Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny punktu materialnego opisuje równanie x = Asinωt

Okres- czas trwania jednego pełnego drgnienia T T=

Częstość ruchu- liczba pełnych drgań dokoła położenia równowagi, wykonywanych w jednostce czasu
stąd pulsacja wynosi

Drgania dokoła położenia równowagi odbywające się zgodnie z równaniami x = Asinωt lub x = Asin
nazywamy często oscylacjami harmonicznymi, a ciało wykonujące takie drgania - oscylatorem harmonicznym

Prędkość w ruchu harmonicznym jest pochodną drogi względem czasu

v =
. Prędkość jest wielkością zmienną okresową. W punktach odpowiadających największym wychyleniom ciało ma prędkość równą zeru tzn. na chwilę się zatrzymuje. W chwili mijania położenia równowagi prędkość jest największa.

Przyspieszenie jest pochodną prędkości względem czasu a =
, iloczyn Asinωt wyraża wychylenie x od położenia równowagi, czyli a = -
lub a =
. Przyspieszenie w ruchu harmonicznym jest proporcjonalne do wychylenia od położenia równowagi. Znak minus oznacza ze jest ono przeciwnie skierowane do wychylenia od położenia równowagi. Punkt drgający ma największe przyspieszenie wtedy, gdy jego wychylenie od położeń równowagi jest maksymalne, a prędkość równa zeru.

Ruch harmoniczny z punktu widzenia dynamiki

W drganiach mechanicznych zawsze, siła sprężysta nie jest jedyną siłą występującą w tym ruchu. Towarzyszy jej zawsze siła utrudniająca ten ruch, zwana siłą tłumiącą, drgania zaś nazywamy drganiami harmonicznymi tłumionymi.

Częstym przypadkiem sił tłumiących są siły których wartość jest wprost proporcjonalna do prędkości ruchu v np. siła oporu jakiego doznaje kula poruszająca się w ośrodku lepkim, określona przez Stokesa : F_t = - bv lub F_t = - b
Z, gdzie b- wspł oporu, który we wzorze Stokesa wynosi
,
-wspł lepkości, r- promień kuli. Znak minus oznacza że siła oporu ma zawsze przeciwny zwrot do wektora prędkości.

Obie siły tzn. siła sprężystości F i siła tłumiąca działają w każdej chwili wzdłuż tej samej prostej, dlatego wypadkową można znaleźć poprzez algebraiczne dodanie.
. Druga zasada dynamiki ma wówczas postać ma= F_w lub po rozpisaniu
,
. Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę i podzieleniu równania przez masę m otrzymamy
,
. Dodatkowo wprowadzamy oznaczenie
i ostatecznie otrzymujemy
. Jest to równanie różniczkowe (dynamiki) ruchu harmonicznego tłumionego. Rozwiązanie tego równania ma postać
Amplituda drgań tłumionych zmienia się wykładniczo z biegiem czasu przyjmując wartość zerową teoretycznie po czasie nieskończenie długim

Pulsacje drgań tłumionych i nietłumionych (a zatem i okresy) są różne
, a więc pulsacja drgań tłumionych jest mniejsza od pulsacji drgań nietłumionych, a tym samym okres jest dłuższy T >T_o. W związku z tym
to T
podczas gdy
. Wartość okresu T w danym ruchu jest stała (podobnie T₀). Podczas określania warunku rezonansu należy uwzględnić wzór
. Ponadto z tego wzoru wynika że ω ma wartość rzeczywistą tylko gdy
czyli gdy
. Innymi słowy tylko spełnienie tego warunku zapewnia powstawanie drgań tłumionych periodycznych. W ośrodkach o dużym współczynniku oporu b, a tym samym dużej stałej tłumienia δ może wystąpić relacja przeciwna tzn.
.ω nie ma wówczas wartości rzeczywistej i mówimy wtedy o ruchu aperiodycznym.

We wzorze
sin (ωt+φ) wskazuje, że jest to ruch okresowo zmienny, tak jak funkcja sinus, a więc jest to ruch drgający harmoniczny. Czynnik
jest wyrażeniem określającym amplitudę tego ruchu, możemy więc napisać A=
Ze wzoru wynika że amplituda ruchu tłumionego maleje z upływem czasu w sposób wykładniczy do zera, tym szybciej, im większa jest wartość δ.

Do charakteryzowania przebiegu drgań tłumionych często stosuje się tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia oznaczany symbolem χ Dekrement logarytmiczny tłumienia jest logarytmem naturalnym stosunku dwóch amplitud, z których druga następuje po pierwszej w odstępie czasu równym okresowi T.

Pojęcie dekrementu jest stosowane do określenia szybkości zanikania dowolnych wielkości okresowo zmiennych, a więc również np. w drganiach elektromagnetycznych

w odniesieniu do wyżej rozpatrywanych drgań
. Amplituda maleje tym szybciej, im większy jest dekrement tłumienia oraz im mniejszy jest okres drgań T. O ile stała tłumienia δ, zwana wykładnikiem tłumienia, określa zmniejszenie się amplitudy w czasie jednej sekundy, o tyle dekrement tłumienia określa zmniejszenie się amplitudy w czasie jednego okresu T, co jest i ogólniejsze i bardziej precyzyjne, gdyż jedna sekunda w wielu przypadkach jest odstępstwem czasowym tak długim, że mieszczą się w nim tysiące, a nawet miliony drgań, a ściślej miliony okresów.

Jeżeli można dwie kolejne amplitudy A₁ i A₂ zmierzyć bezpośrednio, to na podstawie definicji można obliczyć dekrement tłumienia
. Jeżeli potrafimy zmierzyć okres drgań to ze wzoru
możemy wyliczyć stałą tłumienia oraz ze związku
- wspł. oporu b.

Z istnienia przyspieszenia wynika, że punkt materialny o masie m, wykonujący ruch harmoniczny, podlega działaniu siły F = - m
. Siła ta jest proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie skierowana do niego ( charakter sił sprężystych). Współczynnik proporcjonalności
nazywany jest zwykle współczynnikem sprężystości. Uwzględniając drugą zasadę dynamiki można to równanie zapisać w postaci
lub
. Całość rozważań można oprzeć na równaniu różniczkowym, jako równaniu definiującym badany ruch

Ruch harmoniczny z punktu widzenia energii ciała drgającego

Ciało wykonujące ruch harmoniczny ma energię kinetyczną E_k. Wiemy że E_k = ½ mv² a E_p = ½ kx² po podstawieniu
oraz
wtedy wzory przyjmują następującą wartość
oraz
. Energia kinetyczna podczas ruchu jest zmienna. Energia potencjalna równa się pracy, którą ciało drgające może wykonywać wracając od wychylenia x do położenia równowagi. Wówczas

. Energia potencjalna ciała wykonującego ruch harmoniczny zmienia się w czasie wykonywania ruchu. Energia ta jest wprost proporcjonalna do kwadratu ampltudy Gdy ruch odbywa się bez żadnych strat energii na pokonywanie oporów, całkowita energia wyraża się wzorem
. W przypadku drgań o określonej pulsacji całkowita energia mechaniczna jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Wartość energi kinetycznej i potencjalnej waha się między zerem, a wartością maksymalną, lecz całkowita energia mechaniczna ciała wykonującego drganie harmoniczne jest stała i równa

---