Metoda eliminacji Gaussa-uklad zapisujemy w postacji macierzy C kt. N pierwszych kolumn zawiera elementy aij mac. Glown. A Nat. Kolumne n+1 tworza wyraz. Wolne bi
Elem. Tej m. oznacza cij. Odejmujemy 1 rown układu pomnożone przez cij/c11 do i-tego równania. Powstaje nowa macierz C^1 = cij^1=cij-(ci1/c11)*c1j. kontynujac takie
rozwiązanie otrzymujemy układ schodkowy któremu odpowiada mac C^(n-1) p=1,2 , i=p+1, . Niezawodnosc poprzez modyfikacje; Element z czesciowym wyborem,
Elemen z pelnym wyborem. Z czesciowym :1 wyszukiwanie przed każdy krokiem zmiennych największego modulu cjk^(k-1)w ciągów elementow.2ustalenie i zmienie
wiersza o nr r z wiersz o nr k. 3zmiana znakow w dowol rownan. Z pełnym wyszuk najw modulu w calej mac 2 zamienienie wierszy r z k nast. Zamien kolumn s z k 3 licz
Wier jest zapamiety i uwzgledniana przy oblicz wyznacznika.Metod Interacyjne- w przypadku bardzo duzych ukl rownan opalaca się wykotrzystac met. Interacyjne kt.
Prowadza do cagu wektorow X0 X1 XN określonych rownaiem mac. X^i+1=WX^i+Z Jeśli ciag przybliżeń X^N zmierza do granicy X to proces przybliżeń nazywamy zbieżnym
a metoda efektowna. Z układów rownan otrzymujemy row mac. Zatem z tego AX=B DX+RX =B=DX=-RX+B zakładając det(D)/=0 możemy pomnozyc ostatnie rownanie
przez D^-1 otrzymywujac X=D^-1RX+D^-1B czyli S=WX+Z gdzie W=-D^-1R lub Z=D^-1B Najczesciej stosowane metody interacyjne-Gausa Seidla Istota algory. Polega na
wykorzysta. Oblicz. K pierwszych składowych wektora niewaid. X^i+1 do oblicz. K+1 skladowej. X^i+1=WuX^i +WiX^i+1+Z i=0,1 gdzie W=Wu+Wi, Wii=0 dla i=1(1)n
Metoda Nadrelaksacji –met. Poega na sukcesywnym wprowadzeniu w miejsce składowej Ui po prawej stro. Ukl. Wartości Xi+alfa(Ui-Xi) gdzie alfa to wsp. Nadrelaksacyjny
X^i+1=WuX^i+Wi(Xi+alfa(X^i+1-X^i)+Z gdzie alfa nal=<1,2> INTERPOLACJA FUN-metoda oblicz przybliżonej wart. Funk. W dowolnym punktu przedzialy <xo,xn>gdy znane
jest wart. Xo,x1,xn zwanych wezlami Interp. Yo=F(xo) Y1=f(x1)Yn=f(xn) zadaniem interpolacji Est oblicz. Przybliżonej wartości funk. Y=f(x)w punktach wewnątrz. Przedz.
<xo,xn>nie będącymi wezlami Inter. RODZAJE INTERPOLACJI: WIELOMIANOWA-funk będziemy przybliżać przy pomocy tzw wielomiany uogólnionego postacji
W(x)=∑ai*qn(x) wektor fun bazowej q(x)=[qo(x),q1(x)..qn(x)]wektor wspolcz. Fun. Interp. A=[ao,a1,..an] wtedy W(x)=q(x)*A warunek XA=Y jeśli det(X)/=0 to mac X można
odworic uzyskujac W(x)=q(x)A=q(x)X^-1Y istnieje tylko jeden wielomian Inter stopnia nie większego niż n ,ktor. Przechodzi przez punkty (xi,yi)gdzie i=0(1)n daltego ten
wielo. Ma dok lad. Te same wartości co funk. W innych tylko przybliza fun. INTERPOLACJA LANGRANGEA-qo(x)=(x-xo)(x-x1)(x-x2)..(x-xn) q1(x)=(x-xo)(x-x1)(x-xn) qn=(x-
xo)(x-x1)(x-xn) w kt. Langr. Dla n+1 wezlow Inter. (xi,yi) I=0(1)nprzyjmuje się nast. F. bazowe qi(x)=π(x-xj) wielo ma postac W(x)=ao*qo(x)+a1q1(x)+..anqn(x)
W(x)=a0q0(x0)=y0 wpsolczy wyznacza się z rown XA=Y gdzie Xjest mac diagonal. Zatem A=X^-1Y Wzor Lang= W(x)∑yiLi(x) APROKSYMACJA FUNK.-polega na
wyznaczeniu dla danej fun f(x) takiej fun F(x)która w okresl sensie najlpeij przybliży fun f(x) stosujemy gdy nie znamy fun f(x) albo jest bardzo zlozona RODZAJE APRO-
Interpo- podobnie jak w przypad Inter zadamy spelnie warunk aby f(x)i szukana F(x)przyjmowaly te same wartości argumentow. Inym slowem zarówno f i F (x) musza
przechodzic przez te same punkty węzłowe. Min(|yi-yo|max) APRO JEDNOSTAJNA- fun f(x) przybliżamy taka F kt. Daje najmniejszee maximum roznicy miedzy F a
wyjsciowa f w calym przedziale<a,b> max|F(x)-f(x)|=min zgodnie z tw weierstrassa zawsze można wyznacyzc wielomian o dowolnym malym odchyleniu f(x) na przed
<a,b>Jednakze nie jest powszechnie znana metoda kt pozwalala w sposób jednoznaczny obliczyc wielomian najlepiej przybliżający dowol. Fun. Ciagla f(x)w sensie prok..
