Imię: Grzegorz
Nazwisko: Szcześniak
Numer indeksu: 226835
Prowadzący: dr A. Dąbrowski
Termin zajęć: poniedziałek 11:15-12:45
Data wykonania ćwiczenia: 11.04.2011
Ćwiczenie numer 9:
Wyznaczanie modułu Younga metodą jednostronnego rozciągania
Tab.1. Długość i grubość drutu dla obciążenia 0,5 kg; l – długość drutu, dr – grubość druta
| L.p. | l | dr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 0,946 | 0,00079 |
| 2 | 0,944 | 0,00079 |
| 3 | 0,943 | 0,00079 |
| 4 | 0,945 | 0,00079 |
| 5 | 0,946 | 0,00079 |
Tab.2. Zmiana długości i grubości drutu dla obciążenia 1kg; Δl – zmiana długości, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 6,7428 ·10-5 | 0,00078 |
| 2 | 0,00078 | |
| 3 | 0,00078 | |
| 4 | 0,00079 | |
| 5 | 0,00078 |
Tab.3. Zmiana długości i grubości druta dla obciążenia 2kg; Δl – długość druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 1,3486·10-4 | 0,00078 |
| 2 | 0,00078 | |
| 3 | 0,000785 | |
| 4 | 0,00079 | |
| 5 | 0,00079 |
Tab.4. Zmiana długości i grubości druta przy obciążeniu 3kg; Δl – zmiana długości druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 2,0228·10-4 | 0,00078 |
| 2 | 0,00078 | |
| 3 | 0,000775 | |
| 4 | 0,000775 | |
| 5 | 0,00077 |
Tab.5. Zmiana długości i grubości druta przy obciążeniu 4kg; Δl – zmiana długości druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 3,3714·10-4 | 0,000775 |
| 2 | 0,00078 | |
| 3 | 0,00078 | |
| 4 | 0,000775 | |
| 5 | 0,00077 |
Tab.6. Zmiana długości i grubości druta przy obciążeniu 5kg; Δl – zmiana długości druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 4,72·10-4 | 0,00079 |
| 2 | 0,00078 | |
| 3 | 0,00079 | |
| 4 | 0,00078 | |
| 5 | 0,00078 |
Tab.7. Zmiana długości i grubości druta przy obciążeniu 6kg; Δl – zmiana długości druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 6,0686·10-4 | 0,00078 |
| 2 | 0,000775 | |
| 3 | 0,00078 | |
| 4 | 0,000775 | |
| 5 | 0,00077 |
Tab.8. Zmiana długości i grubości druta przy obciążeniu 6,5kg; Δl – zmiana długości druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 6,7428·10-4 | 0,00078 |
| 2 | 0,00077 | |
| 3 | 0,000775 | |
| 4 | 0,00078 | |
| 5 | 0,00077 |
Tab.9. Zmiana długości i grubości druta przy obciążeniu 6,5kg 6kg ; Δl – zmiana długości druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 6,0686·10-4 | 0,00079 |
| 2 | 0,000785 | |
| 3 | 0,000785 | |
| 4 | 0,00078 | |
| 5 | 0,00078 |
Tab.10. Zmiana długości i grubości druta przy obciążeniu 6kg 5kg ; Δl – zmiana długości druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 4,72·10-4 | 0,00079 |
| 2 | 0,00078 | |
| 3 | 0,00078 | |
| 4 | 0,00078 | |
| 5 | 0,00077 |
Tab.11. Zmiana długości i grubości druta przy obciążeniu 5kg 4kg ; Δl – zmiana długości druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 3,3714·10-4 | 0,000785 |
| 2 | 0,000785 | |
| 3 | 0,00078 | |
| 4 | 0,000785 | |
| 5 | 0,000775 |
Tab.12. Zmiana długości i grubości druta przy obciążeniu 4kg 3kg ; Δl – zmiana długości druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 2,36·10-4 | 0,00079 |
| 2 | 0,00078 | |
| 3 | 0,000785 | |
| 4 | 0,00078 | |
| 5 | 0,000775 |
Tab.13. Zmiana długości i grubości druta przy obciążeniu 3kg 2kg ; Δl – zmiana długości druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 1,6857·10-4 | 0,00079 |
| 2 | 0,00078 | |
| 3 | 0,000785 | |
| 4 | 0,00078 | |
| 5 | 0,000775 |
Tab.14. Zmiana długości i grubości druta przy obciążeniu 2kg 1kg ; Δl – zmiana długości druta, Δdr – zmiana grubości druta
| L.p. | Δl | Δdr |
|---|---|---|
| [m] | [m] | |
| 1 | 0 | 0,0008 |
| 2 | 0,00079 | |
| 3 | 0,00079 | |
| 4 | 0,00078 | |
| 5 | 0,000795 |
W równowadze trwałej ciało posiada minimum energii, czyli atomy muszą znajdować się w odległości ro. Każdej zmianie długości r między atomami towarzyszy pojawienie się, tzw. sił spójności działających w kierunku przywrócenia odległości ro (przy zmniejszeniu r pojawiają się siły odpychające, a przy zwiększeniu r przyciągające). Siły spójności równoważą działające na to ciało siły zewnętrzne. Na przykład dwie równe co do wartości leżące na jednej prostej, przyłożone do wspólnego punktu i przeciwnie skierowane siły nie mogą spowodować ruchu ciała, lecz działając na dwa różne punkty rozerwałyby ciało, gdyby nie były zrównoważone siłami spójności działającymi również na dane punkty lecz skierowanymi przeciwnie.
