Metody iteracyjne są to metody rozwiazywania układów równań liniowych i stosuje się przede wszystkim w przypadku dużej liczby równań w układzie. Iteracja zaś polega na wielokrotnym stosowaniu procesów numerycznych po to aby ulepszyć uzyskane wcześniej wyniki. Znamy metody iteracyjne takie jak: iteracja prosta, gaussa-seidla i nadrelaksacji. Iteracja prosta- Xi+1=WXi+Z gdzie i=0,1,2,3…,n. Dla uproszczenia przyjęto oznaczać Xi+1=U oraz Xi=X. Po podstawieniu otrzymujemy U=WX+Z. Kolejne kroki obliczeniowe Xi+1 uzyskujemy dopiero po obliczenie poprzedniego Xi. Ten tok obliczeń stosujemy aż do mementu uzyskania wyniku z odpowiadająca nam dokładnością. Gaussa-Seidla-w tej metodzie macierz przedstawia się jako dwie macierze trójkątne W=Wu+Wi gdzie Wu jest to macierz trójkątna górna a Wi to macierz trójkątna dolna. Xi+1=WuXi+WiXi+1+Z. metoda ta stanowi modyfikacje iteracji prostej i polega ona na tym ze przy kolejnych krokach obliczeniowych wykorzystuje się już wczesnej obliczone przybliżone wartości zmiennych. Nadrelaksacji-jest to ulepszona metoda gaussa-seidla. Polega ona na wprowadzeniu w miejsce składowej Xi+1 po prawej stronie układu wartości Xi+α(Xi+1-Xi) gdzie α to współczynnik nadrelaksacji i αϵ<1,2> oraz αopt≈1,8. gdy α=1 mamy wtedy metodę gaussa-seidla Xi+1=WuXi+Wi[Xi+α(Xi+1-Xi)]+Z. Przejście- ogólny schemat obliczeń iteracyjnych przedstawia metoda iteracji prostej, dzięki której możemy rozwiązać układ równań o n niewiadomych. Ogólne przejście polega na zapisaniu układu równań w postaci macierzowej. AX=B , DX+BX=B => DX=B-RX => X=-D^-1RX+D^-1B , X=WX+Z i stad otrzymujemy ze W=-D^-1R i Z=D^-1B. Przejście to ma taka postać gdyż macierz D jest diagonalna przez co łatwo ja odwrócić co znacznie ułatwia obliczenia. Wystarczy tutaj zapisać odwrotność elementów na diagonali. Zbieżność iteracji otrzymamy gdy maksymalna wartość [W]<1. Spełnienie tego warunku będzie zachowane gdy norma macierzy będzie mniejsza od 1 czyi IIWII<1. Metody iteracyjne są preferowane głownie w przypadku dużej liczby równań w układzie. W takich obliczeniach opłaca się nam je stosować gdyż zużywają mała ilość pamięci i są szybkie.

W numerycznych rozwiazywaniu równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego analizujemy równanie różniczkowe z warunkiem początkowym w postaci y’=F(x,y) i y(xo)=yo. w rozwiązaniu zakładamy ze F(x,y) jest ciągła i ograniczona w pewnym obszarze płaskim Ω oraz spełnia warunek Lipschitza który mówi ze istnieje taka liczba k, ze dla wszystkich par punktów P1(x1,y1) , P2(x2,y2) spełniona jest nierówność F(x1,y1)=F(x2,y2) < k(y1-y2). Przyrost funkcji F jest tutaj ograniczony od przyrostu y. Należy tutaj napomnieć ze metodami numerycznymi nie otrzymamy wzoru analitycznego ale pozwolą nam one rozwiązać zagadnienie opisane punktami. Zaleta metody numerycznej nad analityczna jest to ze rozwiązanie można znaleźć dla bardzo skomplikowanych równań różniczkowych. Rozwiązania tutaj będziemy poszukiwac w postaci: y(xi+1)=yi+1=yi+ xi∫xi+1 F[x,y(x)]dx. Równania różniczkowe rzędu pierwszego można rozwiązać za pomocą metod Eulera: 1.Metoda łamanych Eulera-zakładamy tutaj ze xi∫xi+1 F[x,y(x)]dx=hiF(xi,yi) gdzie hi=Xi+1-Xi czyli funkcja f[x,y(x)] jest stała na całym przedziale <xi,xi+1>. Otrzymujemy tutaj yi+1=yi+hiF(xi,yi) i y(xo)=yo. Wykres poszukiwanej funkcji=y(x) i rozwiązanie dyskretne. 2.Ulepszenie metody łamanych Eulera modyfikacja 1-zakładamy tutaj ze styczna do łuku rozpiętego na punktach A(xi,yi) i B(xi+1,yi+1) w punkcie x*=0.5(xi+xi+1) jest w przybliżeniu równoległa do cięciwy AB. W tej metodzie poszczególne kroki maja postać: x*=0.5(xi+xi+1) i y*=yi+0.5hF(xi,yi) oraz m*=F(x*,y*) i yi+1=yi+hm*. Wykres stycznej do y=y(x) w punkcie x* i rozwiązanie dyskretne. II Modyfikacja metody Eulera –zakładamy tutaj ze współczynnik kierunkowy siecznej AB jest średnia arytmetyczna współczynników kierunkowych stycznych do poszukiwanej funkcji w punktach A i B. Kolejne kroki prowadzące do rozwiania tutaj maja postać: x*=xi+1=xi+h i y*=yi+hF(xi,yi) oraz m*=F(x*,y*) i yi+1=yi+0.5[F(xi,yi)+m*] h. Wykres stycznej 1a i 1b do y=y(x) w punkcie A i B i rozwiązanie dyskretne. Błędy metody i zaokrąglenia- dokładność metody łamanych Eulera wyraźnie rośnie przy mniejszym kroku h. Jednak że wymagana jest realizacja dużej liczby kroków co powoduje zwiększenie błędu zaokrąglenia. Istnieje jednak optymalny krok h ale nie ma jeszcze metody pozwalającej na jednoznaczne go obliczenie. Metody różnią się tutaj tym ze są coraz dokładniejsze.