Do opisu ruchu po okręgu, oprócz prędkości liniowej służy prędkość kątowa ω. Prędkością kątową nazywamy stosunek kąta Δφ, jaki został zakreślony przez wektor położenia ruchu materialnego, do czasu, w którym to nastąpiło.
$$\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}$$
Między prędkością liniową, a kątową zachodzi związek:
V = ω*r
Prędkość kątową możemy również wyznaczyć ze wzorów:
$$f = \frac{1}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$
T- okres obiegu po okręgu
f- częstotliwość obiegu
Podstawową rolę w dynamice ruchu obrotowego bryły sztywnej odgrywają momenty sił względem wybranej osi obrotu.
Moment $\overrightarrow{M}$ siły $\overrightarrow{R}$ względem osi obrotu przechodzącej przez punkt O jest wektorem
$$\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r}*\overrightarrow{F}$$
którego kierunek jest zgodny z kierunkiem osi obrotu, o wartości równej
M = r0F = Frsinα
i zwrocie wyznaczonym regułą śruby prawoskrętnej.
r- odległość od osi obrotu
I zasada dynamiki ruchy obrotowego:
Jeśli na bryłę sztywną działają siły, których suma momentów względem osi obrotu jest równa zero, to ciało pozostaje w spoczynku lub obraca się ruchem obrotowym jednostajnym.
II zasada dynamiki ruchu obrotowego:
Jeśeli na bryłę sztywną działa stały moment siły, to bryła obraca się ruchem przyspieszonym, w którym przyspieszenie kątowe ε jest wprost proporcjonalne do przyłożonego momentu siły M.
$$\overrightarrow{\varepsilon} = \frac{\overrightarrow{M}}{I}$$
I – moment bezwładności ciała
Moment bezwładności jest to miara bezwładności w ruchu obrotowym względem ustalonej osi obrotu. Im większy moment bezwładności, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała np.: zmiejszyć prędkość kątową ciała.
$$I = \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}{r_{i}}^{2}}$$
Twierdzenie Steinera: moment bezwładności I względem dowolnej osi, równoległej do osi przechodzącej przez środek masy, wyznaczamy ze wzoru:
I = I0 + m * d2
I0 – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy
d- odległość między osiami
Moment pędu jest wektorem skierowanym wzdłuż osi obrotu zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.
$$\overrightarrow{L} = I*\overrightarrow{\omega}$$
Zasada zachowanie momentu pędu mówi nam o tym, że jeśli na bryłę sztywną nie działa żaden moment siły lub działające momenty sił równoważą się, to moment pędu bryły pozostaje stały.
$\overrightarrow{M} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \overrightarrow{L} = const.\ \ \ $lub $I\overrightarrow{\omega} = const.$
Srodek masy jest to, zdefiniowany dla każdego układu ciał, punkt w przestrzeni, posiadający własności pojedynczego ciała o masie równej sumie mas ciał tworzących układ.
$$\overrightarrow{\varepsilon} = \frac{\overrightarrow{M}}{I}$$
oraz wyznaczenie momentu bezwładności przyrządu do badania ruchu obrotowego.
W doświadczeniu posługujemy się przyrządem do badania ruchu obrotowego PBRO. Składa się on z metalowego walca, osadzonego na łożyskach kulkowych, który może się obracać się wokół osi OO’. Na walec nawinięta jest nić. Do walca przytwierdzone są cztery pręty stalowe, do których przymocowane są mniejsze obciążniki. Obciążniki można przemieszczać wzdłuż prętów, co powoduje zmianę momentu bezwładności urządzenia. Obciążając nić masą m wprowadzamy przyrząd w ruch obrotowy.
Wyniki pomiarów zamieszczone w tabelce:
| l.p. | d=0,04 m | d=0,06 m | d=0,095 m | d=0,105 m |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 4,2 | 5,6 | 6 | 6,8 |
| 2 | 4,2 | 5,4 | 6 | 7 |
| 3 | 4,2 | 5,2 | 6,2 | 6,8 |
| 4 | 4,6 | 5,4 | 6,2 | 6,8 |
| 5 | 4,4 | 5,2 | 6 | 7 |
| 6 | 4,6 | 5 | 6,2 | 6,9 |
| Suma= | 26,2 | 31,8 | 36,6 | 41,3 |
| średnia= | 4,366666667 | 5,3 | 6,1 | 6,883333333 |
Obliczenia wykonane metodą najmniejszych kwadratów:
| x (d^2) | y (t^2) | x^2 | xy | y^2 | x+y | (x+y)^2 | (y-ax-b)^2 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,0016 | 19,06777778 | 0,00000256 | 0,030508444 | 363,5801 | 19,06938 | 363,6412 | 1,598696442 |
| 2 | 0,0036 | 28,09 | 0,00001296 | 0,101124 | 789,0481 | 28,0936 | 789,2504 | 5,799871034 |
| 3 | 0,009025 | 37,21 | 8,14506E-05 | 0,33582025 | 1384,584 | 37,21903 | 1385,256 | 8,894232094 |
| 4 | 0,011025 | 47,38027778 | 0,000121551 | 0,522367563 | 2244,891 | 47,3913 | 2245,936 | 3,379800819 |
| suma= | 0,02525 | 131,7480556 | 0,000218521 | 0,989820257 | 4782,103 | 131,7733 | 4784,083 | 19,67260039 |
Zatem wartości A i B wyliczamy z poniższych wzorów:
Za pomocą metody najmniejszych kwadratów wyznaczamy prostą (y = Ax + B) o wzorze t^2=2674,8(d^2)+16.
Na podstawie otrzymanego wzoru wyznaczamy współczynnik A= 2674,8 oraz współczynnik B=16,05.
Natomiast współczynnik korelacji wynosi R = 0,9778547, czyli jest blisko wartości 1, a więc zależność między X i Y jest praktycznie liniowa.
Teraz wyliczamy wartości odchyleń Sa i Sb stałych A i B z poniższych wzorów:
Stąd znane są wartości Sa i Sb, które wynoszą odpowiednio Sa = 407,86 i Sb = 9,09.
Obliczamy teraz wartość I0 ze wzoru na B, który jest podany w instrukcji:
| B= | 16,05254594 |
|---|---|
| g= | 9,81 |
| s= | 1,3 |
| r= | 0,025 |
| m= | 0,169 |
| delta r= | 0,0001 |
| delta g= | 0 |
| delta s= | 0,02 |
| delta m= | 0,001 |
| delta B= | 0,57 |
I0 = 6, 4 * 10−3 [kg*m2]
Teraz liczymy ΔI0 (przekształcenia i obliczenia zamieszczone na osobnej kartce):
| Io= | 0,0064 |
|---|---|
| dIo/dB= | 0,000398531 |
| dIo= | 0,000227163 |
| dIo/ds= | 0,00143274 |
| dIo= | 2,86548E-05 |
| dIo/dr= | 0,043720774 |
| dIo= | 4,37208E-06 |
| dIo/dm= | 0,005896347 |
| dIo= | 5,89635E-06 |
| delta Io= | 0,000266086 |
| delta Io/Io= | 0,041575943 |
Przyspieszenie kątowe ε maleje wraz ze wzrostem momentu bezwładności.
Wartość momentu bezwładności wynosi : (6, 4−+0,2) * 10−3 [kg * m2]
Wraz ze wzrostem odległości d między ciężarkami wzrasta czas opadania ciężarka umieszczonego na nici.
Im większy promień walca, na który nawinięta jest nić, tym większy moment bezwładności.
Im dłuższa nić, tym mniejszy moment bezwładności.