Równanie stanu gazu doskonałego a teoria kinetyczno molekularna

Wedle JJ to bym to raczej ujął jako Kinetyczna Teoria Gazu Doskonałego

Założenia Kinetycznej Teorii Gazu Doskonałego:

1. Cząsteczki gazu poruszają się bezładnie po linach prostych

2. Ich liczba jest bardzo duża

3. Ich objętość jest zaniedbywalnie mała

4. Oddziałują tylko w zderzeniach sprężystych

Ciśnienie gazu doskonałego(dla chętnych opcjonalne wyprowadzenie)

Uwaga: nie mylić Δp_x(zmiany pędu) z p(ciśnieniem)!!!

Dalszy ciąg wyprowadzenia:

η – gęstość cząsteczek w cm^-3= $\frac{N}{l^{3}}$ gdzie N to ilość cząsteczek p=$\frac{N \times m_{d} \times \left\langle {V_{x}}^{2} \right\rangle}{l^{3}} = \eta \times m_{d} \times \left\langle {V_{x}}^{2} \right\rangle$

⟨V²⟩ = ⟨V_x²⟩ + ⟨V_y²⟩ + ⟨V_z²⟩ -bezładny ruch ogromnej liczby cząsteczek

ponieważ zakładamy iż $\left\langle {V_{x}}^{2} \right\rangle = \left\langle {V_{y}}^{2} \right\rangle = \left\langle {V_{z}}^{2} \right\rangle = \frac{\left\langle V^{2} \right\rangle}{3}$ możemy zapisać więc:

p=$\ \frac{\eta \times m_{d} \times \left\langle V^{2} \right\rangle}{3}$=$\frac{\rho \times \left\langle V^{2} \right\rangle}{3}$

Gdy w zbiorniku z ruchomym tłokiem znajdują się dwa gazy w stanie równowagi to T₁=T₂ (1) i p₁=p₂:

$\ \frac{\eta_{1} \times {m_{d}}_{1} \times \left\langle {V_{1}}^{2} \right\rangle}{3}$=$\ \frac{\eta_{2} \times {m_{d}}_{2} \times \left\langle {V_{2}}^{2} \right\rangle}{3}$ (2)

A energie kinetyczne cząstek wynoszą odpowiednio:

$\frac{{m_{d}}_{1} \times \left\langle {V_{1}}^{2} \right\rangle}{2}$=$\frac{{m_{d}}_{2} \times \left\langle {V_{2}}^{2} \right\rangle}{2}$ (3)

Dzieląc równania (2) i (3) stronami otrzymamy więc: η₁=η₂

Z kolei(3) i (1):

$\frac{{m_{d}}_{1} \times \left\langle {V_{1}}^{2} \right\rangle}{T_{1}}$=$\frac{{m_{d}}_{2} \times \left\langle {V_{2}}^{2} \right\rangle}{T_{2}}$=const=3k

I tak oto doszliśmy do wspaniałej zależności na energię kinetyczną:

⟨E_k⟩=$\frac{m_{d} \times \left\langle V^{2} \right\rangle}{2} = \frac{3kT}{2}$

gdzie k to stała Bolzmana= 1,38*10^-23J/K

Z równań na ciśnienie(powyżej podane) i temperaturę: uwaga to równanie!!! $\frac{m_{d} \times \left\langle V^{2} \right\rangle}{2} = \frac{3kT}{2}$ otrzymujemy w końcu:

p= ηkT!!!!!!!!! lub mnożąc razy V(objętość) równanie stanu gazu doskonałego:

$$pV = \eta VkT = NkT\frac{N_{A}}{N_{A}} = n\left( kN_{A} \right)T$$

wiemy iż ηV = N bo odpowiada to liczbie znajdujących się cząsteczek, a dzięki trikowi z dzieleniem i mnożeniem przez N_A wykorzystujemy to by zastosować proste przekształcenie

kN_A = R to oczywiście stała gazowa, więc:

pV= nRT!!!!!!

