Przez cel nauczania rozumie się przewidywane lub pożądane zmiany w sposobie myślenia lub działania uczniów, do których zmierzają decyzje i czynności n-la. W nauczaniu matematyki można wyróżnić dwa podstawowe cele ogólne:

1. Opanowanie przez uczniów wiadomości i umiejętności użytecznych w życiu codziennym i w pracy zawodowej.

2. Rozwijanie myślenia abstrakcyjnego i rozumowania.

Dwie kategorie celów nauczania matematyki:

1. Poznawcze – kompetencje, postawy, nawyki.

2. Wychowawcze – postawy i nawyki kształtowane przez społeczne treści matematyki.

Poziomy celów poznawczych:

I rzędu – poziom najwyższy – cele ogólne, umiejętności i postawy potrzebne współczesnemu człowiekowi niezależnie od dziedziny jego działalności, czyli:

• UmiejÄ™tność uczenia siÄ™ z wykorzystaniem różnych źródeÅ‚ informacji używajÄ…cych jÄ™zyka matematyki;

• UmiejÄ™tność logicznego argumentowania;

• UmiejÄ™tność matematyzowania, czyli schematyzowania rzeczywistoÅ›ci z użyciem pojęć i jÄ™zyka matematyki;

• Aktywna i twórcza postawa wobec problemów teoretycznych, w szczególnoÅ›ci tych sformuÅ‚owanych z użyciem jÄ™zyka matematyki.

II rzędu – poziom średni – cele specyficzne, umiejętności i postawy specyficzne dla działalności matematycznej, czyli:

• UmiejÄ™tność klasyfikowania, definiowania i posÅ‚ugiwania siÄ™ definicjÄ…;

• UmiejÄ™tność uogólniania przykÅ‚adów i uzyskiwania potrzebnej informacji szczególnej z ogólnych reguÅ‚;

• UmiejÄ™tność formuÅ‚owania twierdzeÅ„, ich logicznego przeksztaÅ‚cania i zaprzeczania oraz sprawdzania na przykÅ‚adach.

III rzędu – najniższy – wyniki nauczania wiadomości, umiejętności, sprawności matematycznych określonych programem nauczania, czyli:

• Znajomość wÅ‚asnoÅ›ci liczb i dziaÅ‚aÅ„ oraz wykresów elementarnych funkcji;

• Znajomość wÅ‚asnoÅ›ci elementarnych figur geometrycznych, przeksztaÅ‚ceÅ„ i relacji pomiÄ™dzy figurami, umiejÄ™tność ich wyrażania w jÄ™zyku geometrycznym i algebraicznym oraz umiejÄ™tność posÅ‚ugiwania siÄ™ tÄ… wiedzÄ…, jak również wyobraźniÄ… przestrzennÄ… do modelowania stosunków przestrzennych.

Elementy kultury matematycznej:

1. Wiadomości racjonalnie wybrane i zorganizowane, treści zintegrowane;

2. Rozumienie matematyki jako nauki o wieloznacznych schematach, rozumienie stosunku matematyki do innych dziedzin;

3. Rozumienie prostych pojęć matematycznych;

4. Elementarne doświadczanie w działaniu matematycznym, abstrahowanie, schematyzowanie, dedukcja, posługiwanie się językiem matematycznym i modelami;

5. Umiejętność poprawnego formułowania myśli;

6. Opanowanie pewnych elementów techniki uczenia się, w szczególności samokontroli, krytycyzmu.

TAKSONOMIA CELÓW (hierarchiczny schemat klasyfikacji celów nauczania):

Kat. A – zapamiętywanie wiadomości

Kat. B – zrozumienie wiadomości

Kat. C – stosowanie wiadomości w sytuacjach typowych

Kat. D – stosowanie wiadomości w sytuacjach problemowych

Taksonomia celów nauczania matematyki wg Krystyny Wojciechowskiej

POZIOM	KATEGORIA	PODKATEGORIA
I WIADOMOŚCI	A Zapamiętanie wiadomości	A1. rozpoznawanie i nazywanie faktów
		A2. odczytywanie i zapisywanie faktów
		A3. odtwarzanie poznanych faktów
	B Zrozumienie wiadomości	B1. rozumienie czynności porównywania, porządkowania i klasyfikacji
		B2. rozumienie związków między działaniami oraz własności działań
		B3. rozumienie pojęć matematycznych
II UMIEJĘTNOŚCI	C Stosowanie wiadomości w sytuacjach typowych	C1. um. porównywania, porządkowania i klasyfikacji
		C2. um. posługiwania się związkami między działaniami oraz własnościami działań w praktyce
		C3. um. wykonywania w pamięci i pisemnie czterech podstawowych działań arytmetycznych
		C4. um. rozwiązywania zadań typowych
	D Stosowanie wiadomości w sytuacjach problemowych	D1. um. schematyzacji i matematyzacji konkretnych problemów
		D2. um. zmiany formy zadania na inną równoważną
		D3. um. abstrahowania oraz dokonywania uogólnień
		D4. um. konkretyzacji problemów matematycznych
		D5. um. rozwiązywania zadań problemowych

