W angielskim nie ma jednoznacznego określenia filtracji.

Teraz przejdziemy do pojęcia współczynnik przepuszczalności. Ponieważ współczynnik filtracji zależy od własności ośrodka skalnego i własności cieczy, a w szczególności jej lepkości¹ i ciężaru właściwego², żeby uniezależnić własności ośrodka skalnego od własności cieczy wprowadzono współczynnik przepuszczalności.

Pierwszym krokiem ku temu było określenie zależności współczynnika lepkości od temperatury. Ustalono ją empirycznie, co wyraża formuła:

η_t= $\frac{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{79}}{\mathbf{1}\mathbf{\ + \ }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0337}\mathbf{t}\mathbf{\ + \ }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{00022}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}$

t – temperatura (°C)

η_t – współczynnik lepkości wody o temperaturze t (Pa*s)

Wielkość współczynnika filtracji pozostaje w odwrotnym stosunku do współczynnika lepkości, a zatem rośnie wraz z temperaturą.

Dla celów porównawczych bardzo często oznaczamy współczynnik filtracji względem wody o temperaturze 10 °C. Możemy więc napisać:

$\frac{\mathbf{k}_{\mathbf{10}}}{\mathbf{k}_{\mathbf{t}}}$= $\frac{\mathbf{\eta}_{\mathbf{t}}}{\mathbf{\eta}_{\mathbf{10}}}$

z tego wynika że:

$$\mathbf{k}_{\mathbf{10}}\mathbf{=}\mathbf{k}_{\mathbf{t}}\frac{\mathbf{\eta}_{\mathbf{t}}}{\mathbf{\eta}_{\mathbf{10}}}$$

k₁₀ i k_t – współczynniki filtracji

η₁₀ i η_t – współczynniki lepkości w odpowiednich temperaturach

Oznaczając:

$$\frac{\mathbf{\eta}_{\mathbf{t}}}{\mathbf{\eta}_{\mathbf{10}}}\mathbf{=}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{t}}$$

Otrzymujemy:

k₁₀=k_tλ_t

Posługując się tym wzorem, możemy sprowadzić wielkość współczynnika filtracji oznaczonego względem wody o temperaturze t °C do temperatury 10 °C.

Przeliczenia współczynnika filtracji oznaczonego względem wody o temperaturze 10°C do dowolnej temperatury t °C można dokonać za pomocą wzoru:

$\mathbf{k}_{\mathbf{t}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{k}_{\mathbf{10}}}{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{t}}}$

Wartości współczynnika temperaturowego λ_t podane są w tabelach (np. str. 223 Hydrogeologii Ogólnej).

Żeby odzwierciedlić tylko wartości filtracyjne ośrodka skalnego, niezależnego od własności znajdującej się w nim cieczy, wprowadzono pojęcie współczynnika przepuszczalności. Wykazano, że można go wyrazić następującą relacją:

$$\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{\gamma}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\kappa}}{\mathbf{\eta}}$$

γ – ciężar właściwy cieczy

κ – współczynnik przepuszczalności

η – współczynnik lepkości

Z powyższej relacji wynika, że:

k = $\frac{\mathbf{\text{γκ}}}{\mathbf{\eta}}$

Podstawiamy to wyrażenie do uproszczonego prawa Darcy’ego i otrzymujemy:

v = $\frac{\mathbf{\text{γκ}}}{\mathbf{\eta}}$I

Co wykorzystując wzór na spadek hydrauliczny możemy także zapisać jako:

v = $\frac{\mathbf{\text{γκ}}\mathbf{\Delta}\mathbf{h}}{\mathbf{\text{ηl}}}$

Po przekształceniu otrzymujemy:

κ = $\frac{\mathbf{v}\mathbf{\text{ηl}}}{\mathbf{\gamma}\mathbf{\Delta}\mathbf{h}}$