Zasada ekwipartycji energii. Molowe ciepła właściwe gazów

To nic innego jak kilka prostych zależności:

Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki to wyprowadzony powyżej wzór:

⟨E_k⟩=$\frac{m_{d} \times \left\langle V^{2} \right\rangle}{2} = \frac{3kT}{2}$ => $\frac{\left\langle E_{k} \right\rangle}{3} = \frac{\text{kT}}{2}$ wynika z tego iż na każdy stopień swobody (ruch ma 3 stopnie swobody) przypada energia $\frac{\text{kT}}{2}$

Założenia:

1. Drobiny wieloatomowe- magazynowanie energii w ruchu obrotowym +3 stopnie swobody

2. Drobiny 2-atomowe 5, a 3-atomowe i większe 6 stopni swobody

3. Opcjonalnie energia ruchu drgającego

4. Większe drobiny gromadzą więcej energii $\langle\text{Ek}\rangle = i\frac{\text{kT}}{2}$, ponieważ posiadają większe ciepło właściwe [J/kgK]

5. Ciepło właściwe(dla gazów):

• przy stałym ciśnieniu Cp [J/molK]

• przy stałej objętości Cv [J/molK]

$$\mathbf{C}_{\mathbf{V}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{N}_{\mathbf{A}}\left\langle \mathbf{E}_{\mathbf{k}} \right\rangle}{\mathbf{T}}\mathbf{= i}\frac{\mathbf{\text{kT}}\mathbf{N}_{\mathbf{A}}}{\mathbf{2T}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{iR}}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 4,16i}$$

Stosunek Cp/Cv nazywamy wykładnikiem adiabaty czyli przemiany gazowej bez zmiany Q. Dla gazów doskonałych Cp-Cv=R.

Praca i ciepło w termodynamice. I Zasada Termodynamiki

1. Ciepło- postać energii przenoszonej pomiędzy ciałami dzięki różnicy temperatur

2. Praca mechaniczna może się zmieniać w procesach termodynamicznych na ciepło i na odwrót.

Praca:(cylinder z ruchomym tłokiem, sprężanie gazu)

dW=Fds=pSds gdzie S to powierzchnia dna naczynia a ds. to różniczka drogi

dW=pdW

W = ∫_V1^V2pdV praca jest zależna od drogi procesu( z termodynamiki nie jest dW tylko deW, ale to tylko taka ciekawostka)

Q- ciepło jest również zależne od drogi procesu

Natomiast różnica pomiędzy nimi już nie, zależy ona tylko od stanu początkowego i końcowego:

U = Q − W U to energia wewnętrzna- funkcja stanu

(1) Q = U + W=U_k−U_p+W gdzie U_k to en. wew. na końcu a U_p na początku procesu

Umowa: Q>0 dostarczone W>0 praca wykonana przez układ

Energia wewnętrzna:

$$U = N\left\langle E_{k} \right\rangle = \frac{i}{2}kTN = \frac{i}{2}\text{kT}N_{A}n$$

$$U = nR\frac{i}{2}T = nC_{V}T$$

U = nC_VT!!!!!!

Pojemność cieplna:

$$C = \frac{Q}{T}\ \lbrack\frac{J}{K}\rbrack$$

Ciepło właściwe:

$$c = \frac{C}{m} = \frac{Q}{mT}\ \lbrack\frac{J}{\text{kgK}}\rbrack$$

I zasada termodynamiki a przemiany fazowe(wszędzie wzór (1))

• izochora

U = nC_VT jedynie co się zmienia we wzorze to przy U,T

W = ∫_V1^V2pdV V₁=V₂ więc W=0 co prowadzi do zapisu:

Q= nC_VT

• izobara

U = nC_VT

W = ∫_V1^V2pdV = p∫_V1^V2dV = p(V₂−V₁) = pV

Q = nC_VT + pV = nC_VT + nRT = nC_pT

bo za pV=nRT

C_p = C_V + R

• izoterma

U = nC_VT = 0 bo temperatura się nie zmienia

$$W = \int_{V1}^{V2}\text{pdV} = \int_{V1}^{V2}{\frac{\text{nRT}}{V}dV = nRT\int_{V1}^{V2}{\frac{1}{V}\text{dV}}} = nRTln\frac{V_{2}}{V_{1}}$$

więc:

$$Q = \text{nRTln}\frac{V_{2}}{V_{1}}$$

• adiabata

Q = 0 co prowadzi do następujących przekształceń

U = nC_VT

Q = U + W

W = Q − U = −U