jednost. ŚREDNIOKWADATOWA- FUN. f(x)przyblizamu taka fun F(x)kt daje najmniejsza calke R=∫(F(x)-f(x))^2dx gdzie R residium w tym przypadku jest minimalizowane
pole odchylki F(x) do f(x) R=∑(F(xi)-f(xi))^2= min METODA NAJMN Kwadratów- zalozmy ze mamy wyznaczyc wspolcz gdzie i=0(1)k wielomianu aproks zadana fun z=z(u)
wg kryteriow naj kwadra z=poqo(u)+p1q1(u)+..pkqk(u) aproksy fun zadana jest punkta (ui,zi) gdzie i=1(1)n kierujaxc się inf o zmienności aproks funk przyjmujemy pewnien
wektor fun bazowej q(u)=[q0(u),q1(u),qn(u)]^T najczęściej przyjmuje się ze q0(u)=1 wtedy ma postac R=∑[p0q0(ui)+p1q1(ui)+..+pkqk(ui)-z1]^2=min po obliczeniu
pochodnych otrzym ∆R/∆po=2∑[poqo()ui]+..pkqk(ui)-z1]qo ∆R/∆pk=2∑[poqo(ui)+..pkqk(ui)-zi]qk(ui) Po przyrowaniu poch do 0 otrzym ukl k+1 ->
p0∑qo^2(ui)+p1∑q0(ui)q1(ui)+..+pk∑q0(ui)qk(ui)=∑q0(ui)zi.. Wprowadzam uogol mac danych U oraz wktor praw stron Z układ rown zapisu w post U^TUP=U^TZ przy zaloz
det[U^TU]/=0 rozw row P=(U^TU)^-1U^TZ ROZw ROW NIELINIO- dane jest row algebr f(x)=0 w kt fun f(x) jest okres w przed <a,b> jest w ogolny przypad nielinio Naszy
zadaniem jest znalez miejsc zerow fun f(x) tj takich wart argum x dla ktor spelnio jest rownf…<- . W poszukiwa row row istotna role odgrywa tw Bolzano-Cauchyego tw1
jeżeli zachodza nast. Warunki f(x)jest ciagla na przed<a,b> f(a)f(b)<0 to w przed znajdu się 1 pierwiastek TW2 jeżeli w przed<ab>spelnio SA zaloz tw BC i dodat
signf(x)=cons w calym prz <a,b>to prz jest prz izolacji pierw. Metody ROZwiazy - Met Przeszukiwan-prz<a,b>dzielimy na rownych czesci oblicz wartość yi=f(xi) szukam prz
dla ktor f(a)f(b)<0 jeżeli ani razu fun f(x) nie zmieni znaku nie ma pierw. W <a,b>jeśli znajdz prz izolacji<an.bn>to go zawężamy az osiagniemy zadawalajaca dok lad.