Podstawiając z kolei:

v = $\frac{\mathbf{Q}}{\mathbf{F}}$

h = $\frac{\mathbf{\Delta}\mathbf{h}}{\mathbf{\gamma}}$

mamy ostateczny wzór współczynnika przepuszczalności:

κ = $\frac{\mathbf{\text{Qηl}}}{\mathbf{F}\mathbf{\text{Δp}}}$

W tym wzorze Q wyrażamy w cm3/s

Eta wyrażamy w puazach lub inaczej dyn*s/cm²

L wyrażamy w cm

F – powierzchnia w cm²

Dleta p – pascale albo dyny/cm².sd

Dlatego jednostką przepuszczalności jest cm². W praktyce jednak ta jednostka jest bardzo duża i w związku z tym jeśli lepkość wyrazimy w centypuasach, to jest milipascalosekundach, a różnice ciśnień w atmosferach technicznych 1at =981.000 dyn/cm² = 0,98 10⁵ Pa, wtedy mamy jednostkę Darcy, albo milidarcy.

Definicja współczynnika przepuszczalności – skała ma przepuszczalność 1 darcy, kiedy jeden cm kwadratowy przekroju przepuści w ciągu jedenj sekundy 1 cm sześcienny cieczy o lepkości 1 centypuaza³ przy różnicy ciśnień 1 atmosfery na długości 1 cm..

Dla wody słodkiej, przy temperaturze 20 st. C jest następująca zależność pomiędzy współczynnikiem przepuszczalności i współczynnikiem filtracji.

1 darcy = 9,6127*10^-4 cm/s

1 cm/s = 1043,3 darcy = 1000 darcy.

Zawsze jednak należy uwzględnić temperaturę. Anglicy używają określenia permeability dla filtracji i int. Permeability dla przepuszczalności.

Nieliniowe prawa filtracji

Przy większych prędkościach, ponad tak zwaną prędkość krytyczną, przepływ laminarny przechodzi w przepływ burzliwy – turbulentny. Może to się dziać np. w rumoszach, głazowiskach, szczelinach krasowych poszerzonych. W odróżnieniu od filtracji przepływ turbulentny nazywamy fluacją.

Wyznaczenie prędkości fluacji jest zagadnieniem trudniejszym niż wyznaczanie prędkości filtracji.. W tym przypadku jest bowiem istotna również szorstkość i chropowatość ścianek szczelin, którymi płynie woda. W kanałach otwartych określa go wzór francuskiego badacza Chezy. On podał wzór na przepływ turbulentny:

v = C$\sqrt{\mathbf{\text{RI}}}$

C – współczynnik zależny od charakteru przewodu (promienia hydraulicznego i chropowatości przewodu)

R – promień hydrauliczny określany stosunkiem przekroju prowadzącego wodę do jego obwodu zwilżanego

I – spadek hydrauliczny

Dla potrzeb hydrogeologii Krasnopolski zastosował wzór Chezy do określenia fluacji w środowisku skalnym. Przyjął on takie założenie

C $\sqrt{\mathbf{R}}\mathbf{= K}$

czyli

V= K$\sqrt{\mathbf{I}}$.

Jest to bardzo podobne do wzoru Darcy, ale wartość I jest pod pierwiastkiem. Ten wzór nazywamy Chezy-Krasnopolskiego. K to współczynnik fluacji, który możemy wyznaczyć jedynie doświadczalnie w pracach polowych. Ale w środowisku skalnym sytuacja komplikuje się o tyle, że mamy czasami do czynienia zarówno z filtracją jak i z fluacją. Jeżeli jest dopływ do studni w dobrze przepuszczalnych utworach, to ruch turbulentny jest tylko przy studni.