Taksonomia celów nauczania matematyki wg J. Nowika

A Zapamiętanie wiadomości	A1. Pamiętanie terminów (np.. Nazw liczebników, figur geometrycznych, jednostek miary)
	A2. Pamiętanie faktów (zapisywanie liczb cyframi i słowami, rozpoznawanie figur geometrycznych
B Rozumienie wiadomości	B1. Intuicyjne rozumienie pojęć (np.. Zbioru, figury geometrycznej)
	B2. Praktyczne rozumienie pojęć i reguł (działań dziesiątkowego układu pozycyjnego, prostopadłości)
C Umiejętności stosowania wiadomości w sytuacjach prostych - typowych	C1. um. analizowania sytuacji - zadań (np.. Wyodrębnianie danych i niewiadomych)
	C2. um. stosowania praw, reguł i algorytmów (np.. Wykonywanie działań w rachunku pamięciowym i pisemnym)
D Umiejętności stosowania wiadomości w sytuacjach problemowych	D1. um. dostrzegania i formułowania problemu (np.. Ułożenie zadania tekstowego do obrazka)
	D2. um. zmiany formy zadania na inną równoważną
	D3. um. rozwiązywania zadań różnymi metodami
	D4. um. wyboru optymalnej metody rozwiÄ…zania zadania
	D5. um. uzasadniania
	D6. um. rozwiązywania zadań nieschematycznych - problemowych
	D7. um. dokonywania syntezy (np.. Zapisu rozwiązania zadania w postaci ciągu działań)

Każde zajęcia powinny obejmować:

I – część wstępna – przygotowująca i ukierunkowująca pracę uczniów, zawierająca czynności organizacyjne, porządkowe, sprawdzenie pracy domowej

II – ćwiczenia w kształtowaniu umiejętności i biegłości pamięciowej (rachunek pamięciowy), a także powtarzanie wiadomości

III – część główna – uwarunkowana doborem strategii metod nauczania – uczenia się

IV – część końcowa – podsumowująca, systematyzująca, włączająca nowe struktury do tych wcześniej opanowanych

Strategie nauczania matematyki: nauczanie:

1. Realistyczne

2. Czynnościowe

3. Problemowe

R. Więckowski – strategia wielostronnego nauczania – proces nauczania – uczenia się opiera się o:

P (problem) – odkrywanie

O (operowanie) – działanie

A (asocjacja) – przyswajanie

E (emocje) – przeżywanie

Typy lekcji wg Okonia:

1. Zajęcia kombinowane obejmujące kilka momentów procesu nauczania

2. Zajęcia wprowadzające nowy materiał

3. Zajęcia utrwalające wiadomości

4. Zajęcia mające na celu uogólnienie i usystematyzowanie materiału

5. Zajęcia poświęcone kształtowaniu umiejętności i nawyków

6. Zajęcia sprawdzające wiadomości

Przygotowanie dziecka do uczenia się matematyki (dojrzałość, gotowość) – trzy grupy pojęć, do których dziecko musi dojrzeć:

1. Pojęcie liczby całkowitej w dziesiątkowym układzie pozycyjnym

2. Działania arytmetyczne

3. Prawa działań matematycznych

Elementy składające się na dojrzałość psychiczną dziecka do uczenia się matematyki:

• Odpowiedni poziom operacyjnego rozumowania

• Åšwiadomość, w jaki sposób należy poprawnie liczyć przedmioty

• Stosunkowo wysoki poziom odpornoÅ›ci emocjonalnej na sytuacje trudne

• Należyta sprawność manualna, percepcja oraz koordynacja wzrokowo – ruchowa

Elementy rozwoju poznawczego: UWAGA, SPOSTRZEŻENIA, PAMIĘĆ, MYŚLENIE

Poprawne dziecięce liczenie przedmiotów:

• Wskazywanie gestem kolejnych liczonych przedmiotów i wypowiadanie kolejnych liczebników