Ze zmianą odległości atomów wiąże się makroskopowa deformacja ciała zwana odkształceniem.
Gdy odkształcenie znika z chwilą usunięcia sił odkształcających, jest to odkształcenie sprężyste, a zjawisko to nazywamy sprężystością. Takie odkształcenie, które nie znika po usunięciu siły nazywamy odkształceniem plastycznym, a zjawisko to nazywamy analogicznie sprężystością. Siły zniekształcające mogą działać prostopadle lub stycznie do powierzchni.
Siły działające prostopadle do powierzchni nazywamy siłami normalnymi, zaś stosunek siły Fn do powierzchni S, na którą działają, nazywamy naprężeniem normalnym:
Miarą wielkości odkształcenia jest odkształcenie względne ε, które jest stosunkiem zmiany długości Δz do długości początkowej z:
Siły deformujące mogą działać także stycznie do powierzchni. Stosunek siły stycznej Fs do powierzchni S, na którą działa, nazywamy naprężeniem stycznym:
W tym przypadku rolę względnego odkształcenia spełnia kąt ścinania γ.
Odkształceniami sprężystymi ciał stałych rządzi prawo Hooke’a, które mówi, że naprężenie jest proporcjonalne do odkształcenia. W przypadku naprężenia stycznego prawo Hooke’a można wyrazić wzorem τ=Gγ. Współczynnik G nazywa się modułem sztywności.
W przypadku zaś naprężenia normalnego prawo to wyraża się wzorem σ=Eε , gdzie współczynnik proporcjonalności E nazywa się modułem Younga.
Sens fizyczny modułu Younga: jest to takie ciśnienie, które spowodowałoby odkształcenie względne równe jedności. W przypadku prostego wydłużenia, zajdzie to gdy z = Δz, czyli gdy wydłużany np. drut zostanie rozciągnięty do swojej podwójnej długości. W praktyce jest to rzadko osiągalne.
Moduł Younga łatwo można zmierzyć doświadczalnie. Ponieważ E = σ/ε = (F/q)/( Δz/ z), gdzie q jest przekrojem druta, znając początkową długość i średnicę druta, jak również obciążenie i zmianę jego długości, podstawiając wszystko do wzoru, można łatwo wyznaczyć moduł Younga.
Prawo Hooke’a nie jest spełnione dla dowolnych naprężeń. Po przekroczeniu naprężenia zwanego granicą proporcjonalności odkształcenie nie jest już zgodne z prawem Hooke’a. Granicą sprężystości nazywamy takie naprężenie, po przekroczeniu którego ciało nie powraca już do poprzednich wymiarów z dokładnością do 0.003%. Granicą wytrzymałości natomiast nazywamy takie naprężenie, przy którym ciało ulega zniszczeniu (zerwanie, rozkruszenie, rozcięcie itp.).
Śruba mikrometryczna pozwala mierzyć z dokładnością do 0,01 mm. Składa się ona z części nieruchomej, podziałki 1, oraz wrzecionka mikrometrycznego z podziałką 2. Górne kreski podziałki 1 oznaczają milimetry, a kreski poniżej linii poziomej oznaczają połówki milimetrów. Zazwyczaj jeden pełny obrót wrzecionka odpowiada przesunięciu szczęki o 0,5 mm, a podziałka 2 jest podzielona od 0 do 50. Odczytując wskazanie mikromierza zapisać najpierw liczbę pełnych milimetrów oraz zwrócić uwagę na to, czy na podziałce 1 jest już widoczna kreska odpowiadającej 0,5 mm. Jeżeli nie, to wskazanie na podziałce wrzecionka jest równe liczbie setnych milimetra. gdy kreska oznaczająca 0,5 mm jest już widoczna, wtedy do cyfry odczytanej z wrzecionka dodajemy 50. Wykonując pomiar, szczękę możemy dokręcić tylko małym pokrętłem, które zaopatrzone jest w sprzęgło wyłączające obrót wrzecionka przy nadmiernym docisku, a tym samym zabezpieczające gwint wrzecionka.