W związku z tym w hydrogeologii wprowadzono pojęcie tak zwanego ruchu mieszanego Taką filtrację nieliniową opisuje formuła Smrekera–Missbacha, który uogólnił ten problem pisząc ogólne wyrażenie na przepływ, które brzmi:

$$\mathbf{v =}\mathbf{k'I}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}}$$

n – zmienia się od 1 do 2. Jeżeli wstawimy 1 to jest filtracja a 2 to fluacja. Dla ruchu mieszanego mamy wyrażenie 3/2. To jest wtedy filtracja mieszana, czyli odzwierciedlająca zmienność jaka może zachodzić. Okazuje się, że możemy na podstawie analizy wyników próbnych pompowań określić jaki rodzaj filtracji występował przy dopływie do studni (laminarna, turbulentna, mieszana).

Ogólne równanie ruchu wód podziemnych dla filtracji cieczy jednorodnej, nieściśliwej i lepkiej.

Kx…

Kx, y, z – to współczynniki filtracji na osiach x, y i z. Jeżeli mamy izotropowy ośrodek są one równe, ale takie przypadki rzadko się zdarzają

H – wysokość ciśnienia

S – współczynnik pojemności sprężystej

Ss – współczynnik pojemności sprężystej właściwej (czyli przy jednostkowej zmianie ciśnienia)

Jeżeli mamy przepływ poziomy sprawa się upraszcza:

Txd²h/dx² + Ty…

T to współczynnik wodoprzewodności

T = km, m - miąższość, czyli określa nam potencjalną zdolność warstwy wodonośnej do przewodzenia wody. Wymiar to m²/d.

Tu z nam znika i mamy przepływ tylko poziomy.

Filtracja ustalona to taka gdy parametry strumienia podziemnego nie zmieniają się w czasie. Parametry strumienia to np. spadek hydrauliczny. O tym będziemy jeszcze mówić przy omawianiu dopływu do studnia. Filtracja nieustalona to taka, gdy się zmieniają w czasie. Na ogół dochodzi do ustalenia takich warunków, ale nie zawsze. Zupełnie inne wzory służą do analizowania filtracji ustalonej, a inne do nieustalonej. Dopiero w późniejszym okresie wprowadzono możliwość analizy dla filtracji nieustalonej. W polskiej hydrogeologii te rozwiązania pojawiły się dopiero w latach 70 – tych.

Następny wzór mamy jeśli przepływ jest ustalony. Wtedy dh/dt = 0

Czyli ogólny wzór ma postać

Kx=d2h/dx2 +…+….= 0 Jest to równanie Laplace’a. Nie ma rozwiązania analitycznego. Rozwiązuje się je metodą numeryczną.

Klasyfikacja otworów hydrogeologicznych

Czyli studni oraz otworów obserwacyjnych. Musimy zdawać sobie sprawę z tego że badania środowiska skalnego w aspekcie jego parametrów hydrogeologicznych, dokonuje się po odsłonięciu warstwy wodonośnej za pomocą otworów hydrogeologicznych. Do tego służą studnie kopane, studnie wiercone oraz otwory badawcze.

Rozróżniamy trzy rodzaje otworów hydrogeologicznych: poszukiwawcze, badawczo – eksploatacyjne i obserwacyjne. Poszukiwawcze mają małą średnicę. Ich celem jest wstępne rozpoznanie utworów skalnych – ich stratygrafii i litologii – możliwości uzyskania z nich wód podziemnych. Jest to podział uwarunkowany historycznie. Kiedyś żeby zbadać warunki hydrogeologiczne trzeba było wykonać otwór o dużej średnicy. Tylko wtedy można było wykonać pompę głębinową i wykonać próbne pompowanie w celu otrzymania współczynnika filtracji. Technicznie nie było kiedyś pomp o małych średnicach. Kiedyś najmniej to było 15 cm. Otwór musiał mieć zatem co najmniej 20 cm. W tej chwili to się zmieniło. Mamy już pompy które można zamontować do otworów o małej średnicy. W zakładzie mamy 47 milimetrów, czyli można włożyć do otworu nawet 2 – calowego. Kiedyś nie można było zatem wykonywać pompowań w otworach poszukiwawczych.