• Nie wolno pomijać przy liczeniu żadnego przedmiotu, ani żadnego liczyć dwa razy

• Liczebniki należy wypowiadać w staÅ‚ej kolejnoÅ›ci

• Ostatni z liczebników ma specjalne znaczenie – okreÅ›la liczbÄ™ liczonych obiektów

• Wynik liczenia nie zależy od kolejnoÅ›ci

Cechy pamięci korzystne w uczeniu się matematyki: szybkość zapamiętywania, trwałość pamięci, łatwość odtwarzania (przypominania), pojemność pamięci, wierność pamięci

STADIA ROZWOJU MYÅšLENIA wg Piageta:

1. Okres sensoryczno – motoryczny (inteligencji sensorycznej) – od ur. do 2 r. ż., pojawia się świadomość stałości przedmiotów oraz progresywna decentracja (dz. zaczyna mieć świadomość, że poza nim świat też istnieje) – stadia okresu: ćwiczenia odruchów, rozwijanie schematów, odkrywanie procedur, zachowania intencjonalne, stadium nowości

2. Okres przedoperacyjny – od 2 do 6/7 r. ż., pojawia się większa ilość reprezentacji i zdolność do tworzenia funkcji symbolicznych

3. Okres operacji konkretnych – od 6 do 12 r. ż., dz. zaczyna myśleć logicznie, matematycznie, zaczyna wykorzystywać liczmany, kształtowanie się ogólnego systemu logicznego oraz pojęć: stałości, klasy, relacji; pojawiają się operacje myślowe pozwalające na logicznie rozwiązywanie problemów (między 6 a 7 r. ż. Następuje przełomowy moment w rozwoju myślenia dziecka – pojawiają się pierwsze operacje konkretne)

4. Okres operacji formalnych – sposób myślenia się nie zmienia- pojawia się rozumowanie hipotetyczno – dedukcyjne; operacje przybierają postać jedynie działania umysłowego w oderwaniu od konkretów

ZDOLNOŚCI to poszczególne właściwości psychiczne będące warunkiem pomyślnego wykonania jakiegoś zadania, np. spostrzegawczość, pamięć wzrokowa, wyobraźnia przestrzenna. Zespolenie kilku zdolności, które zapewnia uczniowi osiągnięcie sukcesu nazywamy UZDOLNIENIEM w danym kierunku. Wysoki stopień uzdolnienia nazywamy TALENTEM. Uzdolnienie ogólne utożsamia się z inteligencją.

Inteligentne zachowanie wymaga od ucznia:

1. Wiernego i dokładnego poznania nowej sytuacji (problemu)

2. Rozpoznania jego cech i trudności

3. Porównania obrazów problemu z doświadczeniami, wiedzą i praktyką

4. Ustalenie sposobów postępowania wiodących do celu (rozwiązania)

Struktura zdolności to ściśle powiązane ze sobą składniki, które tworzą jednolity model, jakim jest matematyczny typ umysłowości.

Wg Krutieckiego na uzdolnienie matematyczne składają się:

• Szybkość procesów myÅ›lowych

• ZdolnoÅ›ci obliczeniowe

• Pamięć do cyfr, liczb, wzorów

• Wyobraźnia przestrzenna

• ZdolnoÅ›ci naocznego wyobrażania abstrakcyjnych stosunków i zależnoÅ›ci matematycznych

Zainteresowania i skłonności do rozwiązywania zadań matematycznych, jak również uzdolnienia matematyczne, pojawiają się w życiu dziecka bardzo wcześnie. Wysokim osiągnięciom i wydajności w matematyce towarzyszy mała podatność na zmęczenie w czasie tych działań. W rozwoju dziecka uzdolnionego matematycznie bardzo wcześnie pojawia się zdolność do spostrzegania zjawisk w kategoriach stosunków matematycznych.

Struktura uzdolnień matematycznych wg Kotlarskiego: zdolność:

1. uogólniania

2. rozumowania matematycznego, a więc logicznego myślenia na materiale matematycznym

3. giętkiego myślenia w obrębie materiału matematycznego

4. skracania ogniw myślenia

5. zmiany kierunku myślenia w zależności od potrzeb i sytuacji

6. dążenia do jasności, prostoty i ekonomiki rozwiązań

Struktura zdolności matematycznych (schemat):