Przed przystąpieniem do pomiarów należy odczytać wskazanie zerowe, uzyskane po doprowadzeniu do zetknięcia szczęk. Gdy jest ono różne od zera, wtedy do wszystkich odczytów należy wnieść odpowiednią poprawkę.
Obliczenia
Należy sporządzić wykres zależności od działającej na niego siły. Najpierw trzeba obliczyć tę siłę ze wzoru:
F = m • g
| m | F |
|---|---|
| [kg] | [N] |
| 0,5 | 4,90 |
| 1 | 9,81 |
| 2 | 19,62 |
| 3 | 29,43 |
| 4 | 39,24 |
| 5 | 49,05 |
| 6 | 58,89 |
| 6,5 | 63.76 |
Tab.15. Zależności siły działającej na drut od masy zawieszonej na jej końcu; m – masa zawieszona na końcu druta, F – siła
Do obliczeń przyjęto $g = 9,81\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$
| L.p. | F | Δl1 | Δl2 | Δlśr |
|---|---|---|---|---|
| [N] | [m] | [m] | [m] | |
| 1 | 4,90 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 9,81 | 0,000067428 | 0 | 0,000033714 |
| 3 | 19,62 | 0,00013486 | 0,00016857 | 0,000151715 |
| 4 | 29,43 | 0,00020228 | 0,000236 | 0,00021914 |
| 5 | 39,24 | 0,00033714 | 0,00033714 | 0,00033714 |
| 6 | 49,05 | 0,000472 | 0,000472 | 0,000472 |
| 7 | 58,89 | 0,00060686 | 0,00060686 | 0,00060686 |
| 8 | 63.76 | 0,00067428 | 0,00067428 | 0,00067428 |
Tab.16. Zależność siły od wydłużenia się druta; F – siła działająca na drut, Δl1 – zmiana długości druta przy masie od 0,5kg do 6,5 kg; Δl2 – zmiana długości druta przy masie od 6,5kg do 0,5 kg; Δlśr – średnie wydłużenie druta
Obliczenie modułu Younga 0,000781
$$E = \frac{\frac{l}{l}}{\frac{F_{s}}{S}}$$
| L.p. | F | Δlśr | E |
|---|---|---|---|
| [N] | [m] | [Pa] | |
| 1 | 4,9 | 0 | 0 |
| 2 | 9,81 | 0,000033714 | 5,74·1011 |
| 3 | 19,62 | 0,000151715 | 2,55·1011 |
| 4 | 29,43 | 0,00021914 | 2,65·1011 |
| 5 | 39,24 | 0,00033714 | 2,29·1011 |
| 6 | 49,05 | 0,000472 | 2,05·1011 |
| 7 | 58,89 | 0,00060686 | 1,91·1011 |
| 8 | 63.76 | 0,00067428 | 1,86·1011 |
Średnia wartość modułu Younga
$$E_{sr} = \frac{5,74 10^{11}\ \bullet 2,55 10^{11}\ \bullet 2,65 10^{11}\ \bullet 2,29 10^{11} \bullet \ 2,05 10^{11}\ \bullet 1,91 10^{11} \bullet \text{\ \ }1,86 10^{11}\ }{8}$$
=2, 3813 • 1011 [Pa]
Niepewność pomiarowa
$$u\left( E \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( E_{i} - E_{sr} \right)^{2}}{n(n - 1)}}$$
u(E) ≈ 3, 44 • 1010 Pa
Gdzie Ei jest kolejnymi wyliczonymi modułami Younga.
Wnioski:
W wykonanym doświadczeniu prawo Hooke’a obowiązuje w całym zakresie badanych obciążeń. Drut wraca bowiem zawsze do swej początkowej długości. Obrazuje to wykonany przez nas wykres zawarty w sprawozdaniu. Wartość modułu Younga wyznaczona w doświadczeniu wyniosła E = 2,3823∙1011 Pa, uc(E) = 3,44∙1010 Pa.
Standardowa niepewność pomiarowa moim zdaniem jest całkiem duża, na co wpływ może mieć moja zdolność dostrzegania gdzie znajduje się wskazówka na podziałce mikroskopu, poza tym podczas wykonywania ćwiczenia zauważyłem, że jest ona nieco ugięta w dół. Średnice wskazówki musiałem zmienić wyniki ponieważ błędy mi wychodziły wyniki na minusie być może spowodowane było to tym że źle coś liczyłem ale nie umiałem znaleźć błędu.