Otwory badawczo eksploatacyjne zwane też rozpoznawczymi. O dużej średnicy, tak żeby można było zamontować pompę i wykonać próbne pompowania. Na etapie pompownia jest to otwór badawczy, potem zamienia się w studnię. W tym sensie to pozostało, bo jeżeli wykonujemy studnie liczymy na większą wydajność. Studnie robi się, żeby uzyskać co najmniej kilkadziesiąt metrów sześciennych na godzinę, a ta mała pozwala tylko na 2 m³/h. To jest zresztą tylko pompa indukcyjna, bez wirnika.

Trzeci rodzaj to otwory obserwacyjne, popularnie zwane piezometrami. Pojęcie piezometry ma konotację historyczną. One służyły kiedyś tylko do pomiarów ciśnień. Mogą służyć nie tylko jednak do pomiarów ciśnień, ale można wykonywać pomiary fizyczno-chemiczne a także współczynnika filtracji przy zastosowaniu różnych metod. Nazwa ta nie odzwierciedla zatem już funkcji otworu.

Zwierciadło wody zalega zwykle około 10 m pod poziomem terenu. Do 7 m można zastosować pompę powierzchniową. Poniżej musimy stosować pompy głębinowe.

Jeśli chodzi o otwory hydrogeologiczne to mamy kilka podziałów tych otworów. Pierwszy podział to podział na dogłębione i niedogłębione. Dogłębiony to taki, który sięga do spągu warstwy wodonośnej i stropu warstwy izolującej. W angielskim na filtr mówi się screen. Otwór niedogłębiony może być nazywany także wiszącym. Nie zawsze wykonuje się dogłębiony, ze względów ekonomicznych.

Drugi jest podział otworów ze względu na stopień ujęcia wody. Inaczej mówiąc ze względu na stosunek długości filtra do miąższości warstwy wodonośnej. Z tego punktu widzenia wyróżniamy otwory zupełne i niezupełne. W otworze zupełnym filtr jest prowadzony przez całą miąższość warstwy. Takich studni praktycznie się nie robi. W wodach gruntowych prawie wszystkie studnie są niezupełne. Tego typu rozwiązania robi się tylko w przypadku otworów obserwacyjnych albo oczyszczających, np. z utworów ropopochodnych. Każdy otwór niedogłębiony jest otworem niezupełnym, a dogłębiony może być zupełny albo niezupełny. To pojęcie ma tylko znaczenie ogólne. Ale pojecie zupełny i niezupełny ma bardzo duże znaczenie.

No i jeszcze jeden podział otworów. Mianowicie z punktu widzenia dopływu wody do otworu. Z tego punktu widzenia wyróżniamy otwory, gdzie dopływ wody występuje przez ścianki boczne. Są też inne gdzie dopływ jest przez dno. Trzeci to taki, gdzie przez ścianki boczne jak i przez dno. Taki przypadek ma miejsce w studni kopanej. W studniach wierconych dopływ jest przez ścianki boczne głównie.

Jeśli chodzi o otwory badawcze to mogą być pojedyncze i grupowe. Jeżeli są otwory grupowe, nazywamy je badawczym węzłem hydrogeologicznym albo inaczej hydrowęzłem. Taki hydrowęzeł składa się z jednego otworu badawczo eksploatacyjnego i kilku otworów eksploatacyjnych.

W przypadku, gdy znany jest kierunek ruchu wody podziemnej, należy otwory obserwacyjne usytuować w dwu szeregach umieszczonych prostopadle i równolegle do kierunku przepływu. Pełen hydrowęzeł obejmuje studnie i otwory obserwacyjne umieszczono krzyżowo. Węzeł prostokątny składa się tylko z dwóch promieni obserwacyjnych odchodzących od otworu. Gdy kierunek ruchu wody nie jest znany, rozmieszcza się otwory obserwacyjne tak, aby z otworem badawczo-eksploatacyjnym tworzyły trójkąt równoramienny. Po wyznaczeniu kierunku spadku zwierciadła, wyznacza się jeszcze jeden lub dwa otwory obserwacyjne na tym boku trójkąta, który najbardziej zbliżony jest do kierunku ruchu wody. Węzeł taki jest nazywany trójkątnym lub trójkątem Thiema. …..