1. odbieranie informacji matematycznej

1. zdolność postrzegania (dostrzegania) materiału matematycznego

2. zdolność pojmowania (chwytania) struktury formalnej zadania

1. przeróbka informacji matematycznej

1. zdolność logicznego myślenia za pomocą symboli matematycznych

2. zdolność (szybkiego i szerokiego) uogólniania materiału matematycznego

3. zdolność myślenia strukturami zredukowanymi

4. zdolność giętkiego myślenia

5. zdolność (szybkiego i dowolnego) zmieniania kierunku myślenia

6. zdolność plastycznego myślenia w działaniu matematycznym

1. przechowywanie informacji matematycznej

1. pamięć matematyczna

1. ogólny składnik syntetyczny

1. matematyczne ukierunkowanie umysłu

Uczeń wybitnie uzdolniony charakteryzuje się: łatwością uczenia się, inteligencją ogólną, wyraźnym talentem do określonego przedmiotu szkolnego, pilnością.

Rozwijanie zdolności matematycznych w nauczaniu początkowym poprzez organizowanie takich sytuacji, które pozwalają uczniowi:

• podejmować i kontynuować dziaÅ‚alność matematycznÄ… z wÅ‚asnej chÄ™ci i w poczuciu odpowiedzialnoÅ›ci

• odczuwać satysfakcjÄ™ z wÅ‚asnej aktywnoÅ›ci matematycznej i z jej wyników

• doznawać w trakcie uczenia siÄ™ matematyki poczucia swobody, bezpieczeÅ„stwa i podmiotowoÅ›ci

• Å›wiadomie projektować i wykonywać oraz sprawdzać i oceniać wÅ‚asne pomysÅ‚y matematyczne, a także wÅ‚ożone wysiÅ‚ki i osiÄ…gniÄ™te wyniki

• osiÄ…gać poprzez wÅ‚asnÄ… aktywność matematycznÄ… coÅ› nowego i wartoÅ›ciowego dla siebie oraz mieć Å›wiadomość odkrycia lub stworzenia pożytecznej nowoÅ›ci matematycznej samodzielnym wysiÅ‚kiem

Metoda nauczania – celowo i systematycznie stosowany sposób pracy nauczyciela z uczniami, który umożliwia uczniom opanowanie wiedzy wraz z umiejętnością posługiwania się nią w praktyce, jak również rozwijanie zdolności i zainteresowań poznawczych uczniów. Podział metod:

• metody oparte na sÅ‚owie: wykÅ‚ad, opowiadanie, pogadanka, opis, dyskusja, praca z książkÄ…;

• metody oparte na obserwacji i pomiarze: pokaz, pomiar;

• metody oparte na praktycznej dziaÅ‚alnoÅ›ci uczniów: laboratoryjna, zajęć praktycznych;

• metody aktywizujÄ…ce: burza mózgów, sytuacyjna, inscenizacji, problemowa itp.

Środki dydaktyczne (wg Więckowskiego) – przedmioty, które dostarczają uczniom określonych bodźców sensorycznych oddziałujących na ich wzrok, słuch, dotyk, ułatwiają im bezpośrednie i pośrednie poznawanie rzeczywistości. Ich stosowanie warunkowane jest celami, zasadami, metodami i formami nauczania oraz treściami programowymi i wiekiem uczniów. Podział środków dydaktycznych:

• techniczne (np. tablica interaktywna, komputer)

• konwencjonalne (np. podrÄ™cznik, plansze, okazy naturalne)

Funkcje środków dydaktycznych: motywacyjna, poznawcza, kształcąca, wychowawcza, kontrolna

Formy pracy z dziećmi: indywidualna, grupowa, zbiorowa

Formy aktywności dzieci: zajęcia organizowane przez n-la, zabawy (inicjowane przez n-la lub dowolne), czynności samoobsługowe i porządkowe, spacery, wycieczki, uroczystości

Zadania stojące przed n-lem naucz. począt.: poznawcze, sprawnościowe, wychowawcze

Funkcje naucz. począt.: opiekuńcza, diagnostyczno – prognostyczna, kompensacyjno – usprawniająca, poznawczo – kształacąca, wychowawcza

Etapy planowania pracy n-la:

I etap – projektowanie swojej działalności

II etap – realizacja planu działania

III etap – ewaluacja

Dobry n-l matematyki:

1. ma przygotowaną każdą lekcję

2. oczekuje uzasadnienia odpowiedzi

3. daje czas do namysłu

4. nakierowuje myślenie ucznia na określone zagadnienie

5. uczy dzieci krytycyzmu

6. daje uczniom okazje do porównywania i różnicowania

7. tworzy atmosferę poszukiwania i angażuje wszystkie dzieci w czasie lekcji