. Energia kinetyczna podczas ruchu jest zmienna. Energia potencjalna równa się pracy, którą ciało drgające może wykonywać wracając od wychylenia x do położenia równowagi. Wówczas 0x01 graphic
0x01 graphic
. Energia potencjalna ciała wykonującego ruch harmoniczny zmienia się w czasie wykonywania ruchu. Energia ta jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy Gdy ruch odbywa się bez żadnych strat energii na pokonywanie oporów, całkowita energia wyraża się wzorem 0x01 graphic
. W przypadku drgań o określonej pulsacji całkowita energia mechaniczna jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Wartość energi kinetycznej i potencjalnej waha się między zerem, a wartością maksymalną, lecz całkowita energia mechaniczna ciała wykonującego drganie harmoniczne jest stała i równa 0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
dekrement tłumienia- sprawozdanie, Fizyka
Dekrement tłumienia - Sprawozdanie - Bez obrazka, Akademia Morska, I semestr, FIZYKA, Fizyka - Labor
Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia, FIZYKA-sprawozdania
OII04 Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tlumienia przy pomocy wahadla fizycznego
Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego i dekrementu tłumienia wahadła prostego1, Automatyka
fizyka, Dekrement tłumienia
DEKREMENT TŁUMIENIA- orginał, Fizyka
dekrement tlumienia
OII04 Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tlumienia przy pomocy wahadla fizycznego
dekrement tłumienia (1)
dekrement tłumienia
dekrement tłumienia (2)
Sprawozdanie 4?krement tłumieniar
Sprawozdanie z?krementu tłumienia
Sprawozdanie M13 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA SPRĘŻYSTOŚCI ORAZ STAŁEJ TŁUMIENIA DRGAŃ MECHANICZNYCH

więcej podobnych podstron