Zad 17. Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością v₁ prostopadłą do kierunku prądu rzeki. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów, ale wartość jej prędkości zależy od odległości od brzegów i dana jest wzorem:  v₂ = v₀ sin(πy/L), gdzie v₀ = const, L jest szerokością rzeki. Wyznaczyć: 

a) wartość wektora prędkości łódki względem nieruchomych brzegów,

b) kształt toru łódki.

Rozwiązanie:

Układ współrzędnych ustalamy w ten sposób, że x(0) = 0 i y(0) = 0

a) v² = v₁2 + v₂2

b) v_x = v₂ = v₀sin(πy/L),      (1)

   v_y = v₁                             (2)

z (2)  otrzymujemy:  y = ∫v₁dt = v₁t + C₁;  dla t=0  y = 0, więc C₁ = 0, czyli   y = v₁t.

Otrzymany wynik wstawiamy do (1) :

x = ∫v₀sin( πv₁t/L)dt = - (v₀L/ v₁)cos(πv₁t/L) + C₂,    dla t=0  x = 0, więc 0 = - v₀L/ πv₁ +  C₂,  skąd C₂ = v₀L/πv₁,

zatem x =  - ( v₀L/ πv₁)cos(  πv₁t/L) + v₀L/  πv₁ = ( v₀L/  πv₁ ) [1 - cos ( πv₁t/L),

gdy y = L     x = 2v₀L/  πv₁.       

---