Tu mamy warstwę wodonośną. Na górze i na dole utwory niewodonośne. Woda przepływa tę warstwą tak jakby jakimś przekrojem. Są równoległe w planie i w przkeorju.

Dalej mamy strumienń poziomo równoległy

Dalej mamy strumień pionowo – równoległy – w planie nie będą równoległe, natomiast w przekroju mogą być pionowe.

Dalej mamy strumienie radialne – to jest strumień dopływu do studni w warstwie o zwierciadle napiętym. Hydroizohipsy mają kształt kolisty. Będzie to dopływ radialny.

Gdy mamy studnię niezupełną, przepływ będzie sferyczny. W planie to wygląda tak samo, ale przekrój jest inny. W studni gdzie filtr zajmuje tylko fragment warstwy – strumienie napływają sferycznie. Gdy filtr ma bardzo małą miąższość przepływ sferyczny wygląda tak że jest dopływ do jednego punktu tylko.

Może być nierównoległy zarówno w planie jak i w przekroju. Taka sytuacja występuje, gdy mammy studnię w pobliżu granicy zasilającej. Gdy jest ciek i obok mamy zlokalizowaną studnię, strumieni dopływu wyglądają. Wreszcie strumień nieregularny to taki gdzie mamy zróżnicowanie – jest ciek i dopływ do cieku .

Także widzimy, że te strumienie mogą mieć różny charakter i ma to swoje istotne znaczenie przy strumieniach hydrogeologicznych. Czyli pierwszy problem przy schematyzacji to jest określenie rodzaju strumienia.

Druga cecha to określenie czy zwierciadło ma charakter swobodny czy napięty. Osobne wzory są dla swobodnego i napiętego. Musimy też uwzględniać warunki zasilania i drenażu. Pomimo pewnych wahań sezonowych najczęściej przyjmuje się pewne stałe położenie zwierciadła.

Następny problem to odległości do granic jednostki hydrogeologicznej i odległość do takich elementów jak źródła czy studnie oraz określenie zasięgu depresji wywołanej pompowaniem w stosunku do granic jednostki. Granice jednostek musimy sprowadzić do granic geometrycznych – prostej albo koła. Jeżeli zasięg depresji jest mniejszy w stosunku do granic jednostki, przyjmuje się że granica jest położona w nieskończoności.

Jeśli chodzi o granice jednostek, trzeba zdawać sobie sprawę że wyróżniamy dwa rodzaje granic: fizyczne i hydrodynamiczne. Granice fizyczne to po prostu jest granica wynikająca z tego że warstwa się kończy. Jeśli mamy np. jednostkę w dolinie jakiejś to w pewnym momencie kończy się ona i jest ograniczona warstwami niewodonośnymi. Granicę hydrodynamiczną stanowią elementy drenażu, np. rzeka znajdująca się w związku z warstwą wodonośną.

Jeśli chodzi o jednostki hydrogeologiczne którymi się zajmujemy mogą być one nieograniczone albo ograniczone, przy czym mogą być ograniczone jednostronnie, dwustronnie albo wielostronnie. Jednostka nieograniczona to taka, której zasięg depresji jest mniejszy niż granice. Jej rozmiar zaznaczamy do nieskończoności.

Mogą być również jednostki półograniczone – jeżeli mamy studnię przy rzece, to musimy tę rzekę sprowadzić do jakiejś granicy liniowej i w przekroju będzie to np. taki układ, że mamy zwierciadło statyczne a w wyniku poboru wód wytworzy się lej depresyjny. I to jest jednostka półograniczona. Może być także jednostka półograniczona granicą fizyczną.