|f(xo)|<ἐ dla x(an,bn) Met BISEKCJI-jeśli znajdz prz izolac Pier<an,bn>to zawężanie prz izolac możemy zrealizowac met bisek. Jako pierw wyrazy ciagu przybilzen przyjmuj
x1=a x2=b kolejne przyb to xi=0.5(xi-1+xk)gdz k€<1,i-2> przy czym k tak dobieram aby spelnia był warun |x1-xi-1|=|xi-xk|˄F(xi-1)F(xk)<0 ponieważ kolejne przybl znajduje
się w każdorazowo w przed izola |xi-1-xi|<|x1-xi-1| MET SIECZNYCH- za lepsze niż w poprzed metodach przybliz wart pierw przyjmuje się punkt przecięcia siecznych z
osia odciętych mamy m=f(b)-f(a)/b-a ˄ y=mx+n ˄ m=0-f(a)/c-a stad f(b)-f(a)/b-c=-f(a)/c-a zatem c=a+(b-a)f(a)/f(a)-f(b) MET STYCZ NEWTO-RAPHSONA- tgᾱ=f ‘ (b)=f(b)/b-c
|f(c)|<ἐ <a,b ->(c,c) f ‘ (c)=f(c)/c-d zakladamy ze znamy przyb roz tj x1 wtedy f ‘(x)=f(x)/x1-x2 stad x2=x1-f(x1)/f ’ (x1) jeśli f ‘(x)=0 to przyjm się f ‘(x)=ἐ>0 zaleta meto jest
szybkość osiag rezultat wada jest koniecz oprawco podprogram oblicz nie tylko f (x) ale tak f ‘(x) w przybliż można przyjac f’(x)=f(x+n)-f(x)/n ponadto im lepiej wybierz
punkt startowy tym wieksze szanse na lepszy rezult KWADRAT INTERPOACYJNE- rozpatrujemy zagadnienie calkowani fu f(x) okresl w prz <a,b> zatem naszym zadaniem
Będzie obl numery calki I=∫f(x)dx zakladamy rownom podzial prz<a,b>na podprz<xi,xi-1>takieze xi-1-x1=h=cons przy i=1,2.n nie jest warunek konieczny nie zawsze sprzyja
odpowiedniej dok lad ale bywa często stosowany sigmai=∫f(x)dx możemy zapisac ∫f(x)dx=∑sigma i . istota kwad Inter jest przybliżenie f podcal f(x) w pz <ab>wzorem
interp sigi=∫f(x)dx=∫w(x)dx 1 wz INTER NEWTONA : w(x)=yo+q∆yo+q(q-1)/2*∆^2yo+..+q(q-1)..(q-n+1)/n*∆yo gdzie q=x-x0/h xi=xo-ih widac ze dla x=x0 mamy q=0 dla x=x1
q=1 zas x=x2 mamy q=2 itd. Ponadto można zauważyć ze dx=hdq MET PROSTOKATOW- przyjmujemu tylko pierw wyraz ze wz newtona w(x)=yo, x€<xi,xi-1> zatem
tali=∫yidx=∫hyidq=hyi[q]=hyi możemy dal napisac ∫f(x)dx=∑hyi=h∑yi blad R=(b-a)^2/2n|f’(€)| MET TRAPEZOW- przybliżamy fun podcal f(x) wzorem newtona z dok lad do
dwoch pierwsz wyraz w(x)=yo+q∆yo, x€<xi,xi-1>zatem tali=∫f(x)dx=∫(yi+q∆yi)dx=h(yi-q∆yi)dq dalej tali=h[yiq+(yi+1-yi)q^2/2]=h/2 (yi+1+yi) ponieważ ∫f(x)dx=∑tali stad
∫f(x)dx=h[yo/2-∑yi-yn/2] MET SIMPSONA-przyblizamy fun podcal f(x)lukami paraboli prz<a,b>dizelimyna parzysta liczb poprz <xi,xi-1> element luku organiz pole tali
przybliżamy parabol przechodz przez punkt (xi,f(xi)), (xi-1 f(xi+1)),(x+2, f(xi+2))stad przyl. Wart tal wynosi: tali=∫[yo+q∆yo+q(q-1)/2∆^2yi]dx czyli tali=h∫[yo+q∆yo+q(q-
1)/2∆^2yo]Dy=h/3(yo+4yi+y2) Rozn skoncz okresl wzorem ∆yo=y1-yo ∆^2y0=y2-y1+y0 po zsumowaniu Pol tali otrzym ∫f(x)dx=h/3(yo+4y1+alfay2+4y3+..+2yn-2+4yn-1+yn)
WZORY GATESA-stanowia uogólnienie kawadr interp przyjmu ze fun podcal jest interp wielom n-tego stopnia.wprowadz oznacz Ii=∫x^idx, [Io,I1,I2,In]x^-1=[co,c1,cn]=[c]
wtedy ∫f(x)dx=[c]{Y}=∑ciyi PRZYBLIZ DYSKR MET ROZW ROW ROZN ZWYCZAJ (RRZ)-analizowane będzie row Roz rzed pierw z warunk porzadko postaci y’=F(x,y)˄y(xo)=yo
zakladamyze F(x.y)jest ciagl w pewnym do Ǿ plaskim Ώ oraz spelnia warun lupsdutza tzw istnieje taka liczba K ze dla wszystkich par punkt P1(x1,y1), P2(x2,y2), P1,P2€
Ώspelnia jest nierówność |f(x.y1)-F(x,y2)|<K(y1-y2) rozwiązanie y(xi+1)=yi+1=yi+∫F(x/y(x))dx Dy=y’(x)dx ∆y=∫y’(x)dx yi+1-yi=∫F(x,y)dx yi+1=yi+∫F(x,y)dx