Dalej mamy jednostki ograniczone dwustronnie. To mamy gdy jest granica fizyczna z jednej strony np. a a drugiej strony granica fizycznaj.

Wreszcie możemy mieć jednostki ograniczone wielostronnie. Ostatni przypadek to jednostka ograniczona wielostronnie to wyspa. Na wyspie jest studnia a dookoła mamy wodę. Musimy wtedy granicę sprowadzić do koła – inaczej nie da się wykonać obliczeń. Jeśli wyspa jest na morzu, może dopływać woda słona.

W dalszej kolejności należy określić reżim przepływu wod – a mianowicie czy ruch jest laminarny, turbulentny czy mieszany. Można tego dokonać na podstawie analizy pompowań.

Dalej musimy sprawdzić czy mamy ruch ustalony czy nieustalony. Często musimy też usprawnić parametry hydrogeologiczne niejednorodnych i anizotropowych warstw i sprowadzić je do jednorodnych i pseudoizotropowych.

Warstwowość możemy pominąć w warunkach ustalonych jeśli

(Δk)/k₁ + k₂ ≤ ½

Delta m/m₁ + m₂) mniejsze lub równe ½

Jeśli nie ma takich regularności stosujemy średnią arytmetyczną albo ważoną.

Obliczenia wielkości dopływu do studni

Zwierciadło wody w warunkach zwierciadła swobodnego. Mamy lej depresyjny.

H – h = s

S – depresja – obniżenie zwierciadła w studni

h – wysokość zwierciadła wody w studni

H – miąższość warstwy wodonośnej

R – odległość od osi otworu do miejsca gdzie obniżenie zwierciadła wody łączy się ze zwierciadłem statycznym to lej depresyjny. Teoretycznie zasięg leja depresyjnego dąży do nieskończoności, ale w rzeczywistości w pewnej odległości depresja praktycznie zanika. Przyjmuje się odległość praktyczną.

Jeżeli z otworu pompujemy stałą ilość wody Q i między trzema wartościami to jest Q, s i R ustali się równowaga czyli będą one stałe w czasie, to mówimy że jest ruch ustalony. Ruch jest zawsze nieustalony w pierwszym okresie pompowania potem ustala się na pewnym poziomie. Dopiero kiedy depresja będzie stała przy stałej wydajności to mówimy że ruch jest ustalony. Wzory na dopływ do studni w warunkach filtracji ustalonej wyprowadził jako pierwszy francuz Dupuit opierając się na wzorze Darcy. Założenia jakie musiał przyjąć Dupuit żeby wyprowadzić równanie krzywej depresji :

• Strumień – w przypadku warstwy o zwierciadle swobodnym jest to w rzeczywistości strumień sferyczno radialny, czyli następuje zakrzywienie strumienia przepływu przy studni. Dupuit przyjął że strumień jest płasko – radialny. Zakrzywienia strumienia komplikuje obliczenia bo powoduje to stratę energii.

• Miąższość warstwy wodonośnej jest stała

• Warstwa wodonośna jest pozioma

• Zwierciadło wody jest poziome przed eksploatacją. Nie ma spadku hydraulicznego.

• Warstwa wodonośna jest jednorodna po względem przepuszczalności ky=kz=kx= k

• Studnia jest zupełna

• Promień studni jest mały. Pominięte są problemy ruchu masy wody w studni. Typowa studnia ma średnicę 30 – 50 cm, wtedy uznajemy że promień jest mały i możemy pominąć ruch masy wody w studni.

• Warstwa jest nieograniczona

Przy takich założeniach Dupuit wyprowadził wzór na dopływ do studni wychodząc ze wzoru Darcy, Q= Fv

---

1. Lepkość obniża się silnie wraz ze wzrostem temperatury↩

2. Zmienia się stosunkowo nieznacznie wraz z temperaturą↩

3. Czyli zbliżoną do wody o temperaturze 20°C↩